二次曲面的一般理论.doc
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1、第六章 二次曲面的一般理论教学目的 : 本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面 奇向、主径面与主方向等重要概念,从不同角度对二次曲面进行了分类。研究了二次曲面的几何性质,并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式, 化二次曲面的一般方程为规范方程,对二次曲面进行了分类和判定 , 是二次曲面理 论的推广和扩充 .教学重难点 : 通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为 规范方程 , 既是重点又是难点 .二次曲面 :在空间 , 由三元二次方程基本概念2 a22 y2 a33 za11x22a12xy 2 a13 xz 2a 23 yz 2a14x 2a24 y2a
2、34za440 (1)所表示的曲面。虚元素:空间中,有序三复数组(x,y,z)叫做空间复点的坐标,如果三坐标全是实数 ,那么它对应的点是 实点 ,否则叫做 虚点 二次曲面的一些记号F(x,y,z)22 a11 x a22 ya332z2a12 xy2a13 xz2a23 yz2a14 x 2a24 y 2a34 z a44F1(x,y,z)a11xa12ya13za14F2(x,y,z)a12xa23ya23za24F3(x,y,z)a13xa23 ya33za34F4(x,y,z)a14xa24ya34za44(x,y,z)2 a11xa22y2a33z2 2a12xy2a13 xz2a23
3、yz1(x,y,z)a11xa12ya13z3 (x, y, z)ai3Xa23y a33Z4(x, y, z) ai4xa24ya34Z即有恒等式成立:二次曲面F(x, y, z)F(x, y, z)xFi(x, y, z)yF2(x, y,z)zF3(x, y, z)x i(x, y,z)y 2(x, y,z:)zaiiai2ai3ai4的系数矩阵.ai2Aa22a23a24ai3a23a33a34ai4a24a34a44aiiai2ai3x, y, z) F4(x, y, z)3(x,y, z)而由(x, y,z)的系数矩阵为ai2ai3a22a23a23a33二次曲面(1)的矩阵 A的
4、第一,第二,第三,与第四行的元素分别是Fi(x, y,z), F2(x, y, z), F3(x, y, z),F4(x,y, z)的系数。Iiai1a22ai2a22a23a24ai3a23a33a34ai4a24a34a44aiiai2ai3ai4aiiai2ai4K2ai2a 22a 24ai4a 24a 44ai1ai2Kiai2aii ai3 a22a22ai3a33a23a23a33aiiai2ai33耳2a22a23ai3a23a 33aiiai4ai4a44a22a24a24a44a33a34a34a44aiiai3ai4ai3a33a 34ai4a34a 44a 22a23a
5、 24a23a33a 34a 24a34a 446.1 二次曲面与直线的相关位置2 2 2F(x, y,z)a11x a22 y a33z 2a12xy 2a13xz2a23 yz 2a14 x 2a24 y 2a34 z a44(1)x x0 Xt与过点(Xo, yo, zo)的直线y y Yt (2) z z0 Zt将(2)代入( 1)得2(X,Y,Z)t 2 XF1(Xo,yo,zo) YF2 (Xo , yo , zo ) ZF3(Xo,yo,zo) t F(Xo,yo,zo) o (3)现讨论直线( 2)与二次曲面( 1)相交的各种情况 :1.(X,Y,Z)0,这时方程(3)是一个关
6、于t的二次方程,它的判别式为:2XF1(X0,y0,z0) YF2(X0, y0,z0) ZF3(X0, y0,z0)(X,Y,Z)F(X0,y0,z0)100,有两不等实根,直线与二次曲面有两不同实交点;200 ,有两相等实根,直线与二次曲面有两相互重合实交点;300 ,有两共轭虚根, 直线与二次曲面有两共轭虚交点2.(X,Y,Z)010 XF1(X0,y0,z0)YF2(X0,y0,z0)ZF3(X0,y0,z0)0 ,直线与二次曲面有唯一交点;八、20 XF1(X0, y0,z0)YF2(X0,y0,z0)ZF3(X0,y0,z0)0,但 F(X0,y0,z0)0直线与二次曲面无交点30
