《线性代数》课件D2_1线性方程组的直接解法(2).ppt
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1、第二章第二章1 线性方程组的直接解法线性方程组的直接解法四、矩阵的三角分解四、矩阵的三角分解五、平方根法及改进的平方根法五、平方根法及改进的平方根法六六、追赶法追赶法七七、列主元三角分解法列主元三角分解法2023-10-20第二章 第一节 线性方程组的直接解法2矩矩阵阵的的初初等等变变换换与与初初等等复复习习 矩矩阵阵的的联联系系(),(1,2,3).ijm nAaAtmtA t 设设矩矩阵阵则则对对 做做一一次次第第 种种初初等等行行变变换换,相相当当于于用用一一个个阶阶的的第第 种种初初等等矩矩阵阵左左乘乘(2)-2(1)(3)-3(1)132132:211055325071A 如如=11
2、00132132-210211055-301325071L A =2023-10-20第二章 第一节 线性方程组的直接解法37(3)-(2)5132132055055071006B 210013213201005505507/51071006L B 112112132055,006L L AU AL L ULU 2023-10-20第二章 第一节 线性方程组的直接解法4111112100100-210010-30107/51LL L 10010010021001021030107/5137/51 10013221005537/51006ALU 2023-10-20第二章 第一节 线性方程组的直
3、接解法5(1)(1)(1)11121(1)(1)(1)(1)21222(1)(1)(1)12,nnnnnnn naaaaaaAAaaa )1()1(1)1(.nbbbb 复习:复习:高斯消元法的矩阵形式高斯消元法的矩阵形式四、矩阵的三角分解四、矩阵的三角分解2023-10-20第二章 第一节 线性方程组的直接解法6Step n 1:)()2(2)1(1)()2(2)2(22)1(1)1(12)1(11121.nnnnnnnnnbbbaaaaaabALLL其中其中 Lk=Step 1:)0(/111111 aaamii记记 L1=1.11121nmm ,则,则)1()1(1bAL)1(1)1(1
4、)1(11.baan)2(A)2(b1.11,1knkkmm Step 1:Step n 1:2023-10-20第二章 第一节 线性方程组的直接解法7 1kL1.11,1knkkmm 111211.nLLL111jim,记为记为L记记 U=)()2(2)2(22)1(1)1(12)1(11.nnnnnaaaaaaLUA 2023-10-20第二章 第一节 线性方程组的直接解法8 Doolittle分解法分解法 LU 分解的紧凑格式分解的紧凑格式反复计算反复计算,很浪费哦很浪费哦 通过比较法直接导出通过比较法直接导出L 和和 U 的计算公式。的计算公式。思思路路 nnnnnnnnuuullaa
5、aa.1.11.11112111112023-10-20第二章 第一节 线性方程组的直接解法9 nnnnnnnnuuullaaaa.1.11.1111211111 ),min(1jikjkkiul jia计算步骤计算步骤:11,1,2,;jiuajn1j第一步,令 得 11111,2,3,.iiajlinu再令 得 2023-10-20第二章 第一节 线性方程组的直接解法10 nnnnnnnnuuullaaaa.1.11.1111211111 ),min(1jikjkkiul jia2222,=1,ijl第二步,令,对注意到 得21122222,2,3,.iiial ujilinu再令 对得
6、2211,2,;jjual ujn2j2023-10-20第二章 第一节 线性方程组的直接解法1111rrjrkkjrjkal uu考虑考虑A的第的第r 行主对角元右边的元素行主对角元右边的元素:对对 j=r,r+1,n 有有lrr=1 nnnnnnnnuuullaaaa.1.11.1111211111假设完成假设完成r-1步步.此时此时U的第的第r-1 行已知,行已知,L的前的前r-1列已知列已知.),min(1jikjkkiuli ja11,1,rrjrjrkkjkual ujr rn2023-10-20第二章 第一节 线性方程组的直接解法12考虑考虑A的第的第r列主对角元以下的元素列主对
7、角元以下的元素:对对 i=r+1,n 有有111.rririkkrikkrirrrkkal ul ul u11()/riririkkrrrklal uurrn,=+1,+2,i.nnnnnnnnuuullaaaa.1.11.1111211111 ),min(1jikjkkiuli ja2023-10-20第二章 第一节 线性方程组的直接解法13111212122212nnnnnnLUuuuluullu 分分解解的的紧紧凑凑格格式式第一步计算第一步计算第二步计算第二步计算第第n步计算步计算如此下去直到第如此下去直到第n步。步。把把L,U放在同一个矩阵放在同一个矩阵A内,计算过程图示如下:内,计算
