第三节牛顿迭代法课件.ppt

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1、一一 牛顿法及其收敛性牛顿法及其收敛性 牛顿法是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方程 逐步归结为某种线性方程来求解.设已知方程 有近似根 （假定 )，将函数 在点 展开，有 于是方程 可近似地表示为（1）这是个线性方程，记其根为 ，则 的计算公式为 10.4 牛顿迭代法牛顿迭代法1（2）这就是牛顿牛顿(Newton)(Newton)法法.牛顿法的几何解释.方程 的根 可解释为曲线 与 轴的交点的横坐标（图7-3).设 是根 的某个近似值，过曲线 上横坐标为 的点 引切线，并将该切线与 轴的交点的横坐标 作为 的新的近似值.图7-32注意到切线方程为 这样求得的值 必满足(1），从而就是牛顿

2、公式（2）的计算结果.由于这种几何背景，牛顿法亦称切线法切线法.牛顿法（2）的收敛性，可直接由上节定理得到，对（2）其迭代函数为 由于 假定 是 的一个单根，即 ，则由上式知 ，于是依据可以断定，牛顿法在根 的邻近至少是平方收敛的.3又因 故 可得（3.3）例例7.3.1 7.3.1 用牛顿法解方程（3.4）解解 这里牛顿公式为 取迭代初值 ，迭代结果列于表7-5中.4 所给方程（3.4）实际上是方程 的等价形式.若用不动点迭代到同一精度要迭代28次，可见牛顿法的收敛速度是很快的.5 对于给定的正数 ，应用牛顿法解二次方程 可导出求开方值 的计算程序（3.5）这种迭代公式对于任意初值 都是收敛

3、的.事实上，对（3.5）式施行配方手续，易知 二二 牛顿法应用举例牛顿法应用举例6以上两式相除得 据此反复递推有（3.6）记 整理（3.6）式，得 7 对任意 ，总有 ，故由上式推知，当 时 ，即迭代过程恒收敛.解解 取初值 ，对 按（3.5）式迭代3次便得到精度为 的结果（见表7-6).由于公式（3.5）对任意初值 均收敛，并且收敛的速度很快，因此可取确定的初值如 编成通用程序.例例7.3.2 7.3.2 求 .8 三三 简化牛顿法与牛顿下山法简化牛顿法与牛顿下山法 牛顿法的牛顿法的优点优点 收敛快，牛顿法的牛顿法的缺点缺点 一 每步迭代要计算 及 ，计算量较大且有时 计算较困难，二是初始近

4、似 只在根 附近才能保证收敛，如 给的不合适可能不收敛.9 为克服这两个缺点，通常可用下述方法.（1）简化牛顿法，也称平行弦法.其迭代公式为（3.7）迭代函数 若在根 附近成立 ，即取 ，则迭代法（3.7）局部收敛.10 在（3.7）中取 ，则称为简化牛顿法简化牛顿法，这类方法计算量省，但只有线性收敛，其几何意义是用平行弦与 轴交点作为 的近似.如图7-4所示.图7-411 （2 2）牛顿下山法牛顿下山法.牛顿法收敛性依赖初值 的选取.如果 偏离所求根 较远，则牛顿法可能发散.例如，用牛顿法求方程（3.8）在 附近的一个根 .设取迭代初值 ，用牛顿法公式（3.9）计算得 迭代3次得到的结果 有

5、6位有效数字.12 但如果改用 作为迭代初值，则依牛顿法公式（3.9）迭代一次得 这个结果反而比 更偏离了所求的根 .为了防止迭代发散，对迭代过程再附加一项要求，即具有单调性：（3.10）满足这项要求的算法称下山法下山法.将牛顿法与下山法结合起来使用，即在下山法保证函数值稳定下降的前提下，用牛顿法加快收敛速度.将牛顿法的计算结果 13与前一步的近似值 适当加权平均作为新的改进值（3.11）其中 称为下山因子，（3.11）即为（3.12）(3.12)称为牛顿下山法牛顿下山法.选择下山因子时从 开始，逐次将 减半进行试算，直到能使下降条件（3.10）成立为止.若用此法解方程（3.8），当 时由（3

6、9）求得14 ，它不满足条件（3.10）.通过 逐次取半进行试算，当 时可求得 .此时有 ，而显然 .由 计算 时 ,均能使条件（3.10）成立.计算结果如下：即为 的近似.一般情况只要能使条件（3.10）成立，则可得到 ，从而使 收敛.15四四 重根情形重根情形 设 ，整数 ，则 为方程 的 重根，此时有 只要 仍可用牛顿法（3.2）计算，此时迭代函数 的导数为 且 ，所以牛顿法求重根只是线性收敛.16则 .用迭代法（3.13）求 重根，则具有2阶收敛，但要知道 的重数 .构造求重根的迭代法，还可令 ，若 是 的 重根，则 若取故 是 的单根.对 用牛顿法，其迭代函数为 17从而可构造迭代

