现代光学第1章现代光学的数学物理基础.ppt

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1、第1章 现代光学的数学物理基础1 1第1章 现代光学的数学物理基础1.1光波场的复振幅描述1.2二维傅里叶变换与频谱函数的概念1.3卷积与相关1.4现代光学中常用的函数1.5连续函数信号的离散与抽样定理1.6光波场的部分相干理论简介第1章 现代光学的数学物理基础2 21.1光波场的复振幅描述1.1.1从几何光学到波动光学几何光学是波动光学在波长趋于零的极限情况下的近似。几何光学以费马原理(可导出光的直线传播规律、反射和折射定律)为基础，采用数学中的几何方法，研究成像光学仪器的设计、像差计算与消除和成像质量改善的问题。几何光学在处理成像问题上比较简单、精确,是设计各种光学仪器的基础，因而得到广泛

2、应用。第1章 现代光学的数学物理基础3 3现在我们从几何光学过渡到波动光学。首先由费马原理知道，光从给定点P到Q将沿着两点之间的光程为极值的路线传播，即 (1.1-1)式中：n(x,y,z)为折射率。费马原理与经典力学中的哈密顿变分原理相似。按照经典力学中的哈密顿原理，质点在时间t1和t2之间的轨迹满足：(1.1-2)第1章 现代光学的数学物理基础4 4式中:L为拉格朗日函数，它是广义坐标和广义速度的函数，而积分是在时间上进行的。与之相比，费马原理是在空间变量上进行积分的。注意到无限小弧长ds可写为 (1.1-3)式中:“”表示对z的微商。将s换成z，式(1.1-1)可改写为 (1.1-4)第

3、1章 现代光学的数学物理基础5 5由式(1.1-4)与式(1.1-2)，可以给出相应的光学拉格朗日函数定义：(1.1-5)此处，z可假定起着与拉格朗日力学中的时间相同的作用。与经典力学中的情况类似，我们同样能够引入哈密顿量。根据经典力学中广义动量p和q的定义:(1.1-6)第1章 现代光学的数学物理基础6 6将式(1.1-5)中的L值代入得 (1.1-7)第1章 现代光学的数学物理基础7 7这里,p和q称为光线的方向余弦。应用光学拉格朗日函数L和光线的方向余弦p、q，可以定义光学哈密顿函数H:(1.1-8)进一步可以将光学哈密顿函数写为 (1.1-9)第1章 现代光学的数学物理基础8 8例如，

4、经典动量在量子力学中用相应的动量算符代替，对于x分量，动量算符为 (1.1-10)式中:h是普朗克常数。类似地，在从几何光学过渡到波动光学中，利用式(1.1-7)同样可写出相应的动量算符为 (1.1-11)第1章 现代光学的数学物理基础9 9此外，在量子力学中，能量相当于算符 而在波动光学中，它对应为 应用光学哈密顿量，可以写出相应的薛定谔方程:即 (1.1-12)第1章 现代光学的数学物理基础1010应用式(1.1-11)，式(1.1-12)变为(1.1-13)式中:为波函数。式(1.1-13)与标量波动方程式比较，能够看出 其中0是真空中的波长。这样我们就由几何光学过渡到波动光学。第1章

5、现代光学的数学物理基础1111定态光波场可用实值标量函数表示为 (1.1-14)式中：(x,y,z)为空间一点P的位置坐标；为光波的时间频率;u(x,y,z)为光波的振幅;j(x,y,z)为光波在P点的初相。为常量的光波称为单色光波。虽然理想的单色光波并不存在，但是研究单色光具有实际意义，它是研究准单色光和复色光波的基础。第1章 现代光学的数学物理基础12121.1.2光波场的复振幅描述为了数学运算方便，通常把光波场用复指数函数表示为 (1.1-15)为简单起见，通常又把取其实部的符号Re略去，简写为 (1.1-16)第1章 现代光学的数学物理基础1313对于单色光波，式(1.1-16)中的时

6、间因子不随空间位置变化，在研究光振动的空间分布时，可将其略去。由此可引入光波复振幅的概念，定义光波的复振幅为(1.1-17)第1章 现代光学的数学物理基础1414显然，复振幅是以振幅为模，初相为辐角的复指数函数，用来描述光波的振幅和相位随空间位置坐标的变化关系。光强随空间位置坐标的变化关系可用复振幅表示为 (1.1-18)式中：U*为U的复共轭。复振幅的引入，大大方便了光学问题的研究。第1章 现代光学的数学物理基础15151.平面波平面波的特点是：在各向同性介质中，光波场相位间隔为2的等相面是垂直于传播方向的一组等间距平面，场中各点的振幅为一常量。如图1.1-1所示，设平面光波沿z轴方向传播，

