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1、第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析第四章第四章弹性结构静力分析弹性结构静力分析1第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析（3 3 3 3）等效节点载荷的计算）等效节点载荷的计算）等效节点载荷的计算）等效节点载荷的计算 q有有限限元元法法是是以以节节点点处处的的“力力平平衡衡条条件件”建建立立求求解解方方程程的的，因因此此当当单单元元内内部部存存在在体体力力或或边边界界上上存存在在面面力力时时，必必须须通通过过某某种种方方式式将将这这些些载载荷荷转转移移变变换换到单元的节点处。到单元的节点处。q在在有有限限元元法法中中，采采用用“静静力力等等效效原原则则”进进行行等等效效节节点

2、点载载荷荷计计算算。所所谓谓“静静力力等等效效原原则则”是是指指，对对任任意意虚虚位位移移，原原来来载载荷荷与与转转换换后后的的节节点点载载荷荷在在同同一虚位移上的虚功相等。一虚位移上的虚功相等。2第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析（3 3 3 3）等效节点载荷的计算）等效节点载荷的计算）等效节点载荷的计算）等效节点载荷的计算 q设设有有一一均均质质、等等厚厚度度的的三三角角形形单单元元i,j,k受受重重力力W的的作作用用，其其合合力力作作用用在在单元的形心，试根据单元的形心，试根据静力等效原则求转换到节点上的等效载荷静力等效原则求转换到节点上的等效载荷。oxyijmYiibccW

3、1、假设单元产生以下几何容许的虚假设单元产生以下几何容许的虚位移：位移：节点节点i只沿只沿y方向移动单位方向移动单位1；而其余两而其余两节点节点j,k为铰支约束为铰支约束2、由于位移模式为线性函数变化由于位移模式为线性函数变化，当当节点节点i移动后，单元内部移动后，单元内部bi线段线段上上各点位移均按直线移动，即变形后各点位移均按直线移动，即变形后仍为仍为直线直线bi；3、重力、重力W作用在形心作用在形心：bc/bi=1/3 当当ii=1，则形心则形心c沿沿y移动：移动：cc/ii=bc/bi=1/3 4 4、所以可得：、所以可得：-W 1/3=Yi 1，Yi=W/3；同理可得：同理可得：Yj

4、W/3，Yk=W/3；3第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析（3 3 3 3）等效节点载荷的计算）等效节点载荷的计算）等效节点载荷的计算）等效节点载荷的计算 q几几种种载载荷荷的的等等效效节节点点载载荷荷计计算算。考考虑虑单单元元中中某某一一点点(x,y)作作用用有有集集中中载载荷荷P：P=px,pyT对应等效节点载荷列阵为：对应等效节点载荷列阵为：Re=Xi,Yi,Xj,Yj,Xk,YkT单元内部产生虚位移，集中载荷作用点单元内部产生虚位移，集中载荷作用点(x,y)的虚位移为：的虚位移为：f=u,vT对应节点虚位移为：对应节点虚位移为：e=ui,vi,uj,vj,uk,vkT由位

5、移模式有：由位移模式有：f=N e利用虚位移原理可得：利用虚位移原理可得：(e)TRe=fTP=(N e)TP利用矩阵乘积逆序法则：利用矩阵乘积逆序法则：(e)TRe=(e)TNTP由于虚位移是任意的，则有：由于虚位移是任意的，则有：Re=NTP 4第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析（3 3 3 3）等效节点载荷的计算）等效节点载荷的计算）等效节点载荷的计算）等效节点载荷的计算 q如如果果单单元元上上有有体体力力作作用用，沿沿x,y方方向向的的体体力力分分量量为为P=X,YT，相相当当于于在在点点(x,y)处作用处作用集中力为集中力为Ptdxdy，则等效节点载荷为：则等效节点载荷为

