重庆市开州区20212022九年级下学期期中数学试题含答案.docx

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1、内装订线内装订线学校:_姓名：_班级：_考号：_外装订线重庆市开州区2021-2022学年九年级下学期期中数学试题评卷人得分一、单选题1在，这四个数中，属于负整数的是（）ABCD2如图，该下列四个图形中，是轴对称图形的是（）ABCD3下列计算正确的是（）ABCD4估计的运算结果应在下列哪两个数之间（）A5和6B6和7C7和8D8和95下列命题，为真命题的是 （）A三个角是直角的四边形是矩形B对角线相等的四边形是矩形C三条边相等的四边形是菱形D对角线互相垂直的四边形是菱形6中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中孙子算经中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人

2、与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘问有多少人，多少辆车？设共有人，辆车，可列方程组为（）ABCD7如图，在平面直角坐标系中，ABC与A1B1C1是位似图形.其中BCB1C1=12，则ABC与A1B1C1的周长之比是（）A14B21C12D138如图，在中，AB为直径，CD为弦，若，则的度数是（）A40B50C60D709如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BC，连接CC，DC，若CCD = 90，BC=，则线段CD的长度为（）ABCD10A、B两地相距20 km，甲乙两人沿同一条路线从A地到B地，

3、甲先出发，匀速行驶，甲出发1小时后乙再出发，乙以2 km/h的速度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达，甲、乙两人离开A地的距离S（km）与时间t（h）的关系如图所示，则下列选项错误的是（）A乙比甲先到1小时B甲的速度为4 km/hC乙提速后速度为9 km/hD乙出发两小时后追上甲11若a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，则符合题意的所有整数的个数为（）A1个B2个C3个D4个12定义：如果（，且），那么x叫做以a为底N的对数，记做例如：因为，所以；因为，所以下列说法：；若，则；正确的序号有（）ABCD评卷人得分二、填空题13计算： _14

4、四个完全相同的球上分别标有数字，从这四个球中任意取出一个球记为a，放回后，再取出一个记为b，则点能被5整除的概率为_15如图，在ABC中，C = 90，点D在边BC上，以OA为半径的经过点D，连接AD，且AD平分BAC，若BAC = 60，的半径为2，则阴影部分的面积为_ 16在新冠肺炎疫情发生后，某企业引进12条A、B、C型生产线生产防护服，A、B、C型生产线每条生产线每分钟的产量之比为421，为了扩大生产，该企业准备增加7条生产线，其中B型生产线增加1条，每条生产线（包括之前的和新增的生产线）每分钟的产量将增加4件统计发现，增加生产线后，该企业每分钟的总产量恰比增加生产线前多142件，且A

5、型生产线每分钟的产量与三种类型生产线每分钟的总产量之比为25请问，增加生产线后，该企业A、C型生产线每分钟的产量之比为_ 评卷人得分三、解答题17计算（1）；（2）18如图，四边形ABCD是菱形(1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作出AB的垂直平分线EF，分别交AB，AC于点E和点F；连接BF(2)在（1）问图中，当时，请求出的度数解：EF垂直平分AB_ 设 四边形ABCD是菱形，在ABC中，即： 19为培养学生良好的运动习惯和运动能力，我校本学期开展了“趣味运动会”和“冬季长跑”等体育活动为了解九年级学生的长跑水平，我校对全体九年级同学进行了长跑测试，体育组陈老师随机抽取20名男生和2

6、0名女生的测试成绩（满分100）进行整理和分析（成绩共分成五组：A，B，C，D，E），绘制了不完整的统计图表：（1）收集、整理数据20名男生的长跑成绩分别为：76，77，95，88，50，89，89，97，99，93，97，89，65，87，68，89，78，88，98，88女生长跑成绩在C组和D组的分别为：73，74，7474，74，76，838889 （2）分析数据：两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示：长跑成绩平均数中位数众数男生8588.5b女生81.8a74请根据以上信息，回答下列问题；(1)补全频数分布直方图；填空：_，_；(2)根据以上数据，你认为九年级学生是男生的长跑的成