7、法（3.14）它是二阶收敛的.例例7.3.3 7.3.3 方程 的根 是二重根，用上述三种方法求根.解解 先求出三种方法的迭代公式：（1）牛顿法 18 （2）用（3.13）式 （3）用（3.14）式 取初值 ，计算结果如表7-7.19 计算三步，方法（2）及（3）均达到10位有效数字，而用牛顿法只有线性收敛，要达到同样精度需迭代30次.20五五 弦截法与抛物线法弦截法与抛物线法 用牛顿法求方程（1.1）的根，每步除计算 外还要算 ，当函数 比较复杂时，计算 往往较困难，为此可以利用已求函数值 来回避导数值 的计算.1 弦截法弦截法 设 是 的近似根，利用 构造一次插值多项式 ，并用 的根作为新

8、的近似根 .由于（5.1）21因此有（5.2）（5.2）可以看做牛顿公式 中的导数 用差商 取代的结果.几何意义.曲线 上横坐标为 的点分别记为 ，则弦线 的斜率等于差商值 ,其方22程是因之，按（5.2)式求得的 实际上是弦线 与 轴交点的横坐标.这种算法因此而称为弦截法弦截法.表7-523 弦截法与切线法（牛顿法）都是线性化方法，但两者有本质的区别.切线法在计算 时只用到前一步的值 ，而弦截法（5.2），在求 时要用到前面两步的结果 ，因此使用这种方法必须先给出两个开始值 .例例7.3.4 7.3.4 用弦截法解方程 解解 设取 作为开始值，用弦截法求得的结果见表7-8，比较例7.3.1牛

9、顿法的计算结果可以看出，弦截法的收敛速度也是相当快的.实际上，弦截法具有超线性的收敛性.24 定理定理6 6 假设 在根 的邻域 内具有二阶连续导数，且对任意 有 ，又初值 ，那么当邻域充分小时，弦截法（5.2）将按阶 收敛到根 .这里 是方程 的正根.252 2 抛物线法抛物线法 设已知方程 的三个近似根 ，以这三点为节点构造二次插值多项式 ，并适当选取 的一个零点 作为新的近似根，这样确定的迭代过程称抛物线法抛物线法，亦称密勒（密勒（MllerMller）法法.在几何上，这种方法的基本思想是用抛物线 与 轴的交点 作为所求根 的近似位置（图7-6).图7-626插值多项式 有两个零点：（5

10、3）式中 问题是该如何确定 ，假定在 三个近似根中，更接近所求的根 ，为了保证精度，选（5.3）中较接近 的一个值作为新的近似根 .为此，只要取根式前的符号与 的符号相同.27例例7.3.5 7.3.5 用抛物线法求解方程 解解 设用表7-8的前三个值 作为开始值，计算得 故 代入（5.3）式求得 28 以上计算表明，抛物线法比弦截法收敛得更快.在一定条件下可以证明，对于抛物线法，迭代误差有下列渐近关系式 可见抛物线法也是超线性收敛的，其收敛的阶 ,收敛速度比弦截法更接近于牛顿法.从（5.3）看到，即使 均为实数，也可以是复数，所以抛物线法适用于求多项式的实根和复根.297.6 7.6 解非

11、线性方程组的牛顿迭代法解非线性方程组的牛顿迭代法 考虑方程组（6.1）其中 均为 的多元函数.用向量记号记 ,(6.1）就可写成（6.2）当 ，且 中至少有一个是自变量 的非线性函数时，称方程组（6.1）为非线非线性方程组性方程组.30 非线性方程组求根问题是前面介绍的方程（即 ）求根的直接推广，只要把前面介绍的单变量函数 看成向量函数 则可将单变量方程求根方法推广到方程组（6.2）.若已给出方程（6.2）的一个近似根 ，将函数 的分量 在 用多元函数泰勒展开，并取其线性部分，则可表示为 令上式右端为零，得到线性方程组（6.3）31其中（6.4）称为 的雅可比雅可比(Jacobi)(Jacobi)矩阵矩阵.求解线性方程组（6.3）并记解为 ，则得（6.5）这就是解非线性方程组（6.2）的牛顿迭代法牛顿迭代法.32 例例12 12 求解方程组 给定初值 ,用牛顿法求解.解解 先求雅可比矩阵 由牛顿法（6.5）得 33即 由 逐次迭代得到 的每一位都是有效数字.34v拟Newton方程35v1.36其中 37 例例1 1用拟用拟newtonnewton法和法和BroydenBroyden秩秩1 1修改方法求修改方法求383940