6、q如如果果单单元元某某边边界界受受有有面面力力q作作用用，沿沿x,y方方向向的的面面力力分分量量为为q=qx,qyT，若若将将微微元元体体tds上上的的面面力力qtds当当作作集集中中载载荷荷P，相相当当于于在在边边界界点点(x,y)处处作作用用集集中中力为力为P=qtds，则等效节点载荷为：则等效节点载荷为：5第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析（4 4 4 4）结构整体刚度矩阵的集成）结构整体刚度矩阵的集成）结构整体刚度矩阵的集成）结构整体刚度矩阵的集成 q对对结结构构分分析析建建立立整整体体刚刚度度矩矩阵阵的的方方法法，是是利利用用单单元元“节节点点的的平平衡衡方方程程”。用

7、具体例题说明如下。用具体例题说明如下。aaaa123456X2X1Y1ijmijmmijjim1234由于该结构有由于该结构有6个个节点，节点自由节点，节点自由度为度为12，即需要确定的节点位移，即需要确定的节点位移参量为参量为12个个，应列出，应列出12个线性方个线性方程程。这样，线性方程组的系数矩。这样，线性方程组的系数矩阵，也即总刚度矩阵有阵，也即总刚度矩阵有12 12个个元素元素，按，按(x,y)分块后有分块后有6 6子矩子矩阵。阵。6第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析（4 4 4 4）结构整体刚度矩阵的集成）结构整体刚度矩阵的集成）结构整体刚度矩阵的集成）结构整体刚度矩阵

8、的集成 q按节点编号列出总刚阵结构按节点编号列出总刚阵结构，每一个子阵先用零表示：，每一个子阵先用零表示：aaaa123456X2X1Y1ijmijmmijjim1234如果取如果取U U1 1=1=1，其余其余U U2 2=U=U6 6=0,=0,则有：则有：K K1111=F F1 1；K K2121=F F2 2；K K6161=F F6 6；则则 K K1111 表示表示节点节点1 1作用单位作用单位1 1位移位移时，时，在在节点节点1 1产生的载荷产生的载荷，其余类推。，其余类推。=1=0=0=0=0=07第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析（4 4 4 4）结构整体刚度矩

9、阵的集成）结构整体刚度矩阵的集成）结构整体刚度矩阵的集成）结构整体刚度矩阵的集成 q建立每个单元的刚度矩阵，如对单元建立每个单元的刚度矩阵，如对单元可表示为：可表示为：aaaa123456X2X1Y1ijmijmmijjim1234注意单元节点编号注意单元节点编号(i,j,m)与整体节点与整体节点编号的对应关系：编号的对应关系：(i,j,m)=(5,3,2)当许多单元共用一个节点时，作用在当许多单元共用一个节点时，作用在该节点的合力就是每个单元刚阵中该节点的合力就是每个单元刚阵中具具有相同下标子矩阵有相同下标子矩阵kij的迭加的迭加，也就是也就是总刚阵中具有相同下标的元素，总刚阵中具有相同下标

10、的元素，即：即：8第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析（4 4 4 4）结构整体刚度矩阵的集成）结构整体刚度矩阵的集成）结构整体刚度矩阵的集成）结构整体刚度矩阵的集成 q建立每个单元的刚度矩阵，如对单元建立每个单元的刚度矩阵，如对单元可表示为：可表示为：注意单元节点编号注意单元节点编号(i,j,m)与整体节点与整体节点编号的对应关系：编号的对应关系：(i,j,m)=(5,3,2)其中，其中，kii=k55表示单元表示单元的的节点节点5作用单位位移时在作用单位位移时在节点节点5产生的节点力；产生的节点力；它应与它应与总刚阵子阵总刚阵子阵K55迭加迭加；kij=k53表示单元表示单元的的

11、节点节点3作用单位位移时在作用单位位移时在节点节点5产生的节点力；它应与产生的节点力；它应与总刚阵子阵总刚阵子阵K53迭加迭加；kij=k52表示单元表示单元的的节点节点2作用单位位移时在作用单位位移时在节点节点5产生的节点力；它应与产生的节点力；它应与总刚阵子阵总刚阵子阵K52迭加迭加等，等，9第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析（4 4 4 4）结构整体刚度矩阵的集成）结构整体刚度矩阵的集成）结构整体刚度矩阵的集成）结构整体刚度矩阵的集成 q即即“相同下标的单元子阵元素相加相同下标的单元子阵元素相加”就可以得到该结构的总刚度矩阵元素为：就可以得到该结构的总刚度矩阵元素为：K11=

