第10章递归效用函数.doc

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1、第10章 递归效用函数投资者有两种不同的规避行为：一种是对同期内风险的规避；另一种是对跨期消费波动的规避。刻画这两种行为的参数分别是相对风险规避系数和跨期替代弹性系数。然而，在经济学中普遍使用的常数相对风险规避系数型效用函数中，投资者的相对风险规避系数等于跨期替代弹性系数的倒数，两个参数具有固定的关系，因而就没有将这两种不同的规避行为区分开来。Epstein and Zin（1989，1991）和Weil（1989，1990）在Kreps and Porteus（1978）的理论框架基础之上提出了更加灵活的递归效用函数（Recursive utility function），推广了传统的时间可

2、分、状态可分效用函数。递归效用函数中的相对风险规避系数和跨期替代弹性系数分别由两个独立参数刻画，不再互为倒数，从而将风险规避和跨期替代两种不同行为区分开来。递归效用函数，也称为递归偏好（Recursive preference）、广义等弹性偏好（Generalized isoelastic preference）、随机微分效用（Stochastic differential utility）和非期望效用函数（Non-expected utility function）。Tallarini（2000）的风险敏感偏好（Risk-Sensitive Preference）也是一种特殊的递归效用函数，

3、其中的跨期替代弹性系数等于1。引入递归效用函数的主要作用在于，通过分解投资者的跨期替代和风险规避两种不同的行为，从而可以建立更加灵活的资产定价模型。如果所有的资产收益率都服从独立同分布的正态分布，那么资产的溢价等于相对风险规避系数乘以资产的消费风险（Weil，1989）。因此，可以采用足够大的相对风险规避系数来解释股票溢价之谜，而没有遭遇无风险利率之谜（卢卡斯，2003）。第1节 基于递归效用的欧拉方程 CES生产函数（constant elasticity of substitution） 【替代弹性：f(x1,x2), dlog(x2/x1)/dlog(f1/f2)】 CES效用函数（co

4、nstant elasticity of substitution） 【作业】是CES效用函数b1时的特殊情形。1、递归效用函数考虑一个代表性投资者经济。除了投资者的偏好结构之外，关于经济的假定与第5章的离散时间局部均衡模型是一样的。Epstein and Zin（1989，1991）和Weil（1989）递归地定义如下的值函数。投资者时使用的财富为，所得到的最大期望终身总效用为值函数，由如下方程递归给出 （10.1）其中 （10.2）其中是条件期望算子，是主观贴现因子，是相对风险规避系数（Coefficient of Relative Risk Aversion），是跨期替代弹性（Elast

5、icity of Intertemporal Substitution）。和是两个独立参数。当参数时，递归效用函数（1）就退化为传统的时间可分的幂效用函数，其相对风险规避系数就是。2、市场组合代表性投资者的预算约束方程为如下的方程（10.3）和（10.4）。投资者的t时财富在消费和各种资产之间进行分配 （10.3）投资者的t1时财富等于各项资产的投资回报 （10.4）将预算约束方程（10.3）和方程（10.4）合并起来，得到其中是投资者将其消费后的剩余财富投资于各种资产的资产组合比例。由于，并且投资者是代表性的，所以可以将该资产组合理解为市场组合的权重。可以定义为市场组合的收益率。因此，代表性

6、投资者在t+1时的财富可以理解为将t时的储蓄全部投资于市场组合而得到的t1时回报，即 （10.5）3、欧拉方程投资者选择符合预算约束方程的消费和资产组合来最大化效用水平。Epstein and Zin（1989，1991）已经证明了，对于这种形式的预算约束方程，资产j的收益Rj,t+1的欧拉方程可以表示为 （10.6）当a = g 时，欧拉方程（10.6）将退化为没有市场组合、基于消费的基本欧拉方程形式。只要是可交易资产，甚至是人力资本，欧拉方程（10.6）就成立。下面给出使用动态规划来求解欧拉方程（10.6）的详细证明过程。将预算约束方程（10.3）和（10.4）代入递归效用函数（10.1）