7、绩更好还是女生的长跑成绩更好？判断并说明理由（一条理由即可）；(3)如果我校九年级有男生900名，女生600名，请估计九年级长跑成绩不低于80分的学生人数20一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点，两点(1)分别求出一次函数和反比例函数的解析式，并在给出的平面直角坐标系中，直接画出一次函数和反比例函数的图像；(2)连接AO并延长交双曲线于点C，连接BC，求ABC的面积；(3)直接写出当时，x的取值范围21如图，建筑物后有一座小山，测得小山坡脚C点与建筑物水平距离米，若山坡上E点处有一凉亭，且凉亭与坡脚距离米，某人从建筑物顶端A点测得E点处的俯角为（1）求凉亭到地面的距离；（2）求建筑物的高（

8、精确到）（参考数据：，）22冰墩墩和雪容融是北京奥运会和冬残奥会吉祥物，冰墩墩是一只熊猫，它的外表给人一种朴实的感觉，雪容融是一个灯笼，它的外表总能给人温暖钥匙扣，手办两用冰墩墩和雪容融立体挂件在奥林匹克官方旗舰店销售异常火爆(1)开售第一天，旗舰店共花费84000元从授权生产厂家购进两种挂件各1000件，其中1件雪容融挂件成本比1件冰墩墩挂件成本少6元，则1件雪容融挂件成本和1件冰墩墩挂件成本分别是多少元？(2)开售第一天，冰墩墩和雪容融挂件很快售罄，售价分别为65元和55元第二天，旗舰店又以第一天的成本价从授权生产厂家购进一批两种挂件，其中冰墩墩挂件售价提高了0.05a元，销售比第一天减少

9、了2a件，而雪容融挂件售价不变，销量比第一天增加了0.125a件，最终旗舰店第二天销售两种挂件共获利36000元，求a的值23若一个四位正整数m满足前两个数字组成的两位数是后两个数字组成的两位数的2倍，则把这个四位数m称为“Double数”例如：2010的前两个数字组成的两位数是：20，后两个数字组成的两位数是：10，2010是“Double数”；9246的前两个数字组成的两位数是：92，后两个数字组成的两位数是：46，9246是“Double数”；7525的前两个数字组成的两位数是：75，后两个数字组成的两位数是：25，7525不是“Double数”(1)判断7035，3814是否是“Dou

10、ble数”？并说明理由；(2)记一个“Double数”m各个数位数字之和为，令当能被8整除时，求出所有符合条件的“Double数”m24如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，直线与抛物线交于C、D两点，与坐标轴交于E、F两点. 点P是抛物线在第四象限内图像上的一个动点.过点P作PGCD，垂足为G，PQy轴，交x轴于点Q(1)求抛物线的解析式；(2)当取得最大值时，求点P的坐标和的最大值；(3)将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，M为新抛物线对称轴上的一点，点N是平面内一点当（2）中最大时，直接写出所有使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标25在ABC中，AB = AC，ABC

11、 = 30，BDE是等边三角形，连接CD、AE(1)如图1，当A、B、D三点在同一直线上时，AE、BC交于点P，且AEAC.若PC = 4，求PE的长；(2)如图2，当B、E、C三点在同一直线上时，F是CD中点，连接AF、EF，求证：AE = 2AF ；(3)如图3，在（2）的条件下，AB=8，E在直线BC上运动，将AEF沿EF翻折得到MEF，连接DM，G是AB上一点，且BG=AB，O是直线BC上的另一个动点，连接OG，将BOG沿OG翻折得到HOG，连接HM，当HM最小时，直接写出此时点D到直线EM的距离试卷第9页，共9页参考答案：1A【解析】【分析】根据有理数的分类对选项逐个判断求解即可【详

12、解】解：-1为负整数，故A选项符合题意；0为整数，不是负整数，故B选项不符合题意；1为正整数，不是负整数，故C选项不符合题意；为负分数，不是负整数，故D选项不符合题意；故选：A【点睛】此题考查了有理数的分类，掌握有理数的分类是解题的关键2C【解析】【分析】根据轴对称图形的概念，对选项逐个判断即可【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，不符合题意；C、是轴对称图形，符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意；故选：C【点睛】本题考查了轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的概念3B【解析】【分析】根据合并同类项，

