高数练习题答案天津理工大学.doc

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1、高数习题答案同步训练1-1题解（基本题）一、填空题1、；2、.二、选择题 1、C；2、A.三、计算题1、， .2、， 在是偶函数.同步训练1-2题解（基本题）一、填空题1、略；2、n从开始；二、选择题1、A,B；2、B.三、1、，绝对值不等式， 只须，取正整数，则当时，证毕.2、有界，存在，对一切n，又， 对存在正整数N，当时恒成立， ，证毕.同步训练1-3题解（基本题）一、填空题1、略；2、充分必要；3、,不存在.二、选择题1、A；2、B,A,D；3、C.三、1、为使，只须，取， 则当时，恒成立，.2、，为使， 只须，取，则当恒成立， .3. ，为使， 只须，取，则当时恒成立， .同步训练1

2、4题解（基本题）一、填空题1、0；2、无穷小乘有界变量是无穷小；3、略；4、；5、A.二、选择题1、A；2、D.同步训练1-5题解（基本题）1、原式；2、原式；3、原式；4、原式；5、原式；6、由题设知，即，代入原式，.同步训练1-6题解（基本题）一、填空题1、；2、；3、3；4、.二、选择题1、D；2、A.三、1、原式；2、原式；3、原式；4、；5、； ，原式1；6、原式.同步训练1-7题解（基本题）一、选择题1、B；2、D.二、1、原式；2、原式；3、原式.同步训练1-8, 1-9题解（基本题）一、填空题1、；2、9；3、.二、选择题1、A；2、B.三、，在连续，为跳跃间断点.四、1、原

3、式；2、原式；3、；4、原式.同步训练1-10题解（基本题）一、1、原式.2、原式.二、设在连续，由函数取零值定理，至少存在，使，即，即至少有，使是方程的根.三、设在连续，由函数取零值定理在内至少存在，使，即.四、在连续，对存在，使当时，即存在的邻域内，使，即有.同步训练第一章检测题题解（基本题）一、填空题1、必要、充分；2、15；3、；4、e.二、选择题1、C；2、C；3、B；4、B.三、1、原式.2、 ，原式1.3、原式.四、间断点，是跳跃间断点，是无穷间断点.五、，又，即，即当时，即.六、任取x及，由题设， ，即在连续， 由x的任意性知在内连续，又， 与异号，由函数取零值定理，至少存在一

4、点，使.同步训练2-1题解（基本题）一、填空题1、；2、必要，充分；3、.二、选择题1、C；2、B.三、1、为使在连续，由， 为使在可导，由， 计算， ， ，即在连续可导.2、，切线方程，即.3、.同步训练2-2题解（基本题）1、.2、.3、.4、.5. .6、.7、.同步训练2-3题解（基本题）一、1、，.2、.3、4、设， .同步训练2-4题解（基本题）一、填空题1、；2、.二、选择题1、D；2、C.三、1、, .2、当时, ， 将代入得.3、.4、.5、 .同步训练2-5题解（基本题）一、填空题1、；2、.二、选择题1、A；2、A.三、1、；2、；3、.同步训练第二章检测题题解（基本题）

5、一、填空题1、；2、；3、；4、.二、选择题1、B；2、C；3、B；4、C.三、1、.2、, ，.3、, .4、 .四、，当时，当时，当时，总之.五、1时，当时，是无穷小，在连续，但不存在.在不可导.2，显然在连续，又，在可导，且，此时，当时，不存在，在不连续.3当时，在连续.六、以T为周期， ， 是以T为周期的周期函数.同步训练3-1题解（基本题）一、填空题1、；2、3.二、选择题1、D；2、C.三、1、设， 在上连续，在(0,1)内可导， 至少存在一点，使， 即在(0,1)内至少有一根.2、在二阶可导，在连续，在内可导， ，由罗尔定理在及内分别至少存在， 使，由题设在连续，在可导， 至少存

6、在一点，使.3、设，它在连续在可导，由拉格朗日定理至少存在， 使.4、分析：欲证，即，即， 从而可引入辅助函数， 证：设在连续在可导， 由罗尔定理至少存在一点，使， 即.同步训练3-2题解（基本题）一、填空题1、1；2、0.二、选择题1、B；2、C.三、1、原式；2、原式；3、原式；4、原式.四、原式.同步训练3-3题解（基本题）一、填空题1、；2、.二、原式三、,.同步训练3-4题解（基本题）一、填空题1、；2、.二、选择题1、A；2、C；3、B.三、，令得驻点，列表，1， -0+ 0- 极小值 极大值 极小值，极大值四、设， 单调减少，又， 当时， 当时，单调减少，又， 当时，即.五、由同