7、分别消去t时消费和t1时的财富，得到 （10.7）贝尔曼方程（10.7）关于投资数量的一阶条件为 （10.8）其中表示效用函数对第i个变量的偏导数（i=1, 2）。方程（10.8）对各个资产均成立，那么对于市场组合这个复合资产也成立 （10.9）对贝尔曼方程（10.7）使用包络定理，得到 （10.10）由方程（10.8）和方程（10.10）可推出下面的欧拉方程 （10.11）可以将定义为随机贴现因子。下面的任务就是求取基于递归效用函数的随机贴现因子的表达式。我们采用猜解方法。猜测投资者的值函数为 （10.12）猜测投资者的政策函数，也就是最优消费 （10.13）那么，投资者值函数的边际效用

8、 （10.14）投资者的财富动态为 ， （10.15）使用U1t的定义，并使用效用函数（10.2），我们有其中第二个等号使用了方程（10.13）。对效用函数中第二个元求偏导，得到由和，我们有以上方程两边消去财富，得到 （10.16）方程推出 使用值函数的定义（10.1），上述公式得到其中第二个等号使用了所猜测的值函数的形式（10.12）。以上方程左右两边消去财富，得到 （10.17）由方程（10.16）和方程（10.17）可知，如果t时的市场组合预期收益率是时间不变的常数，那么由方程（10.6）和方程（10.7）可以解出两个未知参数A和B。方程（10.9）推出，投资者的边际效用之比等于将之代

9、入方程（10.9）中的随机贴现因子，得到其中第二个等号使用了方程（10.10）。将所猜的值函数代入上述方程，得到 （10.18）方程（10.16）和方程（10.17）推出如下方程成立上述方程左右两边消去常数A，得到变形后得到可以得到常数的预期收益率为 （10.19）将方程（10.19）代入方程（10.18），得到将方程（10.15）代入上述方程，得到将上述方程结合（10.8）和方程（10.11），就得到了欧拉方程（10.6）。4、资产定价我们在此使用欧拉方程（10.6）导出基于递归效用函数的资产定价模型。将欧拉方程写出如下形式如果假设对数消费增长率、对数市场组合收益率和对数风险资产收益率都服从

10、正态分布，那么使用正态分布的性质，上述公式可以推出进一步化简，得到 （10.20）其中表示对数消费增长率的条件方差；表示对数消费增长率和对数资产收益率之间的条件协方差。其它记号也类似定义。注意到无风险利率在t时是可测的，因此方程（10.20）对于无风险债券是如下方程 （10.21）方程（10.20）减去方程（10.21），得到 （10.22）方程（10.22）给出了Campbell（1993）在离散时间局部均衡模型中得到的基于递归效用函数资产定价模型。方程（10.22）指出任何资产的风险溢价依赖于该资产的消费风险和市场风险。方程（10.22）是资产定价的两因素模型，同时具有CCAPM模型和CA

11、PM模型的特征。基于递归效用函数的资产定价模型具有CCAPM和CAPM模型的特征，并不等于说是这两类模型的简单相加。在方程（10.22）中，消费风险和市场风险是彼此依赖，无法严格区分的（Restoy and Weil，1998）。在CCAPM模型中，消费风险是决定资产的均衡收益的唯一风险来源。在CAPM模型中，市场风险是决定资产的均衡收益的唯一风险来源。如果递归效用函数退化为CRRA效用函数，令a = g，那么方程（10.22）就退化为Breeden的CCAPM模型。有两种方法可以将方程（10.22）理解为静态的CAPM模型。一种方法是当a 等于1时，资产的风险溢价等于其市场风险（Smith，

