浅析洛必达法则求函数极限.doc

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1、 本科学年论文论文题目：用洛必达法则求极限的方法 学生姓名： 卫瑞娟 学 号： 1004970232 专 业： 数学与应用数学 班 级： 数学1002班 指导教师： 严惠云 完成日期： 2013 年 3月 8 日用洛必达法则求未定式极限的方法1内容摘要极限运算是微积分学的基础，在众多求极限方法中，洛必达法则是一种简单而又方便的求极限方法。但在具体使用过程中，一旦疏忽，解题就很可能出错。本文就针对利用此法则求极限的过程及解题过程中常见问题，对洛必达法则求函数极限的条件及范围、应用、何时失效做了整体分析与探讨，并举例说明。除此之外，还介绍了除洛必达法则之外其他求函数极限的方法以及同洛必达法则的比较

2、最后对洛必达法则进行小结。关键词：洛必达法则 函数极限 无穷小量目 录 一、洛必达法则求极限的条件及适用范围（1）（一）洛必达法则定理（1）（二） 洛必达法则使用条件（2）二、洛必达法则的应用（2）（一）洛必达法则应用于基本不定型（2）（二）洛必达法则应用于其他不定型（3）三、洛必达法则对于实值函数失效问题（5）（一）使用洛必达法则后极限不存在（5）（二）使用洛必达法则后函数出现循环（6）（三）使用洛必达法则后函数越来越复杂（6）（四）使用洛必达法则中求导出现零点（6）四、洛必达法则与其他求极限方法比较（6）（一）洛必达法则与无穷小量替换求极限法（7）（二）洛必达法则与利用极限运算和已知极限

3、求极限（8）（三）洛必达法则与夹逼定理求极限（9）五、洛必达法则求极限小结 （10）（一）洛必达法则条件不可逆（10）（二）使用洛必达法则时及时化简（11）（三）使用洛必达法则前不定型转化（11）参考文献（13）序言数学分析中几乎所有的概念都离不开极限。因此，极限概念是数学分析的重要概念，极限理论是数学分析的基础理论。极限法的引入与完善是出于社会实践的需要，是许多人奋斗的结果，不是哪一个数学家苦思冥想出来的。极限的求法很多，主要包括有：利用极限的定义；利用极限的运算法则求极限；利用极限存在的条件和准则求极限；利用两个重要极限求极限；利用等价无穷小量和泰勒展开求极限；利用函数的连续性求极限；利用

4、洛必达法则求极限；利用中值定理求极限；利用导数或定积分的定义求极限；利用级数收敛的必要条件求极限。在此我只对利用“洛必达法则”求极限的这一方法进行了分析与概括。一、 洛必达法则求函数极限的条件及适用范围（一）洛必达法则定理定理11 若函数与函数满足下列条件：（1）在的某去心邻域内可导，且（2） （3） 则（包括A为无穷大的情形）定理2 若函数和满足下列条件（1）在的某去心邻域内可导，且（2） （3） 则（包括A为无穷大的情形）此外法则所述极限过程对下述六类极限过程均适用：。定理证明：作辅助函数 于是函数F(x)及G(x)在）连续，在可导，并且今对内任意一点，利用柯西中值定理得 由的定义，上式即

5、所以当时（这时显然有），对上式两端取极限，即证毕。关于定理二的证明方法也同定理1类似，这里就不点出。当然，还有其他不同的证明方法。（二）洛必达法则使用条件只有在分子、分母同时趋于零或者同时趋于无穷大时，才能使用洛必达法则。连续多次使用法则时，每次都要检查是否满足定理条件，只有未定式方可使用，若是检查结果满足法则使用条件，才可连续使用洛必达法则，直到求出函数极限或者为无穷大，否则就会得出错误的结果，下面举个例子来说明。例1：求分析：根据洛必达法则使用条件，此式为型，所以可以使用洛必达法则，但是，结果所得非不定式，所以只能使用一次洛必达法则，而不能再进行第二次。解： 事实上，这里为了说明问题，才使