7、观察点P的矢径为r，坐标为(x,y,z)，光波在坐标原点的初相为jO,则P点的初相为 (1.1-19)第1章 现代光学的数学物理基础1616式中：为光波长；k为波矢的大小。由于坐标原点选择的任意性，总可使jO=0，因此，沿z轴方向传播的平面波的复振幅可表示为 (1.1-20)可见，相位函数只随z变化，与变量x、y无关。第1章 现代光学的数学物理基础1717图1.1-1沿z轴传播的平面波第1章 现代光学的数学物理基础1818当平面波的传播方向不在z轴方向时，用波矢k表示波的传播方向，其方向余弦为cos、cos、cos，仍设观察点P的矢径为r，于是平面波的复振幅一般可表示为 (1.1-21)P点的

8、相位函数j(x,y,z)=k(x cosa+y cosb+z cosg)为坐标变量的线性函数。第1章 现代光学的数学物理基础19192.球面波若选择直角坐标系的原点与球面波中心重合，xOz面内的波面线如图1.1-2所示。第1章 现代光学的数学物理基础2020图1.1-2球面波示意图 第1章 现代光学的数学物理基础2121取jO=0，r=1处的振幅为a0，对于发散球面波，k与r同向，kr=kr；对于会聚球面波，k与r反向，kr=kr。所以球面波的复振幅为(1.1-22)第1章 现代光学的数学物理基础22223.柱面波均匀无限长同步辐射的线光源发出的光波为柱面波。柱面波的特征是：相位间隔为2的等相

9、面是一组等间距同轴柱面，光波场中各点的振幅与该点到轴线的距离的平方根成反比。第1章 现代光学的数学物理基础2323图1.1-3柱面波示意图第1章 现代光学的数学物理基础2424如图1.1-3所示，取线光源在一直角坐标轴上，若r在k方向上的投影的大小为r，则柱面波的复振幅为 (1.1-23)第1章 现代光学的数学物理基础25251.1.3 光波场中任意平面上的复振幅及其空间频率的概念 1.平面光波场中任意平面上的复振幅设观察面为(x,y,z1)平面，由式(1.1-21)得到该平面上的复振幅为令 (1.1-24)第1章 现代光学的数学物理基础2626对于给定的观察面，z1为常量，则U0也是与x、y

10、无关的常量。显然U0不影响该面上复振幅的相对分布。于是该观察面上的复振幅可简写为 (1.1-25)第1章 现代光学的数学物理基础27272.球面光波场中任意平面上的复振幅这里以发散球面波为例讨论。如图1.1-4所示，点光源Q(x0,y0)在(x0,y0,z0)面内，观察点P(x,y)在(x,y,z1)面内，两平面间距离为d=z1z0。Q到P的矢径为r，z0到P的矢径为r0，Q到z1的矢径为r1，这些矢径的长度分别为 (1.1-26)第1章 现代光学的数学物理基础2828图 1.1-4离轴发散球面波分析第1章 现代光学的数学物理基础2929根据式(1.1-22)，点光源Q发出的球面波在(x,y,

11、z1)面上的复振幅为 (1.1-27)当该光波传播过程满足旁轴条件时，点光源Q到z轴的距离和观察点P到z轴的距离都远小于光波传播距离d，亦即满足 (1.1-28)第1章 现代光学的数学物理基础3030可将r0、r1和r的表达式作泰勒展开，取旁轴近似为 (1.1-29)第1章 现代光学的数学物理基础3131由于振幅随r的变化比较缓慢，故振幅因子中的r可作近似：rd，于是得到旁轴近似条件下轴外点光源发出的球面波在(x,y,z1)面上的复振幅分布的表达式为 (1.1-30)如果点光源在z轴上，则有x0+y0=0，式(1.1-30)简化为 (1.1-31)第1章 现代光学的数学物理基础3232如果点光

12、源Q满足远场条件，即 (1.1-32)则式(1.1-30)中的项可以忽略，得 (1.1-33)第1章 现代光学的数学物理基础3333如果观察点P的分布范围也都满足远场条件，即 (1.1-34)则式(1.1-33)中的k(x2+y2)/(2d)项也可以忽略，于是式(1.1-30)进一步简化为 (1.1-35)第1章 现代光学的数学物理基础34343.复振幅的空间频率描述1)平面波复振幅的空间频率表示为了定量描述光波复振幅U(x,y)的空间周期分布，引入了新物理量：空间频率f和空间周期，它们在直角坐标系中对应的分量分别为(,)和(x，y，z)，并把平面波在任一平面的复振幅分布表示式(1.1-25)

