聚焦整体教学助力学生思维提升 论文.docx

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1、聚焦整体教学助力学生思维提升以“鸡兔同笼为例单元整体教学策略研究摘要：“鸡兔同笼”是孙子算法中一道名题，是我国古代数学的经典趣题。 本文从教材及学情分析入手，准确定位“鸡兔同笼”问题的目标价值，重新划分课时， 重组单元教学结构。第一课时，回归初心，做强做大“列举法”，为后续学习奠定 基础；第二课时，拉长过程，做深做厚假设法”，实现思维增量；第三课时，沟通融 合，做透做活综合法”，提升学生思维能力。通过三课时的螺旋递进式教学，实现人 人有法、人人有不同的法。关键词：鸡兔同笼；单元整体；数学思维“鸡兔同笼”是古代数学的经典趣题，难度加大。在实际教学中，老师们一致 认为这个内容特别难教，反复讲、反复

2、练，错误率还是很高。教学建议2课时进行教 学，实际教学时基本上都需要加餐，甚至有基础比较薄弱的农村学校老师反映需要 教一个星期。“鸡兔同笼”问题的目标定位应该侧重什么？列举、假设、画图等方法孰轻孰 重？怎样满足不同层次学生的需求？带着这些问题，我们小数团队对“鸡兔同笼问题 进行了单元整体教学实践。一、从“方法多样到思想建构一一单元重组思考（一）纵横教材比较，明晰价值定位我们查阅了多个版本的教材，发现“鸡兔同笼”问题在不同版本的教材中均有 编排，但编排的年级、解决方法介绍及侧重点是不同的。浙教版、西师大版等对于 这类问题仅做知识增量介绍。苏教版、青岛版、冀教版、北师大、人教版等单列 “鸡兔同笼”

3、为解决问题，采用例题+练习格式呈现。人教版则归入数学广角，单列 一个单元进行教学。“鸡兔同笼”问题的解决方法包括：列举法、画图法、假设法、 方程法，这些方法互为结合补充。虽然各版教材例题所渗透的解决方法多种多样， 但列表法”却是各版教材所唯一共同采用的解决方法，由此“列表法”的重要价值可 见一斑。从本质上列表、画图、假设都遵循假设-对比-调整的思路。列表法不 仅仅是与“假设法”并列的一种解题方法，更是“假设法”产生的基础，从本质上 来说，假设法是列举的特例。学生有了列举的经验，发现了隐含的替换规律（如将 一个兔子换成一只鸡，腿少两条），才能真正理解“假设法”的道理。大部分教材 均未出现“画图法

4、但这种方法能让解决问题的过程更加直观形象，能激发学生的 兴趣，支撑学生的抽象学习过程。因此“画图法”适合作为辅助解释“假设法”的 支架。因四年级学生未学习过方程，因此本单元教材将“方程法删去，五年级方程单 元再编排相应习题。“鸡兔同笼”问题的教学价值，不仅仅在于掌握不同的解决方法，感受我国古 代数学文化，更重要的是引导学生用尝试”的思路解决新问题，感悟各种不同方法之 间的联系，渗透枚举思想、假设思想、数形结合思想、建模思想等数学思想方法。（二）前置学情调研，实施差异教学“鸡兔同笼”问题从六年级下移到四年级，对于师生来说是一项艰巨的考验。 为了更准确地把握学情，我们分别对一所城区学校、一所农

5、村镇中心学校四年级学 生进行了前测。了解到造成差异的原因还包括课外奥数辅导班的学习经历。城区学 校学生课外参加课外奥数辅导班的比例较大，如前测学生中有约40%的学生表示在 奥数班中学习过鸡兔同笼问题，而前测的农村学校每班只有2-3位学生接触过奥数。我们发现不论是否接触过奥数，学生解决“鸡兔同笼”问题都比较困难，正确 率均不超25%o很多学生虽然课外接触过鸡兔同笼”问题，但仍不会做。“一知半解、 ，依样画葫芦”的也有不少。没有学过的孩子更是束手无策：用各种除法尝试的，甚 至是交白卷的！在基本题时，做对的孩子中将近一半采用的是假设法，而到变式题的 时候却减少了一半。这一点说明很多学生接触过假设法、