7、步训练3-5题解（基本题）一、填空题1、；2、.二、选择题1、C；2、B.三、1、， 是曲线的拐点，.2、设底面三角形边长为x，柱体高为h，则，于是， 表面积， 由得唯一驻点，又，故当时表面积最小.3、横断面面积，得， 断面周长， ，令得唯一驻点， 且，当时最小， 此时，故当时，建沟所用材料最省.同步训练3-6题解（基本题）一、1、；2、0；3、水平，.oxy12-1二、经讨论：是水平渐近线.同步训练第三章检测题（基本题）一、填空题1、；2、1；3、；4、.二、选择题1、D；2、C；3、D；4、D.三、1、原式（令）；2、原式；3、原式；4、原式.四、, 令得，当，凹区间，当凸区间，拐点是五、

8、设在上连续，在内可导，且，由罗尔定理，至少存在一点使，即.同步训练4-1题解（基本题）一、填空题1、；2、；3、.二、选择题1、B；2、D；3、D.三、计算题1、；2、；3、；4、；5、.同步训练4-2题解（基本题）一、填空题1、；2、.二、选择题1、D；2、D.三、计算下列各题1、原式；2、原式；3、原式；4、原式；5、；6、；7、.四、计算下列各题1. 解：令，原式.2、.3、.同步训练4-3题解（基本题）一、选择题 1、C2、B二、填空题1 2. 三、计算题1、；2、；3、；4、令, .四、五、同步训练4-4题解（基本题）一、 选择题1、C2、D二、 填空题1、；2、；3、.三、计算题1

9、 ；2、；3、解：令，则，；4、.同步训练第4章检测题题解（基本题）一、1、C；2、C；3、C；4、D.二、1、；2、.三、1、原式=2、令，原式3、原式=4、原式 5、由知原式6、令，原式= 7、令，则， 原式.四、五、故，代入，得，则.六、，同步训练5-1题解（基本题）一、填空题1、必要、充分；2、3、是介于轴，及围成的两块面积大小相同(符号相反)的两部分的代数和.二、选择题1、A；2、C；3、C.三、1、在上连续，即2、设，又由积分中值定理， 使，由罗尔定理， 使，即.同步训练5-2题解（基本题）一、填空题1、；2、；3、.二、选择题1、A；2、B.三、1、证：，令，由知单调下降，因此

10、从而.2、3、，当时，即在上单调增加，最小值，最大值4、原式同步训练5-3题解（基本题）一、填空题1、0；2、；3、1.二、选择题1、B；2、B.三、1、令，则，当2、3、4、方法一：方法二：令，则，同步训练5-4题解（基本题）一、填空题1、；2、.二、选择题1、A；2、B.三、1、原式方法二：原式2、原式3、4、令，原式，由P253例3，当时收敛，当时发散.同步训练第五章检测题题解（基本题）一、填空题1、0；2、；3、；4、.二、选择题1、A；2、D.三、1、由积分中值定理， 由罗尔定理有，使.2、，在处不连续，在处均连续.3、令，于是4、原式5、证明：，而故.同步训练6-1,2（一）面积

11、题解（基本题）一、填空题1、2、二、计算题1、解：面积 。2、解：面积3、解：面积4、解：由 得交点面积 同步训练6-1,2(二)体积题解（基本题）一、填空题1、；2、，.二、选择题1、B；2、A.三、计算题1、解：截面面积，立体体积.2、解：由，得交点，.3、解：由得交点(1,3),(3,1), .4、证明：取x为积分变量，变化区间为a,b,在其上任取小区间，对应的窄条图形绕y轴旋转所得旋转体近似于一圆柱壳，高为，厚为dx,底面圆周长为，体积元素为，则旋转体的体积，所求旋转体的体积.同步训练6-1,2(三)弧长题解（基本题）一、选择题1、A2、B二、计算题1、解：.2、解：.同步训练6-3题