13、改写为 (1.1-36)第1章 现代光学的数学物理基础3535与光波复指数表示式中随时间变化的因子ei2t比较可见，其空间频率的直角分量分别为 (1.1-37)空间频率为 (1.1-38)第1章 现代光学的数学物理基础3636空间频率常用的单位是线每毫米(l/mm)。相应的空间周期分量分别为 (1.1-39)空间周期为 (1.1-40)第1章 现代光学的数学物理基础3737因此，观察平面(x,y,z1)上平面波的复振幅可用空间频率表示为 (1.1-41)由于cos和cos是波矢量k相对于x轴和y轴的方向余弦，因此沿波矢量k方向的空间周期最小，且等于。空间频率的示意图如图1.1-5所示。第1章

14、现代光学的数学物理基础3838图 1.1-5平面波的空间频率示意图(a)k为任意方向；(b)空间频率分量5。这时f()h(x)=0，所以g(x)=0。综合以上过程，用解析法计算卷积的结果为第1章 现代光学的数学物理基础95951.3.2相关的定义、性质和计算1.定义和性质若f(x)和h(x)是两个实变量的复值函数，则它们之间的互相关记作f(x)h(x)或rfh(x)，并定义为 (1.3-2)式中:h*(x)为h(x)的复共轭函数。若令x=，则有 (1.3-3)第1章 现代光学的数学物理基础9696当f(x)和h(x)是实函数时，它们的互相关为 (1.3-4)第1章 现代光学的数学物理基础979

15、7若f(x)是实变量的复值函数，则它的自相关定义为 (1.3-5)当f(x)是实函数时，它的自相关为 (1.3-6)第1章 现代光学的数学物理基础9898在实际应用中，通常用rf(0)把自相关函数归一化，记作 (1.3-7)显然，g(0)=1。第1章 现代光学的数学物理基础9999相关有下述性质：1)自相关性质(1)复函数f(x)的自相关函数rf(x)是厄米函数，即rf(x)=r*f(x)。由于因此有rf(x)=r*f(x)。当f(x)为实函数时，其自相关函数rf(x)也是实函数，而且是x的偶函数，即rf(x)=rf(x)。第1章 现代光学的数学物理基础100100(2)当x=0时，自相关函数

16、的模达到最大值，即|rf(x)|rf(0)|。(3)复函数的自相关函数rf(x)可以是实函数，也可以是复函数，但不可能是虚函数。(4)当|x|时，第1章 现代光学的数学物理基础1011012)互相关性质(1)互相关不满足交换律，即rfh(x)rhf(x)。若函数f(x)、h(x)的相关次序交换，则有rfh(x)=r*hf(x)。(2)互相关函数满足不等式(3)当|x|时，第1章 现代光学的数学物理基础1021023)相关定理(维纳辛钦定理)(1)自相关定理。若则利用卷积定理和傅里叶变换的共轭特性，求|F()|2的傅里叶逆变换，有第1章 现代光学的数学物理基础103103(2)互相关定理。若 则

17、应用互相关的定义和傅里叶变换的性质，有第1章 现代光学的数学物理基础1041042.相关的计算相关的计算方法和卷积的计算方法一样，有图解法和解析法两种，计算步骤也大致相同。由自相关的定义可知，图解法中位移的函数不需要折叠，因此只有位移、相乘和积分三个步骤。第1章 现代光学的数学物理基础1051051.4现代光学中常用的函数1.函数1)函数的定义及表示方法在20世纪20年代，狄拉克在研究处理一些包含某种无穷大量时，为了得到一个精确的符号，引入了函数，并将其定义为第1章 现代光学的数学物理基础106106 (1.4-1)及 (1.4-2)第1章 现代光学的数学物理基础107107根据函数的定义，可

18、以看出函数具有下列特征：(1)(x)的定义只是表明，在一个很小的范围内它的值不为零，而它在这个范围内的形状却没有规定。也就是说，允许函数有各种形状，甚至可以有轻微振荡。(2)根据积分性质，式(1.4-1)和式(1.4-2)中的积分上下限范围不一定为+，只要把(x)不为零的那一部分包括在积分区间即可。(3)(x)是奇异函数，本身没有确定值，但它作为被积函数中的一个乘积因子，其积分结果却有确定值。第1章 现代光学的数学物理基础108108(4)函数是一个广义函数，它可以看成是函数序列的极限，常用的函数序列有第1章 现代光学的数学物理基础109109第1章 现代光学的数学物理基础110110在现代光