13、单项式的乘法，积的乘方与幂的乘方，完全平方公式逐项分析判断【详解】解：A. -=b，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意；C. ，故该选项不正确，不符合题意；D. ，故该选项不正确，不符合题意；故选B【点睛】本题考查了合并同类项，单项式的乘法，积的乘方与幂的乘方，完全平方公式，掌握以上运算法则或公式是解题的关键4B【解析】【分析】先根据二次根式乘法计算，再进行估算无理数的大小即可求解【详解】解：=，67，67故选：B【点睛】本题考查二次根式的乘法运算，估算无理数的大小，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键5A【解析】【分析】根据矩形和菱形的判定定理依次判断结论是否

14、成立即可【详解】解：A、正确，三个角是直角的四边形是矩形，是真命题，符合题意；B、错误，对角线相等的平行四边形是矩形，不符合题意；C、错误，四条边相等的四边形是菱形，不符合题意；D、错误，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不符合题意；故选：A.【点睛】本题主要考查了矩形和菱形的判定，熟悉掌握图形的判定特点是解题的关键6C【解析】【分析】根据题意，找到关于x、y的两组等式关系，即可列出对应的二元一次方程组【详解】解：由每三人共乘一车，最终剩余2辆车可得：由每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘可得：该二元一次方程组为：故选：C【点睛】本题主要是考查了列二元一次方程组，熟练根据题意找到等式关系，这

15、是求解该题的关键7C【解析】【分析】根据位似图形的性质求解即可【详解】解：ABC与A1B1C1是位似图形，中BCB1C1=12，ABC与A1B1C1的周长之比=BCB1C1=12，故选：C【点睛】本题考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质：位似图形的周长之比等于位似比是解题的关键8D【解析】【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等，可得BACD，再根据圆周角的推论推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径可得ADB90，由BAD90B代入计算即可得出答案【详解】解：，BACD20，AB为O的直径，ADB90，BAD90B902070故选：D【点睛】本题主要考查了圆周角

16、定理，熟练掌握圆周角定理进行求解是解决本题的关键9B【解析】【分析】过点B作BECC于点E，根据正方形的性质可得BCECDC，从而得到CE=CD，BE=C C，再由将边BC绕点B逆时针旋转至BC，可得CE=CE=CD=CC=BE，然后根据勾股定理，即可求解【详解】解：如图，过点B作BECC于点E，四边形ABCD是正方形，BC=CD，BCD=90，BCE+CCD=90，BCE+CBE=90，CCD=CBE，又BEC=CCD=90，BCECDC（AAS），CE=CD，BE=C C，将边BC绕点B逆时针旋转至BC，BC=BC，又BECC，CE=CE=CD=CC=BE，BC=，解得：CE=2，线段CD

17、的长度为2故选：B【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握相关知识点是解题的关键10D【解析】【分析】分析甲、乙两人离开A地的距离S（km）与时间t（h）关系的图象，分别进行判断即可【详解】解：A从图象上看，甲5个小时后到达，乙4个小时后到达，故选项正确，不符合题意；B甲的速度为：（km/h），故选项正确，不符合题意；C乙提速后的速度为（km/h），故选项正确，不符合题意；D设乙出发后，x小时追上甲，由题意得：解得x 故选项错误，符合题意故选：D【点睛】本题考查了一次函数的应用，关键是由图象得到信息进行解答11C【解析】【分析】表示出不等式组的

18、解集，由不等式有且只有4个整数解确定出的值，再由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数的值【详解】解：不等式组整理得：，由不等式组有且只有四个整数解，得到，解得：，即整数，0，1，2，分式方程去分母得：，解得：，由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件，得到为，0，2共3个故选：C【点睛】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键12D【解析】【分析】由新定义可得：利用新定义逐一计算判断，从而可得答案.【详解】解：根据新定义可得： 故不符合题意；故符合题意； ， 解得： 故符合题意； ，故符合题意，故选D【点睛】本题考查的新定义运算，有理数