6、用上面的解法，这里也可以看出，寻找最为简便的解题方法才是正确解题的关键。二、洛必达法则的应用（一） 基本类型：不定式直接应用法则求极限例2：求解： 这是待定型。运用洛必达法则，我们有 因为 从而 例4：求解：上述极限是待定型，于是（二） 未定式的其它类型：、型极限的求解 此外，除了这两种待定型外，还可以通过转化，来解其他待定型。譬如等待定型，由于他们都可以转化为，因此，也可以用洛必达法则来求出他们的值2。关于如何转换，例如则是形式，这时，可以写为，这就转化为了。此外对于等不定式，可以取对数化为的形式，再运用如上方法便可转化为了，下面对这些待定型一一举例解答以作说明3。例5：解：这是型，设法化为

7、形式： = = = =例6：求解：这是 =exp =exp =例7：求解:这是待定型，经变形得，而故 例8：求解：这是待定型，可变形为，成了待定型，于是 例9：求解：这是待定型，由对数恒等式知，运用例8可得 三、洛必达法则对于实值函数的失效问题洛必达法则可谓是在求不定式极限中作用最为显赫的一种方法，当然，它也有失效的时候。“失效”的原因则是因为题目本身不满足可以使用洛必达法则的几个条件。所以，在要使用洛必达法则时，则要检验该题目是否符合洛必达法则条件，洛必达法则失效的基本原因有以下几种。（一）使用洛必达法则后，极限不存在（非），也就是不符合以上定理1、2的条件（3）4 例10：计算 解：原式=

8、二）使用洛必达法则后，函数出现循环，而无法求出极限，也就是不符合定理1、定理2的条件（3） 例11：计算 解：原式=1（三）使用洛必达法则后，函数越来越复杂，无法简单判断出函数是否存在极限，也就是不符合定理1、定理2的条件（3） 例12：计算 解：令，则原式=（四）求导后有零点，也就是不满足条件例如，的极限是不存在的，事实上，取，此时分母的导数是有零点的。四、洛必达法则与其它求极限方法比较使用洛必达法则时不要忽视别的求极限方法，并不是所有不定型用洛必达法则最为方便，在关注使用洛必达法则的同时，我们还要注意到其他求极限的方法，依题目而选定最合适的方法。对于解函数极限的题，若是不定式符合洛必达法

9、则条件，确实可使用洛必达法则，但也不是说单一只能使用洛必达法则，也可以试着洛必达法则同其他方法一起，可能可以使解题更为简便。（一）洛必达法则与无穷小代替法应用等价无穷小量代替法化简，牢记下列等价无穷小量：当时，用此方法应要注意，加减的无穷小量不能用等价无穷小量代替，需是无穷小量比的形式，或是极限中的乘积因子为无穷小量，且替换后极限存在，才能用等价无穷小量替换5，下面举个例子作为比较。例13 求解1：（运用无穷小量代替法） 解2：（利用洛必达法则） = = = = = 分析：此题若直接用洛必达法则，则会较麻烦，相反，若之前先用无穷小量替代，就可简化解题过程。解：=（二）洛必达法则与运用极限的运算

10、和已知的极限求极限比较6利用极限的定义和适当放大法也是可以求出一些较为“简单”形式变量的极限。一旦我们知道了一些极限后，用加减乘除的方法就可以计算出一些较为复杂的极限，这也是极限运算中比较常见、便捷的方法。如下几个例子，就可以运用加减乘除简便的求出函数的极限。例14：求解1: =这里运用到了解2：此题若是使用洛必达法则，则需要使用洛必达法则四次，显的尤为繁琐，这里可以给出洛必达法则求此极限的解题过程，以做说明。 = （第一次运用洛必达法则） = = （第二次运用洛必达法则） = = （第三次运用洛必达法则） = （第四次运用洛必达法则）所以原式=。单已例14为例，纵观用极限运算和已知极限来求函