19、学中，函数一般表示成高度为1的箭头，如图1.4-1所示。数值1不是表示 函数的数值，而是表示 函数与整个x轴围成的面积。第1章 现代光学的数学物理基础111111图 1.4-1函数的示意图第1章 现代光学的数学物理基础1121122)函数的性质根据函数的定义和广义函数的运算规则，不难证明函数有如下性质:(1)筛选特性。对任一个连续函数j(x)，有第1章 现代光学的数学物理基础113113(2)尺度变换特性。若a为任意实数，则如果a=1，则上式变为(x)=(x)，这表明 函数是偶函数。同理，若b和x0为任意实数，则有第1章 现代光学的数学物理基础114114(3)乘积特性。设j(x)是在x0点连

20、续的基本函数，有当x0=0时，得第1章 现代光学的数学物理基础115115当j(x)=x时，有若x0=0，则第1章 现代光学的数学物理基础116116(4)卷积特性。设j(x)是任一连续函数，则这是因为第1章 现代光学的数学物理基础117117(5)积分特性。由函数的定义可知，(x)在区间(，+)上的积分为1，即若A是任意实常数，则第1章 现代光学的数学物理基础118118(6)函数的傅里叶变换。函数的傅里叶变换为1，即其逆变换为第1章 现代光学的数学物理基础1191193)二维函数在直角坐标系中，二维函数定义为即二维函数可以表示为两个一维函数的乘积。第1章 现代光学的数学物理基础120120

21、2.偶脉冲对与奇脉冲对 偶脉冲对与奇脉冲对分别用符号dd(x)和d d(x)表示，如图1.4-2 所示，并定义为 (1.4-3)第1章 现代光学的数学物理基础121121图 1.4-2偶脉冲对与奇脉冲对第1章 现代光学的数学物理基础122122偶、奇脉冲对可以沿x轴平移，也可以改变比例，如图1.4-3所示，这时它们的表达式分别为 (1.4-4)第1章 现代光学的数学物理基础123123图 1.4-3偶、奇脉冲对的位移和比例改变第1章 现代光学的数学物理基础124124偶、奇脉冲对可以用来表示天空中的双星，以及两个分开一定距离的点光源。偶、奇脉冲对是由两个函数的和、差构成的，由函数的定义不难得到

22、偶、奇脉冲对的筛选特性、乘积特性和复制特性。此外，由图1.4-2可见，偶脉冲对是偶函数，奇脉冲对是奇函数，即偶、奇脉冲分别与余弦、正弦函数构成傅里叶变换对，即第1章 现代光学的数学物理基础1251253.阶跃函数 阶跃函数(刀口函数)用step(x)表示，且定义为 (1.4-5)如图1.4-4所示，在x=0处为不连续点，其跃度为1，所以称为单位阶跃函数。第1章 现代光学的数学物理基础126126图 1.4-4阶跃函数第1章 现代光学的数学物理基础127127阶跃函数可以平移和改变方向，如表示不连续点移至x0处，而常数b(=1)的正负决定阶跃函数的射向，如图1.4-5所示。第1章 现代光学的数学

23、物理基础128128图1.4-5阶跃函数位移和反转第1章 现代光学的数学物理基础129129阶跃函数可以用来表示快门的开启，在研究直边衍射和像质评定时，用来描述衍射屏和成像物体。阶跃函数表示光强时，很像刀口检查仪的刀口，所以也称为刀口函数。它的作用也像开关，用来在某点打开另一个函数，例如斜坡函数定义为 (1.4-6)其中,step(x)的作用就是截取第象限内过原点的45斜线，如图1.4-6所示。第1章 现代光学的数学物理基础130130图 1.4-6斜坡函数第1章 现代光学的数学物理基础131131阶跃函数的导数为函数，即因此，函数的积分为阶跃函数第1章 现代光学的数学物理基础132132阶跃

24、函数的积分为斜坡函数阶跃函数与任一函数f(x)的卷积为或第1章 现代光学的数学物理基础133133由于阶跃函数不满足狄里赫利充分条件，因此不能直接得到其傅里叶变换式。但阶跃函数可看成是指数衰减函数当 时的极限，即而指数衰减函数的傅里叶变换为第1章 现代光学的数学物理基础134134所以因此有第1章 现代光学的数学物理基础1351354.符号函数符号函数用sgn(x)表示，且定义为 (1.4-7)根据x的正负，符号函数的值分别取+1或1，原点x=0处为不连续点，其跃度为2，如图1.4-7所示。第1章 现代光学的数学物理基础136136图 1.4-7符号函数第1章 现代光学的数学物理基础13713