6、有假设法的解题模型但却不 理解假设法的真正内涵。另一方面，我们发现变式题时更多的学生开始去列举了。 相较于假设法”这样比较抽象的方法，学生是有比较丰富的列举”经验的。遇到新问 题时，先试一试，再调整”是最自然的思路，只要能有序地思考一定能找到答案。（三）螺旋内容递进，确定重组思路1 .降低起点、降低难度综合学情调研，我们确定“鸡兔同笼”问题的起始教学需要低起点、低难度！ 教材中只安排2课时，但是从学情基础来看，2课时太仓促。我们规划了 3课时，第 一课时从最容易掌握的“列举法”入手，规定只能用“列举法”解决。给予学生充 分的感悟时间，丰富体验，为假设法”的产生与理解奠定基础。第二课时理解并尝试

7、 运用“假设法”解决问题，沟通“画图法”与“列表法”。第三课时灵活运用不同 方法解决问题。2 .尊重差异、增量发展针对不同学生的差异，我们既要保证学生起码学会一种方法，又要给予不同层 次的学生增量发展的空间。如第一课时列举法的学习，水平1的学生学会一一列举, 水平2的学生尝试折中列举、跳跃列举，水平3的同学尝试采用一步调整法直接想 到答案（与假设法思路类似）。追求人人有法，人人有不同的法。二、夯实基础，旨向思维一一单元教学实践（-）第一课时，回归初心，做强做大列举法对于初次接触此类问题的学生来说，列举法无疑是最自然的方法。第一课时以 “非常规鸡兔同笼问题为载体，教学最能被广泛迁移的列举法。引导

8、学生学会有计 划、有顺序地列举，尝试根据规律分析和调整，为下一课时“假设法”的学习积累活动 经验。“强势推进，教会列举方法虽然学生之前有相关的列举经验（如租船问题），但是鸡兔同笼既要考虑头数, 又要考虑脚数，第一次接触的学生往往手足无措。考虑到学生的学习起点，本课采用“由扶到放”的思路。课始，在出示情境后（小明用小棒搭图形。三角形和正方形一共搭了 8个。共用 了 29根小棒。三角形和正方形各搭了几个），引导学生解读信息，思考：这个问题你 打算用什么方法来解决？学生提到假设、列举等方法，教师适时强调是呀，解 决这个问题有很多不同的方法。这节课我们用列举法解决问题。”这样的环节看似 过于“强势”，

9、实则贴近学生的思维，为低起点、高提升赢得了时间、精力上的保 证，宝贵的时间用在最有价值的地方。当学生普遍遇到困难时，课堂需要实实在在 地“教”。教师引导学生思考你打算怎么列举？引导会列举的教不会列举的， 采用从一头有序列举（鸡1兔7或兔1鸡7）的方式进行思考，分别列出图形个数 （和是8）,再检验小棒根数（总数是不是29）。实实在在地“教”，让后进生有法 可用，给予他们思维增量奠定基础，让后进生在鸡兔同笼这样的高阶思维课程中不 再扮演陪跑、观众的角色，而同样成为赛场的“正式选手。“核心问题，引导规律发现列表法里发现的规律可以为后面假设法的产生搭建“桥梁，但是这样的规律，需 要核心问题引领，促进学