19、的乘方运算的含义，正确理解新定义，运用新定义解决问题是解本题的关键.13【解析】【分析】由绝对值的定义以及，可直接计算得到答案【详解】解：原式=，故答案为：【点睛】本题考查绝对值运算，指数幂的运算，熟练掌握相关知识是解题的关键14【解析】【分析】由题意可列表，然后根据概率的计算公式求解即可【详解】解：由题意列表如下-1-405-1（-1，-1）（-1，-4）（-1，0）（-1，5）-4（-4，-1）（-4，-4）（-4，0）（-4，5）0（0，-1）（0，-4）（0，0）（0，5）5（5，-1）（5，-4）（5，0）（5，5）由表可知，共有16种等可能的情况其中能被5整除的有（-1，-4），（

20、4，-1），（0，0），（0，5），（5，0），（5，5）共6种情况点能被5整除的概率为故答案为：【点睛】本题考查了列表法求概率解题的关键在于找出所有可能的情况15【解析】【分析】由角平分线定义以及圆的特征，求得，证得OD平行AC，进而利用特殊角的三角函数值求得各边长，进而得到答案【详解】解：如图，连接OD、DE，作DH垂直AB于H，且AD平分 AE为直径 ，为等边三角形，ODAC，在中， 阴影部分的面积【点睛】本题考查圆的特征、扇形的面积计算、特殊角的三角函数值；通过角关系证得OD垂直BC是解题的关键161415【解析】【分析】设增加生产线前A，B，C型生产线各有x、y、z条，增加生产线后

21、A型增加a条，B型增加1条，则C型增加(71a)即(6a)条，设C型生产线每分钟的产量分别为m，由题意可得4mx+2my+mz =(x+a)(4m+4) + (y+1)(2m+4) + (z+6+a)(m+4) 142，从而求出，由m是正整数，0a6且a为正数，可求出a=1，m=6，再由A型生产线每分钟的产量与三种类型生产线每分钟的总产量之比为2：5，可得求出，由x、y、z均为正整数，则10829x一定能被3整除，从而求出x=3，z=7，由此即可得到答案【详解】解：设增加生产线前A，B，C型生产线各有x、y、z条，增加生产线后A型增加a条，B型增加1条，则C型增加(71a)即(6a)条，设C型

22、生产线每分钟的产量分别为m，由题意可得：4mx+2my+mz =(x+a)(4m+4) + (y+1)(2m+4) + (z+6+a)(m+4) 142整理得：3ma+8m=1144(x+y+z)由题意得：x+y+z=12，代入上式整理可得：3ma+8m=66则m是正整数3a+8的值可能为1、2、3、6、11、22、33结合0a6且a为正数可得3a+8=11即a=1m=6增加生产线后A型增加1条生产线，B型增加1条生产，C型增加5条生产线且增加生产线后A，B，C型生产线的每分钟产量分别为(4m+4)件、(2m+4)件、(m+4)件，即增加生产线后A，B，C型生产线的每分钟产量分别为4m+4=2

23、8（件）2m+4=16（件）m+4=10（件）再由A型生产线每分钟的产量与三种类型生产线每分钟的总产量之比为2：5，可得化简分式方程得：移项、合并同类项得：21x8y5z=12而由x+y+z=12，得：y=12xz代入上式整理可得：x、y、z均为正整数10829x一定能被3整除当x=3时，z=7 增加生产线后，该企业A、C型生产线每分钟的产量之比为：故答案为：14：15【点睛】本题主要考查了二元一次方程和分式方程，解题的关键在于能够理解题意列出方程求解17（1）；（2）【解析】【分析】（1）先利用平方差公式、整式的乘法法则计算，再计算整式的加减即可得；（2）先计算括号内的分式减法，再计算分式的

24、除法即可得【详解】解：（1）原式；（2）原式【点睛】本题考查了整式的乘法与加减法、平方差公式、分式的减法与除法，熟练掌握各运算法则是解题关键18(1)见解析(2)FB；CBF；36；108【解析】(1)解：如图，直线EF即为所求作：；(2)解：EF垂直平分AB，AF=FB，设CAB=ABF=x，CFB=CAB+ABF=2x，CF=CB，CBF=CFB=2x，ABC=ABF+FBC=3x，四边形ABCD是菱形，AB=BC，ADC=ABC，ACB=CAB=x在ABC中，CAB+ABC+BCA=180，即：x+3x+x=180，x=36，ADC=3x=108故答案为：FB；CBF；36；108【点睛