12、2001）；另外一种方法是当g 等于0时，投资者的跨期替代弹性等于无穷大，资产的风险溢价只与市场风险有关。第2节 情绪波动和资产价格的波动Mehra and Sah（2002）首次将情绪波动（mood fluctuations）定义为投资者的偏好结构参数（主观贴现因子和风险规避系数）的变动。他们发现主观贴现因子的较小变动可以导致股票价格的较大波动，而风险规避系数的变动对股票价格变动的影响不大。值得注意的是，Mehra and Sah在研究情绪波动对股票价格波动的影响时，使用了两个很强的假定：唯一的金融资产是风险股票；投资者的偏好是CRRA效用函数。由于CRRA效用函数中只含有主观贴现因子和相对

13、风险规避系数两个参数，所以他们只研究了这两个主观参数的波动对股票价格波动的影响。但是，一方面，一个完整的资产市场模型除了包含风险资产外，还必须包含无风险资产。因此，我们除了研究研究情绪波动对有风险的股票价格影响之外，还必须研究情绪波动对无风险的债券价格的影响。这样才能充分理解情绪波动对资产价格波动率的作用。另一方面，对于传统的CRRA效用函数而言，相对风险规避系数等于跨期替代弹性的倒数，因而跨期替代弹性系数就没有存在的必要性。然而，在金融学中这两个概念分别表示投资者对待风险的两种不同的规避行为，一种是对期内风险的规避，而另一种则是对跨期消费波动的规避。也就是说，投资者应该具有完全不同的三种偏好

14、参数主观贴现因子、风险规避系数和跨期替代弹性，但是CRRA效用函数只有前面两种偏好参数。因此，使用Epstein and Zin（1989，1991）和Weil（1989）提出的递归效用函数，将投资者的相对风险规避系数和跨期替代弹性系数分解为两个独立的参数，从而就把投资者的两参数偏好推广到更加符合现实的三参数偏好。这样处理使得投资者的情绪更加丰富，情绪波动的来源也就更加多样化。1、均衡资产定价模型本小节使用基于递归效用函数的欧拉方程，将均衡股票价格和均衡债券价格表示为投资者的主观偏好参数（情绪参数）的函数。本节考虑的是一个代表性投资者经济。本节主要关心两种资产有风险的股票和无风险的债券。本节使

15、用市场组合来表示有风险的股票。（1）股票的均衡价格根据卢卡斯（1978）的思想，本节将市场组合或者财富理解为对未来消费流的权益。在均衡中，投资者的消费等于市场组合的红利。在t期，一份市场组合的价格为Pt，将产生红利Dt。假设红利的增长率是随机的、独立同分布的，并且服从正态分布，即。对于市场组合这个特殊的风险资产，欧拉方程（10.6）取如下更为简单的形式使用均衡消费等于市场组合的红利这个事实和市场组合收益率的定义，我们得到如下方程经过变形，得到因此，消费流权益的价格红利比，或者价格消费比，满足如下方程 （10.23）由于红利增长率是经济中唯一的状态变量，所以价格红利比是状态变量xt的一元函数。因

16、为红利增长率是独立同分布的，所以今天的自然状态不会传递任何信息给明天的红利，因而也不会传递信息给明天的消费增长率。因此，由（10.23）式可知价格红利比应该是一个常数。更严格地说, 因为红利增长率是独立同分布的，并且价格红利比是红利增长率的函数，所以如下条件期望是一个只依赖于主观偏好参数的常数由均衡定价方程（10.23）知，当红利增长率是独立同分布时，价格红利比是常数 Weil（1989）在离散状态空间的框架下得到了相似的结论。因此，。于是，在方程（10.23）左右两边除以等于常数的价格红利比，就得到其中使用了正态分布的性质。求解这个方程，就可以将均衡股票价格表示为红利和投资者的主观偏好参数的

17、函数 （10.24）方程（10.24）推广了Mehra and Sah的结果。均衡股票价格不但是红利、主观贴现因子和相对风险规避系数的函数，还是跨期替代弹性的函数。当主观偏好a 等于g 时，方程（10.4）退化到基于CRRA效用函数的均衡股票价格此退化后的均衡定价方程类似于Mehra and Sah的结果，但是与Mehra and Sah的均衡股票价格表达式略有不同。这是因为本节与他们处理红利增长率的数学方法不同。本节直接采用对数正态分布的性质，而他们先将红利增长率处理为几何布朗运动，然后得到对连续时间随机过程的离散观察就是红利增长率。两种方法从本质上来讲完全是一样的，但是相比较而言本节的处理