12、解（基本题）oB(0,10)yxA(15,0)1、解：，作功微元(J).2、解：建立坐标系如图A、B两点坐标分别为(15,0)，(0,10)则过AB两点的直线方程为功元素，所求功A(0,0)oBC(6,4)y3、解：建立坐标系如图腰AC的方程为压力元素压力.同步训练第6章检测题题解（基本题）一填空题1、，2、3、.二 选择题1、C；2、D；3、B；4、B.三、解：。 .四、解：压力元素，其中表示水的密度，压力，将薄板倒放，压力元素，压力.五、解：由 得交点,面积.六、解：. 抛物线上点(0,-3)处的切线方程为，点(3,0)处的切线方程为，两切线的交点坐标为.面积七、解：设所求切线与相切于点，

13、切线方程为，它与直线和所围图形的面积为：令，得，所求切线为，所求点为.八、解：因抛物线过点(0,0)，故，它与直线所围图形的面积为， 又以上平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积为，令，得，此时.同步训练7-1.1题解（基本题）一、填空题1、(1)在面上；(2)在面上.2、(1)在第二卦限；(2)在第三卦限.3、二、1、当是非零向量，且时，则为两邻边的四边形是矩形，而矩形的两对角线相等，故必有，所以应选。2、以及为三条边的三角形的边长，必满足关系式；而当平行又方向相反且时，必有，故应选A。三、设所求点为，则有整理得解方程组得，故所求点四、证：由于，故有，所以三点在同一直线上同步训练7-1.2题解（基

14、本题）一、选择题1、D；2、B.二、填空题1、；2、.三、解：，.四、解：设点坐标为，则，由，有，得.五、解：,在轴上的投影为13，在轴上分向量为.同步训练7-2题解（基本题）一、选择题1、C；2、B.二、1、；2、三、设所求向量为，则有，解得，即所求单位向量为.四、解： ，五、解：的另一边为，为夹角），为与夹角），又为与夹角）.同步训练7-3题解（基本题）一、选择题1、A；2、C；3、C.二、填空题1、椭球面；2、椭圆抛物面；3、锥面.三、联立方程消去，解得为投影柱面，oxy11y2=xyz1-121故在面上投影为四、五、解：或，该曲面为双曲抛物面同步训练7-4题解（基本题）一、选择题1、C

15、2、A.二、1、；2、；3、.三、解：，消掉变量z，得，此曲线在xoy面上的投影曲线方程为四、解：由得在面投影为：，在面上投影为.五、解：，整理成截距式方程据题意应有，解得，故所求平面为.同步训练7-5题解（基本题）一、选择题1、B；2、A.二、填空题1、；2、1.三、与面夹角余弦为，与面夹角余弦为，与面夹角余弦为.四、解：取，所求平面为，整理有.五、解：法一：取，由点法式有，整理得.法二：设所求平面为，则有解得，代入方程有，即.六、解：设所求点为，由已知可得，所求点.同步训练7-6题解（基本题）一、选择题1、A；2、A.二、填空题1、；2、.三、解：直线的方向向量为，过作垂直于已知直线的平

16、面，与直线的交点为，所以所求距离为，又注意直线上点的坐标为，点到此直线的距离为的最小值，显然时使d达到最小值，从而.四、解法一：直线的方向向量，所求平面方程为.解法二：设所求平面法向量为，则，所求平面的法向量也可取为，所求平面方程为.五、解：作过已知直线的平面束方程，因所求平面与与垂直，故有，解得，代入平面束方程得所求平面六、解法一：设直线的方向向量为，则有得，于是所求直线对称式方程为解法二：先求直线的方向向量，所求直线的对称式方程为.同步训练第七章检测题题解（基本题）一、选择题1、A；2、B；3、A；4、C；5、B；6、C.二、填空题1、；2、； 3、；4、.三、解：由于轴方程为，故有，故解

17、出.四、解：联立方程消去得投影柱面方程，投影曲线方程为.五、解：设，由，有，即，解得，即为所求点.六、解：过作垂直于平面的直线，把L代入平面，M在平面的投影点为(7,0,1).七、解：过直线作平面束，即，此平面与平面的垂直交即为所求的投影直线方程，由垂直关系，得，代回平面束方程，得，所求的投影直线方程为.第八章多元函数微分法（基本题）同步训练8.1题解一、填空题1、；2、；3、；4、.二、选择题1、A；2、A；3、A；4、D.三、计算题1、；2、原式.四、令，不存在(1)当沿x轴趋于(0,0)时，(2)当沿直线趋于(0,0)时，同步训练8.2题解一、填空题1、1；2、；3、；4、.二、选择题1