10、生深度思考。本课的第一个学习材料（搭小棒问题），学 生采用列举法解决问题后，教师呈现了不同的学习材料教师组织学生围绕核心问题 找到一个正确答案后，还需要列举下去吗？为什么小棒根数每次少1?”进行思考。通过讨论交流，学生发现三角形每次多1个，正方形每次少一个，小棒的总根 数就会少1根。列到三角形5个，正方形3个时，后面的小棒根数会比29根更少， 肯定不符合要求，所以不用列下去了。每次相差1是因为搭一个三角形比搭一个正 方形少用一根小棒。核心问题的引领，让学生聚焦有序列举中的规律，简化列举的 过程，为后续根据规律直接列举小棒总根数、跳跃式列举及假设法的产生奠定基础。“灵活列举，实现增量发展有了前面

11、环节的列举经验，有了规律做支撑，学生自然而然会想办法简化列举 的过程。第一课时主要有三个学习材料，第一二个材料都是小数据，第三个材料（笼 子里关着一些鸡和兔。从上面数有16个头，从下面数有50条腿。鸡和兔各有几只？） 数据通过给予思维能力强的学生展示的平台。中间列举”的呈现，让学生明白可以从 两头列举，也可以从中间列举，其实随机猜一个都可以通过调整得到答案。折中列 举需要考虑调整的方向，挑战学生的推理能力。跳跃列举”的展示让学生体会到列 举法”也可以很简单，关键是根据规律进行调整。从有序列举到根据规律直接写腿 数，再到跳跃列举，由扶到放，层层深入，假设法的算理呼之欲出，实现了磨刀 不误砍柴工”

12、二）第二课时，拉长过程，做深做厚假设法”“列举”让每位学生品尝到了学习的成就与喜悦。在此基础上探究“假设法，将学 生的思维引向更高层次建构的过程。虽然部分学生课前接触过假设法，但是真正理 解的“寥寥无几”。因此，“假设法”的学习需依托“列举”的活动经验，“画图 的直观支撑，循序渐进，逐步建构鸡兔同笼问题的模型，真正内化理解假设法。1 .列举引路，无缝对接从本质上讲，假设法是特殊的列举法，借助列举”的经验，可以更好地帮助 学生理解内化假设法。课始教师引导学生思考：前一节课，我们怎么解决这个问题 的？谁能用其它方法解决这个问题？ 一方面引导学生回顾列举的过程，同时激发学生大胆探索新的方法。有了

13、前一课时充分的列举经验， “假设法”已经呼之欲出，这样的过程基于学生的学习基础，利于学生迁移运用。2 .画图支撑，直观理解“数学思考”借助“直观图形”能够让思考更形象、更容易理解。因此，在学 生尝试用“假设法”解决问题后，教师引导学生动手画一画图解释每一步的含义，在此 基础上动态呈现课件帮助学生整理思路。图与式的一一对应，帮助学生充分理解 “假设法。画图一一析图”的过程，在学生头脑中勾画出“换1差2”的表象，为学生 举一反三，灵活运用假设法”解决问题奠定基础。3 .反思求联，立体建构鸡兔同笼”问题的解决方法很多，但是重点不在求多，应当注重不同方法之间” 的联系，引导学生在“反思求联”中获得更多

14、发展。教学片段：师：列举法、假设法、画图法有什么相同和不同之处？生L列举法是从1只鸡和15只兔开始想的，画图法是从16只全是鸡开始想的，假设法是 从假设全是鸡开始想的。生2：我觉得画图法和假设法也能算列举，只不过是从16只鸡，O只兔开始想的。生3：我觉得他们差不多，都是先假设，再调整。师：是的。这三种方法其实思路上师一样的，都是假设一一对比一一调整。不同点在于“逐 一列举”让我们发现鸡兔同笼问题中的规律；画图法让我们明白了思考的过程和依据；假设法 是特殊的列举，以一种“极端特例”提升了解决问题的效率，发展了思维的深度。通过组织学生“比较”和“反思”，在关注三种方法“同与不同”中，追溯每 种方法