18、方法更为简洁。虽然两种方法所得结果形式不同，但是数值模拟的计算结果是非常接近的。注意方程（10.24）成立的关于收敛的充分条件是如下不等式 （10.25）而此条件是否成立依赖于各个经济参数和行为参数的选取。为了与Mehra and Sah的结果进行比较，本节选取与他们一致的参数。这些参数的数值大小，虽然是针对美国经济和美国投资者的特定参数，但是在资产定价理论的研究中被广为使用。我们取消费增长率的均值为m0.018，消费增长率的波动率为s0.035。风险规避系数的取值空间为(1.1, 2.0, 3.0)，主观贴现因子的取值空间为(0.96, 0.98, 0.99)，而跨期替代弹性的取值则相应为风

19、险规避系数的倒数。容易验证，条件（10.25）对于所选取的这些参数均成立。 注意当ag 时，条件（5）并不完全退化为Mehra和Sah的相应收敛条件。产生这个差别的原因在于本节的均衡资产定价模型（4）与他们的相应定价模型表达式略有不同。并且左边远小于1，说明不是特殊参数，而是存在一个较大的参数取值范围使得条件（10.25）成立。（2）债券的均衡价格下面我们来计算短期债券的均衡价格。将无风险利率记为Rf, t+1。一般说来，无风险利率是今天的状态变量xt的函数。但是，我们将要证明当消费增长率是独立同分布时，无风险利率和债券价格都是与状态变量xt无关的常数。假设一期债券承诺在下一期回报1单位的消费

20、品，那么该债券在此期的价格bt等于1/Rf, t+1，从而无风险利率等于1/bt。将无风险利率代入欧拉方程（10.6），并利用债券价格的t时可测性，得到债券价格为利用市场组合的定义，将以上方程写为当消费增长率是独立同分布时，均衡中股票的价格红利比是常数。利用这个事实，对上面方程进行变形，得到如下方程其中最后一个等式再次使用了正态分布的性质。将均衡股票价格代入以上方程的左边，变形后得到如下等式因此，债券价格等于如下常数 （10.26）当ag 时，此常数的债券价格的表达式就回复到基于CRRA效用函数的形式，即其倒数就是相应的基于CRRA效用函数的无风险利率。2、情绪波动对资产价格波动的影响本小节研

21、究投资者的情绪波动对均衡资产价格波动的影响，所使用的度量方法与Mehra and Sah是一致的。投资者的情绪波动定义为投资者的主观偏好参数的变动。为了简单起见，本节所研究的情绪波动是无分布函数的局部波动（local distribution-free fluctuations），即在先前的主观偏好参数数值附近的一个较小的扰动，我们无需知道这个扰动所服从的概率分布函数的具体形式。（1）主观贴现因子的波动下面我们研究贴现因子的无分布的局部波动对股票价格和债券价格的波动的影响。分别定义和为股票价格和债券价格对贴现因子的弹性，也就是贴现因子每变动一个百分点，股票价格和债券价格分别变动的百分点。 通常

22、将资产的波动率（volatility）定义为资产收益率的标准差，参见Engle（2004）。他在文章中综述了如何使用ARCH类计量模型计算资产的波动率。分别将股票价格和债券价格代入以上两个弹性的定义式，经过计算可以得到如下显示解和的含义类似于Mehra and Sah所描述弹性的含义。也就是说，由主观贴现因子的波动而引起的股票价格较小波动的标准差，等于倍主观贴现因子的较小波动的标准差。对弹性的解释与相同，唯一不同之处是前者研究对债券价格波动的影响。由于债券价格是主观贴现因子的线性函数，所以债券价格关于主观贴现因子的弹性等于常数1，即贴现因子的变动引起债券价格的相同程度的波动。注意到弹性的数值大