25、7符号函数也可以移位和反向，例如:(1.4-8)表示不连续点在x=x0处，而常数b(=)的正负决定符号函数在x=x0处上跃或下跃，如图1.4-8所示。第1章 现代光学的数学物理基础138138图 1.4-8符号函数的移位和反向第1章 现代光学的数学物理基础139139符号函数可以用来改变一个变量或函数在某些点的正负，因此，在一个函数中引入符号函数，根据给定条件的不同相当于引入正号或负号。但符号函数与“+”、“”号不同，它可以参加运算。符号函数与1/(i)构成傅里叶变换对，即第1章 现代光学的数学物理基础1401405.矩形函数高度和长度均为1，面积也为1的矩形函数如图1.4-9 所示，并定义为

26、1.4-9)第1章 现代光学的数学物理基础141141矩形函数可以平移和改变比例，例如：表示高为h，宽为b，面积等于hb，中心位于x0处的矩形函数，如图1.4-10所示。第1章 现代光学的数学物理基础142142图 1.4-9矩形函数 第1章 现代光学的数学物理基础143143图1.4-10矩形函数的平移和改变比例第1章 现代光学的数学物理基础144144矩形函数是一个十分有用的函数，它可以用来以任意幅度h和任意宽度b截取某个函数的任一段，因此矩形函数也称为门函数或矩形窗函数。例如rect(x1/2)sinx,如图1.4-11 所示。第1章 现代光学的数学物理基础145145图 1.4-11

27、矩形函数的截断作用第1章 现代光学的数学物理基础146146它也提供了只在一个区段定义的函数的简洁记法，例如f(x)=rect(x)cosx就是下面函数的简洁表达式，即第1章 现代光学的数学物理基础147147矩形函数的傅里叶变换可按定义直接求出由傅里叶变换的性质不难得到第1章 现代光学的数学物理基础1481486.三角形函数三角形函数用符号(x)表示，其定义为 (1.4-10)第1章 现代光学的数学物理基础149149式(1.4-10)表示高度为1，底边长为2，面积为1的三角形，如图1.4-12 所示。平移和展宽后的三角形函数如图1.4-13所示，它的表达式为第1章 现代光学的数学物理基础1

28、50150图 1.4-12三角形函数第1章 现代光学的数学物理基础151151图1.4-13三角形函数的平移和展宽第1章 现代光学的数学物理基础152152该式表示高度为1，底边长为2|b|，面积为|b|，中心移到x=x0处的三角形。b的正负不影响三角形函数的图形形状。三角形函数可以用矩形函数的自卷积求得，即根据傅里叶变换的定义直接积分可得第1章 现代光学的数学物理基础1531537.sinc函数和sinc2函数sinc函数定义为 (1.4-11)sinc函数如图1.4-14所示。第1章 现代光学的数学物理基础154154图 1.4-14sinc函数 第1章 现代光学的数学物理基础155155

29、sinc函数同样可以平移和扩展，如表示中心移至x=x0处，最大值仍为1，但第一级两个零点之间的宽度等于2|b|，曲线包围的总面积为|b|的sinc函数。第1章 现代光学的数学物理基础156156在一定条件下，sinc函数有类似于函数的性质，如又如，一个频谱仅在有限区域内不为零的带限函数f(x)，若它的全带宽为w(即当|w/2 时，F()0)，且w1/|b|，则有第1章 现代光学的数学物理基础157157sinc2函数定义为 (1.4-12)该函数的图形如图1.4-15所示。第1章 现代光学的数学物理基础158158图 1.4-15sinc2函数 第1章 现代光学的数学物理基础159159与si

30、nc函数一样，sinc2函数也可以平移和扩展。sinc函数可用来表示单缝夫琅和费衍射的振幅分布，sinc2函数可用来表示单缝夫琅和费衍射的光强分布。sinc函数和sinc2函数的傅里叶变换为第1章 现代光学的数学物理基础1601608.高斯函数 高斯函数定义为 (1.4-13)其图形如图1.4-16所示。这种函数的最大值为1，面积也为1。平移和扩展后的高斯函数形式为第1章 现代光学的数学物理基础161161图 1.4-16高斯函数第1章 现代光学的数学物理基础162162高斯函数也称为正态分布函数。高斯函数非常“光滑”，可以无穷次求导，属于“性质特别好”的一类函数。高斯函数的傅里叶变换仍为高斯