12、k11(1)，K12=k12(1)，K13=k13(1)；K21=k21(1)，K22=k22(1)+k22(2)+k22(3)，K23=k23(1)+k23(3)；K31=k31(1)，K32=k32(1)+k32(3)，K33=k33(1)+k33(3)+k33(4)；K42=k42(2)，K44=k44(2)，K45=k45(2)；K52=k52(2)+k52(3),K53=k53(3)+k53(4),K54=k54(2)，K55=k55(2)+k55(3)+k33(4)，K56=k56(4)K63=k63(4)，K65=k65(4)，K66=k66(4)；aaaa123456X2X1Y

13、1ijmijmmijjim123410第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析（4 4 4 4）结构整体刚度矩阵的集成）结构整体刚度矩阵的集成）结构整体刚度矩阵的集成）结构整体刚度矩阵的集成 q如如果果取取泊泊松松比比=0，可可得得单单元元、的的单单元元刚刚度度矩矩阵阵是是相相同同的的，均均为为如下形式：如下形式：11第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析（4 4 4 4）结构整体刚度矩阵的集成）结构整体刚度矩阵的集成）结构整体刚度矩阵的集成）结构整体刚度矩阵的集成 q利利用用这这个个结结果果，将将相相应应的的子子阵阵代代入入总总刚刚阵阵计计算算式式中中，经经整整理理后后可可得得

14、该该结结构构的的总刚度矩阵为如下形式总刚度矩阵为如下形式：对称对称12第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析（4 4 4 4）结构整体刚度矩阵的集成）结构整体刚度矩阵的集成）结构整体刚度矩阵的集成）结构整体刚度矩阵的集成 q最后获得的线性代数方程为：最后获得的线性代数方程为：对称对称13第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析（5 5 5 5）代入边界条件）代入边界条件）代入边界条件）代入边界条件 q在建立了结构总刚度矩阵后，就可以建立节点位移所满足的线性方程：在建立了结构总刚度矩阵后，就可以建立节点位移所满足的线性方程：K=R 式式中中，为为全全部部节节点点位位移移列列阵阵，R

15、为为全全部部节节点点载载荷荷列列阵阵。但但由由于于没没有有代代入入边边界条件，这个方程组的解是不确定的。界条件，这个方程组的解是不确定的。q从从线线性性代代数数理理论论上上讲讲，上上述述线线性性方方程程组组是是奇奇异异的的，即即线线性性代代数数方方程程组组的的系系数数矩阵的行列式的值为零矩阵的行列式的值为零detK=0，因此线性代数方程组无法求解。，因此线性代数方程组无法求解。q这这一一点点从从力力学学意意义义上上理理解解，是是因因为为采采用用位位移移法法求求解解时时，如如果果对对受受载载结结构构不不引引入入符符合合实实际际的的几几何何约约束束条条件件，则则该该结结构构将将产产生生没没有有限限

16、制制的的刚刚体体运运动动，显显然然解解是是不不确确定定的的。这这一一点点反反映映在在数数学学上上，总总刚刚度度矩矩阵阵 KK是是奇奇异异的的，即即它它的的行行列列式式的的值值为零，因而其逆阵不存在为零，因而其逆阵不存在。q因因此此对对结结构构受受力力分分析析，要要使使有有限限元元模模型型能能够够求求解解，必必须须保保证证至至少少有有一一个节点是完全固定的几何约束，即整个结构不能存在刚性运动。个节点是完全固定的几何约束，即整个结构不能存在刚性运动。14第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析（6 6 6 6）总刚度矩阵的特点总刚度矩阵的特点总刚度矩阵的特点总刚度矩阵的特点q总刚度矩阵具有以