23、小依赖于主观偏好参数的数值大小和消费增长率的均值与方差。表1给出了弹性的数值模拟。对于偏好参数的合理取值，使用弹性的公式可以计算得到弹性的各个具体数值。从表10.1中可以观察到，的数值符号为正，并且在各种偏好参数的取值情况下，的数值均远大于1。这说明主观贴现因子的较小波动，将会引起股票价格的较大波动。从表10.1还可以进行弹性的比较静态分析，即各个偏好参数的变动对弹性的影响。我们主要关注这种影响的符号方向。首先，给定风险规避系数和跨期替代弹性，主观贴现因子越大，弹性就越大。 这个结论与Mehra and Sah一致。其次，风险规避系数越大，弹性越大。这个结论与Mehra and Sah不同，他

24、们指出风险规避系数越小，弹性越大。产生这个区别的原因在于他们的模型没有将风险规避系数与跨期替代弹性区分开来，所以导致了错误地报告弹性大小与主观偏好参数的关系。因此，本节将投资者的这两种行为区分开来是非常有必要的，这可以帮助我们修正对情绪波动的理解。最后，跨期替代弹性的倒数g越大，弹性越小。这些比较静态分析可以通过求取弹性关于各个主观偏好参数的导数而得到验证。当然，这个判断也可以得到证明。注意到等价于。当代入的经验取值时，得到。就本节模型中风险规避系数的取值范围而言，这是个非常大的数值。因此，做出g越大弹性就越小的判断是很稳健的。表10.1 弹性的数值模拟a贴现因子b，此处g = 1.10.99

25、0.980.961.184.930445.963423.96902.085.325246.077723.99943.085.768246.205224.0332a贴现因子b，此处g = 20.990.980.961.136.230526.721417.52312.036.948327.105817.68423.037.780427.546417.8668a贴现因子b，此处g = 30.990.980.961.122.277118.336313.54432.022.812518.693813.73433.023.439219.108213.9521（2）风险规避系数的波动我们现在研究投资者的风险

26、规避系数的局部波动对股票价格波动率和债券价格波动率的影响。分别定义和为股票价格和债券价格关于风险规避系数的弹性。使用资产价格的表达式和弹性的定义式，很容易得到如下弹性的显示解为弹性和的含义与类似。对于偏好参数的合理取值，使用弹性和的公式可以计算得到弹性的具体数值。表10.2中括号里的第一个数是弹性的数值，第二个是弹性的数值。从表10.2中可以观察到，两种弹性的符号均为正，并且在各种偏好参数的取值情况下，弹性和的取值均远小于1。这说明风险规避系数的波动所引起的股票价格和债券价格的波动非常小。这个结果也是与Mehra and Sah的结果不同的。他们指出，风险规避系数的波动可以引起股票价格的一定程

27、度的波动。本节的结果与他们的结果不同的原因仍然是他们的风险规避系数并不是真正意义上的风险规避系数，而是风险规避系数和跨期替代弹性系数的混合物。所以，没有将两者区分开来导致他们得到了错误的结果。从表10.2中可以看出来自于风险规避系数的情绪波动对股票价格和债券价格的影响是不同的。虽然弹性和的数值都远小于1，但是弹性明显比大。这说明风险规避系数的波动对债券价格的影响比对股票价格的影响要小得多。尤其要值得注意的是，因为弹性的数值与b有关，而弹性的数值与b无关，所以b越大，弹性会比大得更多。从表10.2还可以进行弹性和关于偏好参数的比较静态分析。首先，给定其它参数的数值，主观贴现因子越大，弹性和的数值