31、函数，即第1章 现代光学的数学物理基础1631639.圆域函数圆域函数是一个二元函数，在光学中用来表示圆形光瞳的透过率。圆域函数在直角坐标系中的定义为(1.4-14)第1章 现代光学的数学物理基础164164在极坐标系中圆域函数有简单的形式 (1.4-15)以上两式表示的圆域函数在半径为1、面积为的区域内的值等于1。显然，圆域函数只是半径r的函数，与极角无关，是圆对称的，即f(r,)=fR(r)，如图1.4-17所示。第1章 现代光学的数学物理基础165165图 1.4-17圆域函数第1章 现代光学的数学物理基础166166因此圆域函数的傅里叶-贝塞尔变换为令r=2r，并利用恒等式则有第1章

32、现代光学的数学物理基础16716710.抽样函数 抽样函数(comb函数)用符号comb(x)表示，定义为 (1.4-16)式中：n为整数。该函数是一距离间隔为1的函数序列，如图1.4-18所示。第1章 现代光学的数学物理基础168168图 1.4-18梳状函数 第1章 现代光学的数学物理基础169169comb函数可以平移和改变比例，如表示间隔为|b|，面积也为|b|，位置移到x0nb(n=0,1,2,)处的函数序列，如图 1.4-19 所示。第1章 现代光学的数学物理基础170170图 1.4-19梳状函数的平移和改变比例第1章 现代光学的数学物理基础171171由于抽样函数是一列函数的和

33、式，因此由函数的性质可以得到comb函数有下列性质。(1)比例变换特性:(2)奇偶性:comb(x)是偶函数，即comb(x)=comb(x)。(3)周期性:comb(x+n)=comb(x)，n为整数，即comb(x)是周期为1的周期函数。第1章 现代光学的数学物理基础172172(4)抽样特性(乘积特性):comb函数与任一函数f(x)相乘可以对该函数进行周期抽样，而抽样值只存在函数所在的整数点处，如图1.4-20所示，即若抽样点为非整数点，且抽样周期不等于1，则有第1章 现代光学的数学物理基础173173图 1.4-20comb函数的抽样特性第1章 现代光学的数学物理基础174174(5

34、)复制特性(卷积特性)：comb函数与任一函数f(x)的卷积的结果使f(x)在x的整数点上重复出现，见图1.4-21，即第1章 现代光学的数学物理基础175175图 1.4-21comb函数的复制特性第1章 现代光学的数学物理基础176176comb函数的傅里叶变换是不同间隔的另一个comb函数，即第1章 现代光学的数学物理基础1771771.5连续函数信号的离散与抽样定理1.离散信号的表示给定一个连续函数y=f(x)，对其进行等间隔抽样使之离散化，若抽样间隔为，则在各抽样点x=n(n=0,1,2,)所得到的离散函数记为yn=f(n)。可见，离散信号的表示方法，就是用自变量的离散值n替代连续变

35、量x。第1章 现代光学的数学物理基础178178例如，一个连续函数为若抽样间隔为，则其离散函数为显然，离散函数和连续函数是部分与整体的关系，而抽样得到的这个部分必须能全面反映整体。第1章 现代光学的数学物理基础1791792.正弦函数的抽样定理一正弦信号 (1.5-1)式中:A、和j分别为振幅、频率和初相，它们是确定该正弦信号的三个特征量。若以抽样间隔对其进行抽样，得到离散的正弦信号为 (1.5-2)它是如图1.5-1所示的离散点列。第1章 现代光学的数学物理基础180180图 1.5-1离散的正弦信号 第1章 现代光学的数学物理基础181181例如，取n=0，1三点上的离散值s(0)(0)、

36、s()和 s()，且02。由式(1.5-2)可得 (1.5-3)当n=0时，有 (1.5-4)第1章 现代光学的数学物理基础182182将式(1.5-4)代入式(1.5-3)得 (1.5-5)将n=1代入式(1.5-5)，有并可求得 (1.5-6)(1.5-7)第1章 现代光学的数学物理基础1831833.任意连续函数的抽样定理 对连续函数f(x)以抽样间隔抽样得到离散函数f(n)，能否惟一地恢复f(x)呢？由傅里叶分析可知，任一连续函数可以表示为频率连续的无穷多个谐波分量的叠加，其中每一个谐波分量的振幅A和初相j由f(x)的频谱函数F()确定。如果f(x)的每一个谐波分量都能惟一地恢复出来，