17、下特点总刚度矩阵具有以下特点：1）对称性对称性 很很容容易易证证明明，总总刚刚度度矩矩阵阵是是个个对对称称矩矩阵阵。利利用用对对称称性性，有有限限元元程程序序只只需需存存储储对角线元素以上的部分即可，这样将节约一半的存储空间。对角线元素以上的部分即可，这样将节约一半的存储空间。2）稀疏性）稀疏性 总总刚刚度度矩矩阵阵是是一一个个稀稀疏疏矩矩阵阵，其其绝绝大大部部分分元元素素都都是是零零，非非零零元元素素只只占占总总元元素素的的很很少少一一部部分分。对对稀稀疏疏矩矩阵阵线线性性方方程程组组，已已建建立立了了许许多多有有效效求求解解方方法法。在在有有限限元程序中，只需存储非零元素，这样又可大大减少

18、存储量，提高计算效率。元程序中，只需存储非零元素，这样又可大大减少存储量，提高计算效率。3）带状分布）带状分布 总总刚刚度度矩矩阵阵中中的的非非零零元元素素呈呈斜斜带带状状区区域域，对对称称分分布布在在主主对对角角线线的的两两侧侧。总总刚刚阵阵中中每每行行包包括括主主对对角角线线元元素素的的“半半带带中中”非非零零元元素素的的个个数数，称称为为“半半带带宽宽”。应充分利用有效的节点编号方法，减小半带宽度，提高有限元程序计算效率。应充分利用有效的节点编号方法，减小半带宽度，提高有限元程序计算效率。15第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析（4 4 4 4）结构整体刚度矩阵的集成）结构整体

19、刚度矩阵的集成）结构整体刚度矩阵的集成）结构整体刚度矩阵的集成 q最后获得的线性代数方程为：最后获得的线性代数方程为：对称对称16第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析（7 7 7 7）有限元数值解的收敛准则）有限元数值解的收敛准则）有限元数值解的收敛准则）有限元数值解的收敛准则 q在此我们从物理意义对位移模式的要求作一分析：在此我们从物理意义对位移模式的要求作一分析：1）位移模式必须能反映单元的刚性位移位移模式必须能反映单元的刚性位移 单单元元的的刚刚性性位位移移是是指指平平移移和和转转动动，与与单单元元的的内内部部变变形形无无关关，它它是是由由于于其其他他单单元元发发生生了了变变形

20、形后后而而连连带带发发生生的的，因因此此要要正正确确反反映映单单元元的的位位移移形形态态，位位移移模模式式中必须包含反映单元刚性位移的函数项，即常数项。中必须包含反映单元刚性位移的函数项，即常数项。2）位移模式必须能反映单元的常应变项位移模式必须能反映单元的常应变项 当当单单元元的的尺尺寸寸越越来来越越小小时时，每每个个单单元元内内的的应应变变应应趋趋于于一一个个确确定定的的值值。因因此此对对有有限限区区域域（元元）讲讲，所所选选择择位位移移模模式式必必须须包包含含能能描描述述上上述述特特性性的的函函数数项项，即即包包括括两两部部分分：一一部部分分能能给给出出常常应应变变，另另一一部部分分给给

21、出出与与坐坐标标有有关关的的应应变变，即即变变量量应应变变。由由于于变变量量应应变变随随单单元元尺尺寸寸减减小小逐逐渐渐变变小小，因因此此常常应应变变项项为为应应变变的的主主要要部部分。即位移模式至少需包含线性函数项。分。即位移模式至少需包含线性函数项。3）位移模式应反映实际结构位移的连续性位移模式应反映实际结构位移的连续性 位位移移的的连连续续性性包包括括两两方方面面要要求求：一一是是每每个个单单元元在在整整体体结结构构变变形形后后仍仍能能保保持持为为一一个个连连续续的的构构件件；二二是是相相邻邻单单元元的的共共同同边边界界在在变变形形后后仍仍是是连连续续的的，不不会会发发生生脱脱离和重叠现

22、象。这就需要假设位移模式必须是坐标的单值连续函数。离和重叠现象。这就需要假设位移模式必须是坐标的单值连续函数。17第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析（8 8 8 8）精度较高的平面单元简介）精度较高的平面单元简介）精度较高的平面单元简介）精度较高的平面单元简介 q如如前前所所述述，线线性性位位移移模模式式的的单单元元为为常常应应变变单单元元，当当单单元元尺尺寸寸较较大大时时会会产产生生明明显显误误差差。为为减减少少离离散散化化带带来来的的误误差差，使使所所求求得得位位移移和和应应力力能能更更好好反反映映真真实实状状态态，可采用可采用具有较高阶次位移插值函数的单元，即精度较高的平面单