7、 XF1(X0, y0,z0)YF2(X0,y0,z0)ZF3(X0,y0,z0)0,且 F(X0,y0)0,直线与次曲面有无穷交点 ,直线在二次曲面上 6。2 二次曲面的渐进方向与中心1. 二次曲面的渐进方向定义 5。2.1: 满足 (X,Y,Z) 0的方向 X :Y:Z 称为二次曲面的 渐进方向 ,否 则称为 非渐进方向 .对于给定的二次曲面 F(x,y,z) a11x2 a22y2 a33z2 2a12xy 2a13xz2a23 yz 2a14 x 2a24 y 2a34 z a44(1)x x0 Xt和过点(Xo, yo,Zo)的直线y y Yt(2)z z0 Zt当X :Y:Z为曲面
8、(1)的渐进方向时,直线(2)与曲面(1)总有两个交点; 当X :Y:Z为曲面(1)的渐进方向时,直线(2)与(1)或者只有一个交点,或者没 有交点,或者整条直线在曲面上。2。 二次曲面的中心当 X :Y:Z 为 二 次 曲 面 的 非 渐 进 方 向 时 , 即 当22(X,Y) a11X 2 2a12 XY a22Y20xx0Xt以非渐进方向为方向的直线yy0Yt 与二次曲面交于两个点 ,由这两点决zz0Zt定的线段叫二次曲面的 弦。定义 6。2。2:若点 C 是二次曲面的通过它的所有弦的中点,C 是二次曲面的对称中心,那么点C叫做二次曲面的中心.定理6。 2.1若点C(xo,yo,zo)
9、是二次曲面的中心,其充要条件是:F1(x0,y0,z0)a11x0a12 y0a13z0a140F2(x0,y0,z0)a12x0a23 y0a23z0a240(6.21)F3(x0,y0,z0)a13x0a23 y0a33z0a340推论 坐标原点是二次曲面的中心,其充要条件是曲面的方程不含有x,y,z的一次项。Fi(x, y,z)二次曲面的中心坐标,由方程组F2(x, y,z)F3(x, y,z)a11xai2ya13Za140a12xa23 ya23Za240(6.2-2)axa23 ya33Za34010 r R 3,这时方程组的系数行列式ana12a133a12a22a23a13a2
10、38330,方程组有惟决定,方程组(6.2 2)叫做二次曲面(1)的中心方程组。根据(6。2-2)的系数矩阵A与增光矩阵Ba11a12a13a11a12a13a14Aa12a22a23,B a2a22a23a24的秩r与R,有a13a23a33a13a23933a34解,二次曲面(1)有惟一中心.20 r R 2,(6。2-2)有无数多解,这些解可用一个参数来线性表示。曲面有无数个中心,这些中心构成一条直线。30 r R 1,( 6。2 2)有无数多解,这些解可用两个参数来线性表示。曲面有 无数个中心,这些中心构成一个平面。40r R,(6.22)无解,这时二次曲面(1)无中心.定义:有唯一中
11、心的二次曲面叫中心二次曲面,没有中心的二次曲面叫 无心二次曲面,有无数中心构成一条直线的二次曲面叫 线心二次曲面,有无数中心构成一平面的二次曲面叫 面心二次曲面,二次曲面中的无心曲面、线心曲面与面心曲面统称为非中心二次曲面.推论 二次曲面(1)成为中心二次曲面的充要条件为I30,成为非中心二次曲面的充要条件为02222务1与双曲面笃笃务 ca b c1的13分别为12a00b21222a b cb2122 2a b c所以椭球面与双曲面都是中心曲面,他们的中心方程组分别为F (x, y, z)x20F1(x,y, z)x20aaF2 (x, y, z)y孑0与F2(x, y,z)yJ0F3(x
12、, y,z)zc0F3(x,y,z)zc0因此,它们的中心都是坐标原点(0,0, 0)2抛物面笃a2yb22z。其丨3 =0 01P 00,所以抛物面为非中心二次曲面,它的F3(x,y,z)b0 01,中心方程组有矛盾,因此抛物面为无心二次曲面例3对于曲面y2 z2 c2 00 0 0I3=0 1 0 0,所以他是非中心二次曲面,但由于Fi(x,y,z)00 0 1F2(x, y,z)y F3(x, y,z)z,所以曲面有一条中心直线y 0,所给曲面为线心曲面。z 0(曲面实际上是一个圆柱面,中心直线就是它的对称轴。)作业:P2542,4,6,8 6.3 二次曲面的切线与切平面定义 6.3。1
13、:直线与二次曲面相交于互相重合的两个点 , 那么这条直线叫二次 曲面的 切线. 重合的交点称之为 切点.特殊情形 :直线全部在二次曲面上,亦称之为二次曲面的切线 , 直线上每一点均是 切点.( 二次曲面的直母线线也是切线。 )一。通过曲面上点 (x0,y0,z0) 的切线方程F(x, y,z)2a11xa22 y a33z 2a12xy2a13xz2a23 yz2a14 x2a24 y 2a34 za440(1)xx0Xt通过曲面(1)的点(x0,y0,z0 ) 的直线yy0Yt(2)zz0Zt1. 直线( 2)曲面(1 )相交于连个重合点的充要条件:2(X,Y,Z) 0XF1 ( x0 ,