25、本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键19(1)见解析；a=79.5，b=89；(2)男生，见解析；(3)930【解析】【分析】（1）用总人数20减去其他的人数得到80-90分的人数，补全图形即可；先求出A组和B组的人数，根据中位数的定义结合C组和D组的数据解答求出a值；根据众数定义求出b值；（2）利用表格中的平均数、中位数、众数的成绩比较解答；（3）用人数乘以对应的比例，再相加即可得到答案(1)解：20-1-2-3-6=8，补全图形：A组人数为人，B组人数为人，A和B组共4人，而中位数应为第10个和第11个数据，第10个数据为7

26、6，第11个数据为83，女生的中位数a=；数据89出现的次数最多，故众数b=89，故答案是：79.5，89；(2)解：男生的成绩更好些从平均数、中位数、众数来看，男生的成绩均高于女生，故男生成绩更好些；(3)解：（人），九年级长跑成绩不低于80分的学生有930人【点睛】此题考查了条形统计图与扇形统计图，会求部分的数量，会画条形图，根据部分的比例求总体中的数量，解题的关键是读懂统计图，并得到相关的数据进行计算20(1)，图象见解析(2)3(3)或【解析】【分析】（1）根据点的坐标直接求得反比例函数解析式，将点的横坐标代入反比例函数解析式求得点的坐标，进而根据待定系数法求得一次函数的解析式，并画出

27、函数图象；（2）根据题意作出图形，设交轴于点，连接，根据中心对称的性质求得点的坐标，进而求得直线的解析式，即可求得点的坐标，进而根据求解即可；（3）根据函数图象以及两点的横坐标，直接写出当时，x的取值范围(1)把代入得反比例函数的解析式为.当x=1时，；把，代入得解得一次函数的解析式为图像如图所示，(2)如图，设交轴于点，连接关于原点对称，设直线的解析式为则解得直线的解析式为令，则轴(3)根据函数图象可知，当时，【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，中心对称的性质，待定系数法求解析式，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键21（1）10米；（2）建筑物的高约为米【解析】【分析】（1）如图（

28、见解析），利用含30度角的直角三角形的性质即可得；（2）如图（见解析），先根据矩形的判定与性质可得米，再在中，解直角三角形求出的长，从而可得的长，然后在中，解直角三角形可求出的长，最后根据即可得【详解】解：（1）如图，过点作于点，在中，米，米，答：凉亭到地面的距离为10米；（2）如图，过点作于点，则四边形是矩形，米，在中，（米），由题意得：米，米，在中，（米），则（米），答：建筑物的高约为米【点睛】本题考查了直角三角形的性质、解直角三角形的应用，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键22(1)1件雪容融挂件成本为39元，则1件冰墩墩挂件成本为45元；(2)a的值为120【解析】【分析】（1）设

29、1件雪容融挂件成本为x元，则1件冰墩墩挂件成本为 (x+6)元，根据题意列出一元一次方程，解方程即可；（2）利用总利润=每个的销售利润销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论(1)解：设1件雪容融挂件成本为x元，则1件冰墩墩挂件成本为 (x+6)元，由题意得：1000x+1000(x+6)=84000，解得：x=39，x+6=45，答：1件雪容融挂件成本为39元，则1件冰墩墩挂件成本为45元；(2)解：由题意知：第一天，1件雪容融挂件售价为55元，成本为39元，共售出1000件；第二天，1件雪容融挂件售价为55元，成本为39元，共售出(1000+0.125a)件；所以，

30、第二天通过雪容融挂件获利：(1000+0.125a)(55-39)=16(1000+0.125a)=16000+2a；第一天，1件冰墩墩挂件售价为65元，成本为45元，共售出1000件；第二天，1件冰墩墩挂件售价为(65+0.05a)元，成本为45元，共售出(1000-2a)件；所以，第二天通过冰墩墩挂件获利：(1000-2a)(65+0.05a-45)=20000+10a-0.1a2；两件挂件共获利36000元，16000+2a+20000+10a-0.1a2=36000，整理得：a(a-120)=0，解得a=120或a=0(舍去) ，故a的值为120【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，一