23、元具有较高阶次位移插值函数的单元，即精度较高的平面单元。q对平面问题，常用的较高精度单元是矩形单元和六节点三角形单元。对平面问题，常用的较高精度单元是矩形单元和六节点三角形单元。18第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析（8 8 8 8）精度较高的平面单元简介）精度较高的平面单元简介）精度较高的平面单元简介）精度较高的平面单元简介 q矩形平面单元：矩形平面单元：q以以矩矩形形四四个个角角点点作作为为节节点点，节节点点局局部部标标号号用用(i,i,j,j,k,k,m)m)表表示示，为为简简单单起起见见，坐标系选在矩形单元的中心，如图所示。坐标系选在矩形单元的中心，如图所示。xyoijkm

24、aabbuiumukujvivjvkvm其中：其中：形函数为：形函数为：19第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析（8 8 8 8）精度较高的平面单元简介）精度较高的平面单元简介）精度较高的平面单元简介）精度较高的平面单元简介 q六节点三角形平面单元：六节点三角形平面单元：q其其节节点点布布置置如如图图所所示示，由由于于单单元元存存在在1212个个自自由由度度，就就可可以以采采用用完完全全二二次次多多项项式位移插值函数式位移插值函数(见第三章讨论见第三章讨论)：xyoijkml这种单元也称为这种单元也称为二次单元二次单元。有关应变矩。有关应变矩阵阵 BB、应力矩阵应力矩阵 SS和单元刚

25、度矩阵与和单元刚度矩阵与上述推导思路完全相同，但推导过程十上述推导思路完全相同，但推导过程十分复杂。在此不作进一步的讨论，可参分复杂。在此不作进一步的讨论，可参见有关文献专著。见有关文献专著。n20第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析（9 9 9 9）热应力的计算）热应力的计算）热应力的计算）热应力的计算 q工工程程结结构构在在温温度度作作用用下下的的热热应应力力分分析析问问题题十十分分普普遍遍。如如何何利利用用有有限限元元法法计计算算由于温度变化所产生的热应力？由于温度变化所产生的热应力？q总的讲有三种分析思路：总的讲有三种分析思路：1 1）如如果果结结构构温温度度分分布布已已知知

26、则则可可以以将将温温度度作作为为体体载载荷荷直直接接加加在在离离散散模模型型的节点上进行计算；的节点上进行计算；2 2）间间接接法法，用用有有限限元元法法首首先先进进行行温温度度计计算算，然然后后将将求求得得节节点点温温度度作作为为体体载荷加在结构应力分析中，温度和应力分开计算；载荷加在结构应力分析中，温度和应力分开计算；3 3）直直接接法法，将将温温度度和和应应力力耦耦合合在在一一起起进进行行计计算算，同同时时得得到到温温度度和和应应力力分分布。布。直直接接法法或或耦耦合合法法是是最最复复杂杂得得计计算算过过程程，也也是是最最符符合合实实际际情情况况。对对大大多多数数结结构构热应力分析，都

27、采用第二种间接法进行分析。热应力分析，都采用第二种间接法进行分析。我们在此仅介绍第一种温度分布已知的最简单情况。我们在此仅介绍第一种温度分布已知的最简单情况。21第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析（9 9 9 9）热应力的计算）热应力的计算）热应力的计算）热应力的计算 q对对于于平平面面热热应应力力问问题题，温温度度T T仅仅是是坐坐标标x,yx,y的的函函数数T=T(x,y)T=T(x,y)，温温度度产产生生的的体体积积膨胀或收缩只影响弹性体的正应变，此时材料的应力膨胀或收缩只影响弹性体的正应变，此时材料的应力-应变关系变为应变关系变为:q将上式移项有：将上式移项有：温度产生温度

