矩阵分析第3版史荣昌魏丰.第一章课后习题答案.doc
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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date矩阵分析(第3版)史荣昌,魏丰.第一章课后习题答案矩阵分析(第3版)史荣昌,魏丰.第一章课后习题答案第1章 线性空间和线性变换(详解)1-1 证:用表示n阶矩阵中除第行,第列的元素为1外,其余元素全为0的矩阵.用表示n阶矩阵中除第行,第列元素与第行第列元素为1外,其余元素全为0的矩阵. 显然,都是对称矩阵,有个.不难证明,是线性无关的,且任何一个对称矩阵都可用这n+=
2、个矩阵线性表示,此即对称矩阵组成维线性空间.同样可证所有n阶反对称矩阵组成的线性空间的维数为.评注:欲证一个集合在加法与数乘两种运算下是一个维线性空间,只需找出个向量线性无关,并且集合中任何一个向量都可以用这个向量线性表示即可.1-2解: 解出即可.1-3 解:方法一 设即 故 于是解之得即在下的坐标为.方法二 应用同构的概念,是一个四维空间,并且可将矩阵看做,可看做.于是有因此在下的坐标为.1-4 解:证:设即于是解之得故线性无关.设于是解之得即为所求坐标.1-5 解:方法一 (用线性空间理论计算)又由于于是在基下的坐标为方法二 将根据幂级数公式按展开可得因此在基下的坐标为.评注:按照向量坐
3、标定义计算,第二种方法比第一种方法更简单一些.1-6 解:设将与代入上式得故过渡矩阵设将坐标代入上式后整理得评注:只需将代入过渡矩阵的定义计算出.1-7 解:因为由于秩,且是向量的一个极大线性无关组,所以和空间的维数是3,基为.方法一 设,于是由交空间定义可知解之得为任意数于是很显然所以交空间的维数为1,基为.方法二 不难知其中.又也是线性方程组的解空间.是线性方程组的解空间,所以所求的交空间就是线性方程组的解空间,容易求出其基础解系为,所以交空间的维数为1,基为.评注:本题有几个知识点是很重要的.的基底就是的极大线性无关组.维数等于秩.方法一的思路,求交就是求向量,既可由线性表示,又可由线性
4、表示的那部分向量.方法二是借用“两个齐次线性方程组解空间的交空间就是联立方程组的解空间”,将本题已知条件改造为齐次线性方程组来求解.1-8解:(1):解出方程组的基础解系,即是的基,解出方程组的基础解系,即是的基;(2): 解出方程组的基础解系,即为的基;(3):设,则的极大无关组即是的基.1-9解:仿上题解.1-10解: 仿上题解.1-11 证:设 用从左侧成式两端,由可得因为,所以,代入可得 用从左侧乘式两端,由可得,继续下去,可得,于是线性无关.1-12 解:由1-11可知,个向量线性无关,它是的一个基.又由所以在下矩阵表示为阶矩阵评注:维线性空间中任何一组个线性无关的向量组都可以构成的
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