8、过程图示如下:见见教教材材(2.1.11)-(2.1.12).(2.1.11)-(2.1.12).2023-10-20第二章 第一节 线性方程组的直接解法1413221132-5A例例4 对矩阵对矩阵 作作LU三角分解。三角分解。132100132211210055.32-537/51006ALU解解Crout分解分解-U单位上三角矩阵;单位上三角矩阵;L下三角矩阵下三角矩阵111211112121222212221212111nnnnnnnnnnnnaaaluuaaalluaaalllL计算步骤:先计算 的列,再计算U的行。11,;1,2,riririkkrklal uirn rn11,1,
9、;1,2,1.rrirkkikrirral uuirn rnl上述算法能有效使用的必要条件是上述算法能有效使用的必要条件是lrr不能太小。不能太小。2023-10-20第二章 第一节 线性方程组的直接解法16111212122212 (),(1,.2,)ijkkkkkkkAanaaaaaaaaaAAknk 阶阶顺顺序序主主子子式式回回顾顾(线线性性设设为为阶阶矩矩阵阵,代代)为为的的记记数数作作2023-10-20第二章 第一节 线性方程组的直接解法17111212122212 (),(1,2,).ijkkkkkkkAanaaaaaaaaaAAkn 设设为为阶阶矩矩阵阵,为为的的记记作作主主回
10、回顾顾(线线性性代代)子子矩矩阵阵数数2023-10-20第二章 第一节 线性方程组的直接解法18()(1)()1111,|,2,3,.|kkkkkkkkAAaAaAaknA 以以上上对对矩矩阵阵 进进行行三三角角分分解解 均均要要求求 的的各各阶阶顺顺序序主主子子式式都都不不为为零零,这这个个条条件件就就是是高高斯斯消消去去法法过过程程中中的的各各个个主主元元不不为为零零的的充充要要条条件件.事事实实上上有有 2023-10-20第二章 第一节 线性方程组的直接解法19,.2TAnAAALDLLD 设设 为为 阶阶对对称称矩矩阵阵,且且 的的各各阶阶顺顺序序主主子子式式都都不不为为零零,则则
11、 可可唯唯一一分分解解为为 其其中中 为为单单位位下下三三角角阵阵,定定为为对对角角阵阵理理 211)-nnAAn 阶阶(矩矩阵阵 有有唯唯一一杜杜里里特特尔尔分分解解(或或克克劳劳定定理理特特分分解解)的的充充要要条条件件是是 的的前前个个顺顺序序主主子子式式都都不不为为零零.证证明明:见见教教材材2 29 9-3 30 0页页或或下下面面第第5 5段段.2023-10-20第二章 第一节 线性方程组的直接解法20解单位解单位下三角下三角方程组方程组 Ly=b1111,2,3,.iiiijjjybybl yin1,1,2,2,1.nnnnniijjjiiiiyxuyu xxinnu 解上三角
12、解上三角方程组方程组Ux=yDoolittleDoolittle分解的应用分解的应用-解线性方程组解线性方程组2023-10-20第二章 第一节 线性方程组的直接解法21.11345-23112231321xxx例例4(续)(续)用用LU三角分解法求解方程组三角分解法求解方程组2023-10-20第二章 第一节 线性方程组的直接解法22132100132211210055.32-537/51006ALU解解 已知已知想了解更多想了解更多,可输入右边的帮助命令可输入右边的帮助命令!X=A B 左除左除;表示表示 AX=B 的解的解,X=A-1B=ABX=B/A 右除右除.表示表示 XA=B 的解
13、的解,X=BA-1=B/Ahelp 例例 用上面介绍的命令求解一个方程组用上面介绍的命令求解一个方程组A=-0.04 0.04 0.12;0.56-1.56 0.32;-0.24 1.24-0.28 b=3;1;0 x1=Ab%方程组的数值解方程组的数值解x2=sym(A)sym(b)%方程组的符号解方程组的符号解sym(A),sym(b)%观察观察sym(A),sym(b)形式形式在在Matlab中实现上面的内容中实现上面的内容,并观察结果并观察结果!23在求解方程组在求解方程组 Ax=b 时时,尽量不要用尽量不要用 inv(A)*b 命令命令,而应采用而应采用 Ab 的解法的解法.注意注意
14、:因为后者的计算速度比前者快、精度高,尤其当因为后者的计算速度比前者快、精度高,尤其当矩阵矩阵 A 的阶数比较大时的阶数比较大时.而且后者可以用于求解矩阵方程,即而且后者可以用于求解矩阵方程,即x,b可以是矩阵可以是矩阵.25lu lu 分解分解.L,U=lu(X)L,U,P=lu(X)help lu请同学们自己学习这个命令请同学们自己学习这个命令,了解上面了解上面两种调用格式两种调用格式的区别的区别!例例X=1 2-1;3-1 2;-2 1 4%输入矩阵输入矩阵 XL1,U1=lu(X)%进行进行 lu 分解分解L1*U1%验证验证 X=L1*U1 成立成立L2,U2,P=lu(X)%进行进
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