18、D；2、A；3、A；4、B.三、计算题1、解：，.2、解：，.3、证：(1)令，随k变化该极限不存在，在不连续.(2).4、.同步训练8.3题解一、填空题1、；2、；3、；4、.二、选择题1、D；2、C；3、A；4、D.三、设，.提示：.同步训练8.4题解1、.2、.3、.4、.5、， .6、， .同步训练8.5题解一、填空题1、-1；2、；3、.二、选择题1、D2、C三、计算题1、令 2、 3、4、设方程，确定函数， 方程组两边对x求导，解得.同步训练题解8.6题解一、填空题1、；2、；3、.二、选择题1、C；2、B.三、计算下列各题1、 代入曲面方程得，切点，切平面法线方向，切平面方程，

19、2、解：，点， 所对应的参数，该点处的切向量， 切线方程为， 法平面方程.3、令，过曲面上任一点处的切平面方程为平面截距式所以截距之和同步训练8.7题解一、填空题1、；2、 .二、选择题1、B；2、， 方向导数，选A.三、1、解：在点处对应参数， 在该点切向量, .2、球面上点处外法线方向，方向余弦，方向导数.同步训练8.8题解一、填空题1、小-2；2、；二、选择题1、B；2、C.三、1、设长方体三棱长为，令，,，解方程组，解得，由题意体积存在最大值为边长为的正方体.2、点到直线距离设令得代入(3)，得，由题意距离存在最小值.3、解：设在该点处切平面方程为 ，即， 切平面与三轴截距为， 所围四

20、面体体积，求在条件下的最大值， 构造拉格朗日函数， 解方程组， 得，即在点处切平面与坐标面所围四面体体积最小， .同步训练第八章检测题题解一、填空题1、1）必要；2）必要；3）充分；4）充分；5）充分.2、；3、；4、.二、选择题1、D；2、B.三、1、1）. 2）.2、点(1,1,1)满足(*)，且由(*)确定，因此在上点(1,1,1)的某个邻域内具有连续一阶偏导，将代入，f是x,y的函数， 对(*)两边对x求导数， 3、解： ， ， .4、解：, .四、，切平面法向量，在点的切平面方程为，即，截距式 ，令，即，切点，切平面 ，由题意知体积有最小值.五、解：设，曲面在点处切平面法向量，曲面在

21、点处切平面法向量，当时，法向量，切平面方程，法线方程.同步训练9.1题解（基本题）一、填空题1、 2、 3、4、 5、二、1、A2、B3、C4、D同步训练9.21题解一、填空题1、；3、8.二、1、B2、B3、C三、1、原式.2、.3、证明：左边右边4、.同步训练9.22题解一、填空题1、；2、；3、；4、.二、1、B；2、B.三、计算题1、.2、 .对称性四、1、。2、.同步训练9.31题解一、填空题1、；2、；3、.二、1、原式；2、法1：原式； 法2：原式. 其中.同步训练9.32题解一、填空题1、；2、；3、 .二、选择题C.三、1、原式.2、, 得立体在xoy面上投影区域，应用柱面坐

22、标， .3、在xoy面上的投影区域为，所以 .（锥面的半顶角为）同步训练9.4题解一、填空题1、；2、.yOxx0 二、计算下列各题1、解：如图，所求重心为.2、解：建立坐标系如图：设半圆形半径为R，所求边长为a，由对称性可知，-ayxOa-RRR 由题意， 即 3、被截得曲面分xoy面上下两部分，这两部分关于xoy平面对称，又，.4、是关于xoz, yoz平面对称的立体，由题设， ， 由的对称性， ， .同步训练第九章检测题题解一、填空题1、负值2、二、计算题1、，所求曲面在xoy面上的投影区域， 又， .2、由积分中值定理， .3、.三、由题设，又时， ，设， .四、，即在xoy面上投影区