28、产生的正应变的正应变22第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析（9 9 9 9）热应力的计算）热应力的计算）热应力的计算）热应力的计算 q再改写成应力得形式，有：再改写成应力得形式，有：q引进记号：引进记号：温度产生温度产生的正应力的正应力23第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析（9 9 9 9）热应力的计算）热应力的计算）热应力的计算）热应力的计算 q代入单元刚度矩阵计算公式有：代入单元刚度矩阵计算公式有：q上式中第二项表示上式中第二项表示由于温度作用而产生的节点力由于温度作用而产生的节点力，对上式进行移项：，对上式进行移项：q可以看出，当结构不受力时可以看出，当结构不受力

29、时节点实际载荷并不存在节点实际载荷并不存在，而包含温度的项就，而包含温度的项就相当于相当于作用在单元节点的作用在单元节点的“等效节点载荷等效节点载荷”。0=24第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析轴对轴对称称称称问题问题的的的的单单元分析元分析元分析元分析 q在在工工程程实实际际中中，如如果果结结构构的的几几何何形形状状、约约束束条条件件及及所所受受的的外外载载都都绕绕某某一一轴轴对对称称，则则所所有有的的应应力力、应应变变和和位位移移也也对对称称于于此此轴轴。这这种种问问题题称称为为轴轴对对称称问问题题。如如各种压力容器、宇航结构、圆柱（筒）等都是轴对称问题。各种压力容器、宇航结构

30、圆柱（筒）等都是轴对称问题。q在描述轴对称问题时，采用在描述轴对称问题时，采用圆柱坐圆柱坐标标(r,r,z),z)比较方便比较方便。q用相距用相距drdr的两个圆柱面，互成的两个圆柱面，互成d d 角角的两个垂直面的两个垂直面，和两个相距，和两个相距dzdz的水平的水平面，从弹性体中分离出一个小的微元面，从弹性体中分离出一个小的微元体，用体，用 rrrr表示径向正应力，表示径向正应力，表示环表示环向正应力，向正应力，zzzz表示轴向正应力，剪应表示轴向正应力，剪应力分量力分量 rzrz=zrzr。25第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析轴对轴对称称称称问题问题的的的的单单元分析元分

31、析元分析元分析 q任何一点只有两个位移分量：任何一点只有两个位移分量：即沿即沿r r方向的径向方向的径向位移位移u u，和沿和沿z z方向的轴向位移方向的轴向位移w w。由于对称性，垂由于对称性，垂直对称面的直对称面的 方向环向位移为零；剪应力分量方向环向位移为零；剪应力分量 r r=r r=0=0，z z=z z=0=0。q这样在轴对称问题中，所求解的未知参量有：这样在轴对称问题中，所求解的未知参量有：位移分量：位移分量：f=uf=u，wwT T；应力分量：应力分量：=rrrr，zzzz，rzrz T T；应变分量：应变分量：=rrrr，zzzz，rzrz T T；共计共计1010未知参量未

32、知参量。轴对称问题分析就是在确定约。轴对称问题分析就是在确定约束和载荷边界条件下，求解结构中上述束和载荷边界条件下，求解结构中上述1010未知参量未知参量的分布规律的分布规律。26第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析（1 1 1 1）轴对称问题基本方程）轴对称问题基本方程）轴对称问题基本方程）轴对称问题基本方程 q根据图所示微元体的在根据图所示微元体的在r和和z方向的平衡条件方向的平衡条件 Rr=0,Rz=0，可推导出轴对可推导出轴对称问题的平衡方程为：称问题的平衡方程为：q由几何关系，可导出几何方程为：由几何关系，可导出几何方程为：27第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析

33、1 1 1 1）轴对称问题基本方程）轴对称问题基本方程）轴对称问题基本方程）轴对称问题基本方程 q由广义由广义HookeHookes Laws Law可得物理方程（应力可得物理方程（应力-应变关系）为：应变关系）为：对称对称28第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析（2 2 2 2）位移模式）位移模式）位移模式）位移模式 q在轴对称问题中，以任一对称面在轴对称问题中，以任一对称面(r,z)r,z)为研究对象。采用的单元是一些轴对为研究对象。采用的单元是一些轴对称环形单元，其横截面（与称环形单元，其横截面（与rzrz面相交的截面）可以是各种平面形状，就像平面相交的截面）可以是各种平面形