37、那么这些谐波分量的线性组合必然是原函数f(x)。对于频率为的谐波，只要F()0，根据正弦信号的抽样定理，抽样间隔必须满足1/2。第1章 现代光学的数学物理基础1841844.奈奎斯特(Nyguist)频率由以上分析可见，无论是对正弦信号抽样，还是对连续函数抽样，离散信号能够正确恢复原函数的关键是抽样间隔，且1/(2c)，其中c是被抽样正弦函数的频率或频谱函数F()的截止频率。由此抽样间隔所决定的抽样频率1/称为奈奎斯特频率，用N表示。第1章 现代光学的数学物理基础185185图 1.5-2谱瓣重叠现象第1章 现代光学的数学物理基础1861865.函数的抽样与恢复具体步骤如下：(1)抽样。设有一

38、个连续函数f(x)，以满足抽样定理的抽样间隔对其进行抽样。由comb函数的性质可知，comb(x/)与函数f(x)相乘就把x=n各点处的函数值抽取出来，得到一个离散函数 (1.5-8)显然，离散函数f(x)比f(n)扩大了倍，如图1.5-3所示。但这对原函数的恢复并不产生影响。第1章 现代光学的数学物理基础187187图 1.5-3离散函数f(x)第1章 现代光学的数学物理基础188188(2)求离散频谱。对离散函数f(x)进行傅里叶变换得到离散频谱F()，即 (1.5-9)可见，离散频谱F()是频谱函数F()的周期性延拓，包含了频谱函数F()，如图1.5-4 所示。第1章 现代光学的数学物理

39、基础189189图 1.5-4离散函数的频谱F()第1章 现代光学的数学物理基础190190(3)原函数的恢复。为了恢复原函数f(x)，必须使离散频谱F()无失真地通过一理想低通滤波器，通过该滤波器后得到原函数f(x)的频谱F()，显然该滤波器的传递函数是一个矩形函数 (1.5-10)通过滤波器后的输出频谱为 (1.5-11)第1章 现代光学的数学物理基础191191(4)在空(时)域恢复原函数。在空间域可以由离散函数f(x)直接恢复原函数f(x)。对式(1.5-11)进行傅里叶逆变换得 (1.5-12)式中:h(x)为低通滤波器的脉冲响应函数，它是H()的傅里叶逆变换，且第1章 现代光学的数

40、学物理基础192192由式(1.5-8)、式(1.5-12)和上式得到 (1.5-13)第1章 现代光学的数学物理基础1931931.6光波场的部分相干理论简介1.6.1互相干函数和互相干度利用光波场如下两个性质来研究光波场的相干性：(1)由数学的观点来看，光波场是平稳随机场，即U(r,t)的时间平均值。(2)探测器的分辨时间远大于光扰动的周期，记录的只是一段时间间隔内的平均效果。所以，光强和描述光场其他特性的量采用时间平均值的概念。第1章 现代光学的数学物理基础194194一般用互相干函数来度量两束光的关联程度，如图1.6-1所示。Q点处的光场可以由两小孔P1和P2处的次级波源产生的光扰动叠

41、加而成，Q点t时刻的光扰动可表示为 (1.6-1)第1章 现代光学的数学物理基础195195图 1.6-1扩展光源的多色光干涉第1章 现代光学的数学物理基础196196由于光辐射的随机性，光波场中Q点的光强为时间的平均值，表示为 (1.6-2)第1章 现代光学的数学物理基础197197把式(1.6-1)代入，整理后得 (1.6-3)第1章 现代光学的数学物理基础198198令=t2t1，考虑到平稳场的时间平均值与时间原点的选取无关，移动时间原点得 (1.6-4)第1章 现代光学的数学物理基础199199当P1、P2点重合时，得到或 (1.6-5)第1章 现代光学的数学物理基础20020011(

42、)、22()称为自相干函数，它表示光场中同一点、不同时刻的光扰动之间的相干性。显然，当=0时，有为了比较不同条件下的互相干函数，对12()进行归一化，定义复相干度 (1.6-6)第1章 现代光学的数学物理基础201201这样，式(1.6-4)可改写为 (1.6-7)这就是平稳光场部分相干理论的一般公式。式(1.6-7)表明要确定两束部分相干光干涉的光强，必须知道每束光的强度和复相干度。第1章 现代光学的数学物理基础2022021.6.2准单色光的干涉和互强度虽然理想的单色辐射光源不存在，但是像激光等光源的辐射场可以看做准单色光，下面研究这一类光场的相干性质。1.准单色光的互强度前面定义的复相干