11、数极限同使用洛必达法则求极限，显而易见前者要显的简单的多，在实际极限运算中，要灵活应用，找出最适合该题的解法。（三）洛必达法则与利用夹逼定理求函数极限比较夹逼定理也是求函数极限的一种有效方法。定理内容：如果对于点的某一零域内的一切，但本身可以除以（或对于绝对值大于某一正数的一切）有不等式成立，且，则。使用两边夹法则求函数极限，关于在于把适当放大或者缩小。下面举个例子分别用洛必达法则和夹逼定理来求函数极限，以作比较。例15：求解1：（运用两边夹定理）对于任意，当时，有且根据两边夹定理，则解2：（利用洛必达法则）分析：首先可以看出原式是属于形式，所以要利用转换，把原式化为洛必达法则标准形式，但是这

12、里，需要运用到两次转换，过程显得有些繁琐。 （第一次转换） 先求 （第二次转换） = = 综上：原式=纵观这两种解法比较，若说篇幅，单是解题过程，两边夹定理要比洛必达法则简便，但是若说难易程度，则洛必达法则要比两边夹定理的应用来的简单易懂些。五、洛必达法则求极限注意事项小结诚然，洛必达法则的内容简单，使用方便，但在使用过程中，一但疏忽以下几点，很可能造成运算出错。（一）洛必达法则条件不可逆洛必达法则的条件是充分的，但不是必要的。因此，在型或型中，存在，并不能断言不存在，只是这是不能使用法则，而必须寻找其他合适的解题方法，以下例子可以明显看出。例16：求分析：根据洛必达法则使用条件，此题属于型，

13、此时若使用洛必达法则则，显而易见极限不存在，但是是否原式的极限也不存在？答案是否定的，下面我们用其他方法来解此题。解： 结果为1，所以原式的极限是存在的。所以，法则失效时要寻求别的方法来求极限。（二）使用洛必达法则时，应及时化简使用洛必达法则时，应及时化简，主要是指代数、三角函数的变形，经常使用的就有无穷小量代替法、分离极限不为零的因子、变量代换等下面通过例子说明7。例17：分析：此题若是直接使用洛必达法则，察其复杂程度，求导定会带来复杂运算，直接使用无穷小量代换又不知分子如何代换，故可以考虑拆开来看，具体解题过程如下。解： = = = =上题运用了无穷小量代替法、分离极限不为零的因子、洛必达

14、法则等几种方法，由这题可知，洛必达法则不可贸然使用，必要时应同其他方法结合使用，以化简解题过程。（三）不定型转换从上面洛必达法则介绍中可知，使用洛必达法则的只有，对于其他不定型只有对其进行转换，变为不定型，才能使用洛必达法则求解。然，转换过程也有一定讲究。对型进行转化时，谁放分子，谁放分母是有讲究的，如下例子说明。例18：求分析：明显此题是属于不定型，若如下转换：极限反倒变复杂了，所以替换应看清如何简便计算，以进行合适的替换。解：. 以上几点注意只能说明洛必达法则中常出现的几点，但是也不可能涵盖到出现的所有情况完全，在解题过程中，只有根据题目，灵活运用各种所学的知识，才能方便解题，提高解题效率。参考文献1欧阳光中.朱学炎.金福临.陈传璋.数学分析. M .北京.高等教育出版社.19972沈燮昌.邵品琮.数学分析纵横谈. M .北京：北京大学出版社，19913吴炯圻.陈跃辉.唐振松.高等数学及其思想方法与实验. M .厦门：厦门大学出版社.4汪林.戴正德.杨富春.郑喜印.数学分析问题研究与评注.M.北京：科学出版社.19955同济大学数学系.高等数学第六版M . 北京.高等教育出版社.20076魏少华.蒋晨宏.李敏.求极限各种方法总结极其推广J .学术交流.2010，42-437杨黎霞.使用洛必达法则求极限的几点注意J .科技文汇.2008，26712