14、y0 , Z0 ) YF2(x0,y0,Z0) ZF3 ( x0 , y0, Z0 ) 02. 直线( 2)整个属于曲面( 1)的充要条件:2(X,Y,Z) 0XF1 ( x0 , y0 , Z0 ) YF2(x0,y0,Z0) ZF3 ( x0 , y0, Z0 ) 0综合1、2、两种情况:通过曲面(1)上的点(x0,y0,z0)的直线(2)成为曲面在这个 点处的切线的充要条件是:2XF1(x0,y0,Z0) YF2(x0,y0,Z0) ZF3 ( x0, y0 , Z0 ) 0(3)10, F1(x0,y0,z0) , F2(x0,y0,z0) ,F3(x0,y0,z0) 不全为零。由(
15、2)得X:Y:Z (x x0):(y y0):(z z0) ,代入( 3)得(x x0)F1(x0,y0,Z0) (y y0)F2(x0,y0,z0) (z z0)F3(x0,y0,Z0)0( 6.3-1 )定义 6。3.2 二次曲面在一点处的一切切线上的点构成的平面叫做二次曲面的 切平面 ,这一点叫 切点 。20 F1(x0,y0,z0) , F2(x0, y0,z0) , F3(x0,y0,z0) 全为零 .(3)恒成立 ,它被任何的方向X :Y:Z所满足,因此通过点(X。, yo, Zo)的任何一条直线都是二次曲面的切线。定义 6。3。 3 二次曲面( 1)上满足条件Fi(Xo, yo,
16、Zo) F2(Xo,yo,z) F3(Xo,y,Zo) 0 的点(x,y,Zo)叫做二次曲面 的奇异点,简称奇点,二次曲面的非奇异点叫做二次曲面的 正常点.定理6。3。1如果(Xo,yo,zo)是二次曲面(1)的正常点,那么曲面在点(Xo, yo,Zo)处存在惟一的切平面,它的方程是( 6.31)推论 如果(Xo,y,Zo)是二次曲面(1)的正常点,那么在(Xo,y,Zo)处曲面的切平面方程是:a11X0Xa22y0ya33Z0Za12(X0y y0X)a13(X0ZXZ0)(6.33)a23(y0Z yZ0) a14(XX0) a24(yy0)a34(ZZ0)a440例 求二次曲面 F(X,
17、y,Z)222XyZ4Xy4XZ4yZ2X 2y 2Z18 0在点 (1,2,3) 的切平面方程 .解法一 因为 F(1,2,3)14 9 8 122424618 0 ,所以点(1,2,3)F1 ( X, y, Z) X 2y 2Z 1 在二次曲面上,又因为 F2(X,y,Z)2X y 2Z 1,所以 F1(1,2,3)8, F2(1,2,3)F3(X,y,Z)2X 2y Z 15, F3(1,2,3)2,这说明 (1,2,3) 是已知曲面上 的正常点,所以根据公式( 6。 31)得曲面在点 (1,2,3) 处的切平面方程为8(x 1)5(y2)2(z3)0,即 8x 5y 2z 240解法二
18、 由解法一知 (1,2,3) 是已知曲面上的正常点,所以根据公式( 6.3-3 ) 得所求切平面的方程是X 2y 3Z 2(2X y) 2(3X Z) 2(3y2Z) (X 1) (y 2) (Z 3)180即 8X 5y 2Z 240作业:P258 3,5,6,8个人收集整理勿做商业用途 6。 4 二次曲面的径面与奇向本节讨论二次曲面 F(x,y,z)a11x2 a22y2 a33z2 2a12xy 2a13xz2a23 yz 2a14 x 2a24 y 2a34 z a44(1)的平行弦的中点轨迹。定理 二次曲面的一族平行弦的中点的轨迹是一个平面证明:设X:Y:Z为二次曲面的任意一个非渐进
19、方向,而(心丫。)为平行于x x0 Xt方向X :Y:Z的任意弦的中点,那么弦的方程可以写成y yo Yt( 2)z z0 Zt面弦的两端点是由二次方程2(X,Y,Z)t2 XF1(x0,y0,z0) YF2(x0 , y0 , z0 ) ZF3(x0,y0,z0)t F(x0,y0,z0) 0的两根ti和t2所决定,因为(xo, yo,Zo)为弦的中点的充要条件是ti t20,即XF1(x0,y0,z0) YF2(x0,y0,z0) ZF3(x0,y0,z0) 0 ,把上式中的 (x0,y0,z0) 改写为(x,y,z) 便 得 平 行 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 为 XFi(x, y,
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