43、度为一复函数，可以写成 (1.6-8)第1章 现代光学的数学物理基础203203在准单色光情况下，式(1.6-8)中的相位因子可表示为其中12()为P1和P2点处的光扰动相位的表观相对延迟，反映这两个扰动相干时干涉条纹的位置；为中心频率。若令根据式(1.6-7)，Q点的光强可写成 (1.6-9)第1章 现代光学的数学物理基础204204由于 因此当Q点相对于P1和P2点移动时，的变化比的变化大得多。那么式(1.6-9)中的相位因子12()和振幅|12()|由于Q点位置改变所引起的变化比cos和sin缓慢得多，可视为常量。因此Q点光强的极大值、极小值分别为 (1.6-10)第1章 现代光学的数学

44、物理基础205205干涉条纹的对比度为(1.6-11)第1章 现代光学的数学物理基础206206图 1.6-2两束等光强相干的三种强度分布(a)|12()|=1;(b)0|12()|1;(c)|12()|=0第1章 现代光学的数学物理基础207207如果两准单色光束的光强相等，则对比度简化为 (1.6-12)即对比度等于复相干度的模。可见通过实验，可用测量干涉条纹对比度的方法来确定复相干度的大小。第1章 现代光学的数学物理基础208208下面对准单色光的相干光强分布做进一步分析。当|比相干时间c小很多，即|1/=c，或 若取12()为12()的傅里叶变换，则有第1章 现代光学的数学物理基础20

45、9209由于因此近似有 (1.6-13)令=0，则有 (1.6-14)因此 (1.6-15)第1章 现代光学的数学物理基础210210这意味着，当满足条件|1/=c时，|12()|、|12()|分别与|12(0)|、|12(0)|相差很小。式(1.6-9)可近似表示为 (1.6-16)令12=12(0)，12=12(0),则有 (1.6-17)第1章 现代光学的数学物理基础2112112.范西特-泽尼克定理范西特-泽尼克定理所给出的是扩展不相干准单色光场的互强度和复相干度的计算公式。如图1.6-3所示，扩展准单色光源照明离光源距离OO1的屏M，光源与屏M之间为均匀介质。设的线度远小于OO1，所

46、研究屏上的两点P1、P2离O1不远。第1章 现代光学的数学物理基础212212图 1.6-3范西特-泽尼克定理示意图第1章 现代光学的数学物理基础213213把扩展光源看成是N个小面元组成的，屏M上两点P1、P2的光扰动为各面元引起的光扰动之和因此互强度可以表示为第1章 现代光学的数学物理基础214214由于扩展光源各面元的光辐射没有确定的相位关系(不相关)，因此mn的面元对互强度的贡献为零，互强度可简化为 (1.6-18)如果光源中第m面元sm离P1、P2点的距离分别为rm1、rm2，则该面元在P1、P2点的光扰动分别为 (1.6-19)第1章 现代光学的数学物理基础215215式中：Am1

47、和Am2是第m面元在P1、P2点的光扰动的振幅；v为光波在媒质中的传播速度。将式(1.6-19)代入式(1.6-18)得第1章 现代光学的数学物理基础216216在准单色光条件下，rm2rm1远小于相干长度，近似有Am1=Am2=Am，并且振幅中(rm2rm1)/v 因子可以忽略，故上式简化为 (1.6-20)第1章 现代光学的数学物理基础217217式中:Am1(t)A*m2(t)为光源面元sm的辐射光强。若用I(s)表示单位面积的光强，并令N,sds，式(1.6-20)可用积分表示为 (1.6-21)第1章 现代光学的数学物理基础218218式中:r1、r2是面元ds到P1、P2点的距离;

48、为波数。由式(1.6-21)可得复相干度 (1.6-22)第1章 现代光学的数学物理基础219219当观察面满足远场条件时，范西特-泽尼克定理分母部分中的r1和r2可近似取r1r,r2r；而复指数因子中的r1和r2将其展开为幂级数并略去高次项第1章 现代光学的数学物理基础220220得到(1.6-23)第1章 现代光学的数学物理基础221221式中:(1.6-24)第1章 现代光学的数学物理基础2222223.霍普金斯公式霍普金斯公式的推导过程与范西特-泽尼克定理完全相同，只是将范-泽式中的因子用介质的透射函数来代替。表示位于Sm处面积为ds的准单色点光源在P点引起的复扰动。显然，在均匀介质中，在非均匀介质中，式(1.6-21)变为 (1.6-25)第1章 现代光学的数学物理基础223223以及 (1.6-26)为应用方便，取第1章 现代光学的数学物理基础224224得到 (1.6-27)