31、元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程23(1)7035是“Double数”，3814是不是“Double数”，理由见解析；(2)符合条件的“Double数”有3618、4623、7437、8442【解析】【分析】（1）根据题中所给“Double数”的定义分析即可；（2）设“Double数”m的个位，十位，百位，千位分别为a、b、c、d，表示出m，进一步得令其被8整除，利用排除法求符合条件的“Double数”(1)解：由题意可知：7035的前两个数字组成的两位数是：70，后两个数字组成的两位数是：35，7035是“Do

32、uble数”；3814的前两个数字组成的两位数是：38，后两个数字组成的两位数是：14，3814不是“Double数”；(2)解：设“Double数”m的个位，十位，百位，千位分别为a、b、c、d，由“Double数”定义可知a、b、c、d均为0到9，且b、d不为0，若能被8整除，则，利用排除法可知符合条件的“Double数”有：3618、4623、7437、8442【点睛】本题考查新定义下的实数运算，整式加减，解题的关键是理解“Double数”的定义24(1)(2)最大值为，此时点P的坐标为(3)或或【解析】【分析】（1）代入点坐标求得b和c的值即可得到答案（2）延长PQ直线CD于点H，数形

33、结合找到等腰直角三角形，设出点P坐标，进而找到的最大值（3）求得平移后抛物线的解析式，设出点M坐标，进而通过菱形的性质分类讨论即可得到答案(1)解：抛物线经过点和点 解得 抛物线的解析式为(2)解：如图，延长PQ直线CD于点H 直线坐标轴交于E、F两点，EOF是等腰直角三角形PGCD，PQy轴PGH是等腰直角三角形设，则当时，有最大值，最大值为，此时点P的坐标为(3)解：平移后抛物线的解析式为：设，当时，解得，由中点坐标公式得当时，无解当时，解得，由中点坐标公式得或综上所述满足条件的点N的坐标为或或【点睛】本题为函数与几何图形的综合，考查了二次函数、一次函数、等腰三角形与菱形，懂得数形结合地依

34、题意分析是解题的关键25(1)1(2)见解析(3)【解析】【分析】（1）根据已知条件，含30度角的直角三角形的性质，可得，证明是等腰三角形，则，再根据含30度角的直角三角形的性质即可求得PE=BP=1 ；（2）延长CA至点P，使AP=CA，连接PD、PB ，可得AF是PCD的中位线，证明PAB是等边三角形，进而证明PBDABE，即可得AE=PD=2AF；（3）M轨迹为AC中垂线，线圆最值问题，如图所示为HM最小值，在DEM中，计算DM及DM边上的高，过点M往BC作垂线，由勾股定理算EM，等积法计算点D到直线EM的距离(1)AB=AC,ABC=30ACP=30AEACPAC=90AP=PC=2A

35、PC=ABC+BAE=60ABC=BAE=30BP=AP=2ABE=60PBE=30，PEB=90PE=BP=1(2)证明：延长CA至点P，使AP=CA，连接PD、PB ，AP=AC，DF=CFAF是PCD的中位线PD=2AFBAC=120PAB=60AB=AC=APPAB是等边三角形PBD+ABD=60，ABE+ABD=60PBD=ABE在PBD和ABE中PBDABEAE=PD=2AF(3)如图，取的中点，连接，取的中点，则是等边三角形，将AEF沿EF翻折得到MEF，则关于对称，三点共线是等边三角形如图，连接，过作，记分别为的中点 M轨迹为AC中垂线，是的垂直平分线，是等边三角形 BG=AB，O是直线BC上的另一个动点，连接OG，将BOG沿OG翻折得到HOG，的轨迹为以为圆心为半径的圆当HM最小时，且三点共线，如图，过点作，过点作交的延长线于点，设到的距离为，则，【点睛】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键答案第25页，共26页