28、就越大；其次，给定其它参数的数值，风险规避系数越大，弹性和的数值就越大；再次，给定其它参数的数值，参数g 越大，弹性和的数值就越大。这些通过观察表所得到的结论都可以通过求取弹性对各个偏好参数的导数来验证是一般性的结论，而不是偏好参数的三个具体取值得到的特殊结论。比如，弹性关于a和g的导数分别为和。对其他偏好参数的比较静态分析都可以依次类推。表10.2 弹性和的数值模拟a贴现因子b，此处g = 1.10.990.980.961.1(0.0057, 0.0014)(0.0031, 0.0014)(0.0016, 0.0014)2.0(0.0105, 0.0026)(0.0056, 0.0026)(

29、0.0029, 0.0026)3.0(0.0158, 0.0039)(0.0085, 0.0039)(0.0044, 0.0039)a贴现因子b，此处g = 20.990.980.961.1(0.0244, 0.0020)(0.0180, 0.0020)(0.0118, 0.0020)2.0(0.0453, 0.0037)(0.0332, 0.0037)(0.0217, 0.0037)3.0(0.0694, 0.0055)(0.0506, 0.0055)(0.0328, 0.0055)a贴现因子b，此处g = 30.990.980.961.1(0.0300, 0.0027)(0.0247, 0

30、0027)(0.0183, 0.0027)2.0(0.0559, 0.0049)(0.0458, 0.0049)(0.0336, 0.0049)3.0(0.0861, 0.0074)(0.0702, 0.0074)(0.0513, 0.0074)（3）跨期替代弹性的波动现在研究跨期替代弹性的局部波动对股票价格和债券价格波动的影响。由于投资者的跨期替代弹性系数等于1/g，所以我们转为研究偏好参数g 的局部波动对股票价格和债券价格的影响，但是我们还是理解为是跨期替代弹性的波动。分别定义和为股票价格和债券价格关于偏好参数g的弹性。使用资产价格的表达式和弹性的定义式，可以得到如下弹性的显示解为表10

31、3给出了弹性的具体数值。括号中的第一个数是弹性的数值，第二个是弹性的数值。从表10.2中可以观察到如下事实：首先，两种弹性的符号均为负。由于我们只关心弹性数值的绝对值，所以以下所提及的数值均指的是绝对值。其次，在各种偏好参数的取值情况下，弹性的绝对值远小于弹性的绝对值，并且弹性的绝对值远小于1，说明来自于跨期替代弹性的情绪波动对债券价格波动的影响非常小。而当b取值为0.99时，弹性的绝对值大于1，说明来自于跨期替代弹性的情绪波动可以导致股票价格的波动。Mehra and Sah认为风险规避系数可以导致小的、但不可忽略的股票价格波动的论断其实是指来自于跨期替代弹性的波动。从表10.3还可以进行

32、弹性和关于偏好参数的比较静态分析。首先，给定其它参数的数值，主观贴现因子越大，弹性和的绝对值就越大；其次，给定其它参数的数值，风险规避系数越大，弹性和的绝对值就越小；再次，给定其它参数的数值，参数g 越大，的绝对值就越大，但是弹性不服从这个规律。表10.3 弹性和的数值模拟a贴现因子b，此处g = 1.10.990.980.961.1(-1.6759, -0.0197)(-0.9070, -0.0197)(-0.4730, -0.0197)2.0(-1.6320, -0.0191 )(-0.8813, -0.0191)(-0.4590, -0.0191)3.0(-1.5826, -0.0185

33、)(-0.8526, -0.0185)(-0.4435, -0.0185)a贴现因子b，此处g = 20.990.980.961.1(-1.2999, -0.0359)(-0.9587, -0.0359)(-0.6287, -0.0359)2.0(-1.2849, -0.0348)(-0.9426, -0.0348)(-0.6150, -0.0348)3.0(-1.2675, -0.0335)(-0.9242, -0.0335)(-0.5994, -0.0335)a贴现因子b，此处g = 30.990.980.961.1(-1.1989, -0.0538)(-0.9868, -0.0538)(-0.7289, -0.0538)2.0(-1.1900, -0.0522)(-0.9751, -0.0522)(-0.7164, -0.0522)3.0(-1.1796, -0.0503)(-0.9616, -0.0503)(-0.7021, -0.0503)