15、的思考起点，以立体化的模型建构起“鸡兔同笼的思想方法。（三）第三课时，沟通融合，做透做活综合法”练习课是新授课的补充和提升。本单元的第一课时重在教学“列举法”，第二 课时重在教学假设法，第三课时重在运用中进一步沟通理解不同方法，并引导学生 根据不同情境自主选择合适的方法解决问题，提升思维能力。1 .“三法复现，沟通理解练习课的功能之一是巩固基本知识和方法。通过前两课时的学习，学生已经初 步掌握了列举、假设等方法，本课时第一层次是复习巩固学过的方法。课始，出 示“鸡兔同笼”基本题（笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有10个头，从下面数 有36条腿，鸡和兔各有几只？）学生自主选择方法解决问题，展示不

16、同方法，引导 学生进行表达交流。“直观图”是思维的支架，“算式”是思维的一种再现方式， 而“语言”则是思维的外衣。用语言描述不同方法的过程，就是沟通理解不同方法的 过程，提升学生的思维品质。2 .依境依能”，活学活用不论黑猫、白猫，能抓老鼠”的都是好猫。对于学生来说，没有最好的方法, 只有最适合的方法。适合，一方面体现在不同的情境，有的问题用假设法来解决更 简洁，有的问题用列举法来解决更容易找到“规律；另一方面体现在学情的差异，思 维能力弱的学生可能只会用“列举法”，思维能力强的学生喜欢用“假设法”。教 学中，教师要给予学生充分的尊重和空间，允许学生选择自己喜欢的方法解决问题, 在此基础上，引

17、导学生根据不同的情境选择合适的方法进行思考、解决。如“抢答比 赛，问题，学生自主尝试后展示不同学生的困惑或思路。有学生想用假设法，但是 “无从下手”，有学生用列举法解决了问题，有学生用假设法列出了算式，但是其他 同学看不懂10+6”是什么意思？教师引导学生从列表法入手找到其中的规律（答对一 道题和答错一道题相差16分），从而理解了为什么要除以10+6。通过这一个问题的解决，学生感悟到遇到难题时可以先列举，找出其中的规律，再来解决 问题，从而体会到了列举法的优越性。3 .层级递进，挑战思维数学课程标准指出：让不同的学生得到不同的发展。为了使不同能力水平的同 学都得到增量发展，练习课的设计秉承保底

18、不封顶，层级递进”的设计思路，练习的 难度由易到难，层层递进，利于学生“举一反三”，深化建构“鸡兔同笼”问题的 模型，提升数学思维能力。附：练习课分层练习题基础练习笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有10个头，从下面数有36条腿，鸡和兔各有 几只？挑战1盒子里有大小两种钢珠共20个，共重135克。已知大钢珠每个10克，小钢珠每个7 克，盒中大小钢珠各有多少个？挑战2 一次抢答比赛中规定答对一题加10分，答错一题扣6分，如果小明（3号选手）抢 答了 8题，最后得分是48分。她答对了几题？追问：2号选手共抢答16题，最后得分16分，他答对了几题？挑战3有2元、5元和10元的人民币共有20张，一共13

19、5元，其中2元和5元的张数是一 样多的，那么2元5元和10元的纸币各有多少张？终极挑战100个和尚吃Ioo个馒头。大和尚一人吃3个，小和尚3人吃一个。求大、小和尚 各（机动）有多少人？ ”鸡兔同笼问题的价值不是解题的技巧，而是借助其趣味性培 养学生的能力，领悟其中蕴含的数学思想方法。本单元我们基于学情，准确定位教 学目标，重组材料，重构课堂，关注群体背后的个体，着眼结果背后的过程，让学 生的思维得到生长。参考文献：义务教育教科书教师教学用书四年级下册M.北京：人民教育出版社，2016： 221-2272王建秀.鸡兔同笼的教学实践与思考.一课研究，2020.5.143黄静飞.由“方法多样走向思想建构一一以鸡兔同笼问题”为例.一课研究，2020.1.11