34、状，就像平面问题在面问题在xyxy面上进行离散化。面上进行离散化。r,(x)zoy,()rozmjiuiujumwiwjwm29第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析（2 2 2 2）位移模式）位移模式）位移模式）位移模式 q采用三角形单元对轴对称截面进行离散化，仿照平面问题，选择线性位移模采用三角形单元对轴对称截面进行离散化，仿照平面问题，选择线性位移模式：式：rozmjiuiujumwiwjwm可以得到与平面问题类似的关系式，即：可以得到与平面问题类似的关系式，即：其中，其中，Ni=(ai+bir+ciz)/2A,(i,j,m)。30第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析（

35、2 2 2 2）位移模式）位移模式）位移模式）位移模式 q在轴对称问题中，每个节点有四个应变分量，在轴对称问题中，每个节点有四个应变分量，沿沿r r方向径向正应变方向径向正应变 rrrr，沿沿 方向方向环向正应变环向正应变，沿，沿z z方向轴向正应变方向轴向正应变 zzzz和在和在rzrz平面中的剪应变平面中的剪应变 rzrz。由于对称性，由于对称性，其余两个剪应变其余两个剪应变 r r 和和 z z等于零等于零。由几何方程可得单元应变与节点位移得关系为。由几何方程可得单元应变与节点位移得关系为:rozmjiuiujumwiwjwm其中，其中，式中，式中，hi=(ai+bir+ciz)/r，(

36、i,j,m)。注意此时注意此时环向正应变环向正应变 中包含坐标中包含坐标(r,z)，不不是常量是常量，但其他应变分量都是常量。，但其他应变分量都是常量。31第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析（3 3 3 3）单元刚度矩阵）单元刚度矩阵）单元刚度矩阵）单元刚度矩阵 q单元刚度矩阵可由三维条件下得普遍公式沿整个圆环单元求积分确定，即：单元刚度矩阵可由三维条件下得普遍公式沿整个圆环单元求积分确定，即：式中式中 BB矩阵见上式，矩阵见上式，由于被积函数与坐标由于被积函数与坐标r,zr,z有关，有关，上式右边积分不能简单上式右边积分不能简单给出。为了避免复杂积分元算，并消除给出。为了避免复杂

37、积分元算，并消除对称轴上对称轴上r=0r=0产生得奇异性产生得奇异性，可把每个，可把每个单元中的单元中的r,zr,z近似处理为常量，取为：近似处理为常量，取为：q这样处理后被积函数变为常量，可求的单元刚度矩阵为：这样处理后被积函数变为常量，可求的单元刚度矩阵为：32第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析（3 3 3 3）单元刚度矩阵）单元刚度矩阵）单元刚度矩阵）单元刚度矩阵 q其中子矩阵其中子矩阵 k krsrs 为：为：krs=2 rABrTDBsq上式中上式中A A是三角形单元的面积。将矩阵是三角形单元的面积。将矩阵 BB和和 DD代入经推导可求的代入经推导可求的 k krsrs

38、为：为：q其中，其中，g g1 1=/(1-/(1-)，g g2 2=(1-2=(1-2)/2(1-)/2(1-)。33第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析（4 4 4 4）等效节点载荷）等效节点载荷）等效节点载荷）等效节点载荷 q对对轴轴对对称称问问题题，节节点点载载荷荷是是作作用用在在整整个个圆圆环环的的点点上上的的，如如果果节节点点的的半半径径为为r r，单单位位圆圆环环长长度度上上作作用用的的载载荷荷分分布布为为F Fr r（径径向向）和和F Fz z（轴轴向向），计计算算中中采采用用的的节节点点载载荷荷应为：应为：径向：径向：2 rFr，轴向：轴向：2 rFz，q当单位体积内作用体积力为：当单位体积内作用体积力为：q由计算公式，可得节点等效载荷为：由计算公式，可得节点等效载荷为：q当体积力为常数时，在被积函数中可近似取当体积力为常数时，在被积函数中可近似取r,zr,z的平均值，于是有：的平均值，于是有：34