23、域，所以.五、设半球体为，拼上圆柱体后的立体为，由于关于xoz, yoz平面对称并且均匀，所以，要使，即.六、.同步训练10.1题解一、填空题1、 2、质心3、二、选择题1、B2、B3、D三、计算题1、2、3、同步训练10.2题解一、填空题1、2、3、二、选择题1、D2、A3、B三、计算题1、2、3、四、证明：设切线方向单位向量同步训练10.3题解一、填空题1、2、3、0二、选择题1、A2、A3、C三、计算题yOx12LL1、OyxCR2、设正向3、4、(1)所以在不包含坐标原点和y轴半负轴的平面上是一个函数的全微分（2）(3)四.证明同步训练10.4题解一、填空题1、2、3、二、选择题1、C

24、2、B3、A三、计算题1、=2、3、4、同步训练10.5题解一、填空题1、2、3、二、选择题1、A2、C3、B三、计算题1、2、同步训练10.6题解一、填空题1、2、03、二、选择题1、D2、C3、B三、计算题1、2、3、补平面：平面z=4上侧。同步训练第10章检测题题解一、填空题1、02、93、二、选择题1、D 2、C3、A 4、C三、计算题1、2、补线x由2变化到0。3、(1) (2) (3) 4、5、6补平面。同步训练11.1题解（基本题）一、填空题1、发散；2、发散；3、；4、发散.二、选择题1、B；2、B；3、B；4、B.三、1、解：原式=.2、解：当时，收敛当时， 发散 (由收敛得

25、).3、解：若级数收敛，则有，从而，故发散.4解： ，即.同步训练11.2题解(一)正项级数和交错级数一、填空题1、收敛、发散；2 、1/2，收敛；3、，发散.二、选择题1、B；2、A；3、C.三、判别级数敛散性1、解：当时，发散， 当时， 收敛，由比较判定法，也收敛.2、解：，计算， 收敛3、解：收敛，由比较判定法知收敛.4、， 收敛.四、不一定，反例：由莱布尼兹定理知，是收敛的，然而，是调和级数，它是发散的.(二)绝对收敛和条件收敛一、填空题1、收敛，发散；2、收敛，绝对收敛；3、发散.二、选择题1、A；2、D三、1、解：，而收敛，由比较判定法和绝对收敛.2、，而发散，而收敛，条件收敛.3

26、而发散，发散，而，条件收敛.4、令，若，则收敛，从而原级数绝对收敛， 若，故原级数发散，若，则发散. 另外，由于，且， 由莱布尼兹判别法知，条件收敛.同步训练11.3题解一、填空题1、；2、1；收敛；发散；3、；4、.二、选择题1、A；2、C.三、计算题1、.2、， 当时，发散，当时，发散， 又，和函数，收敛域为.3、4、当时， ，.同步训练11.4题解一、填空题1、；2、，；3、.二、选择题1、D；2、C；3、B.三、计算题1、即2、其中的收敛区间分别为，即和，于是的收敛区间为.3， ， .4同步训练11.5题解一、填空题1、；2、；3、.二、选择题1、B；2、C.三、解： 四、解：为偶

27、函数，且在上连续，当时，.同步训练11.6题解一、填空题1、；2、；3、1.二、选择题1、D；2、B.三、解：对进行偶延拓，得，再做的周期延拓，易见在内处处连续，且当，四、解：对作奇延拓，得，再将周期延拓，得，易见是的间断点级数在点处收敛：，.同步训练第11章检测题题解一、填空题1、一定收敛；2、；3；4、；5、；6、.二、选择题1、C；2、D；3、B；4、D；5、A；6、C；7、D；8、C；9、C.三、判断下列级数的敛散性1、，收敛2、收敛.四、1、绝对收敛.2、，不能判定， 发散.3、正项级数，知，故发散五、六、解：当时，收敛，时，发散，收敛域为，设，.七、解：八、解：计算傅立叶级数系数，

28、在点级数收敛.同步训练12.1题解（基本题）一、填空题1、二阶；2、；3、.二、选择题1、B；2、C；3、D.三、1、(1)是解，不是通解； (2)不是解，也不是通解；(3)是解，不是通解，不是独立常数.2、两边对x求一阶、二阶导数， 所求微分方程.同步训练12.2题解一、填空题1、；2、；3、.二、选择题1、B；2、C.三、计算题1、解：整理得，即， 两边积分，即， （c为任意常数）.2、解：令， 化入原方程得：，即， 两边积分，即. 通解为：.同步训练12.3题解一、填空题1、；2、.二、选择题1、C；2、B.三、计算题1、令，原方程化为，；2、令，原方程化为.同步训练12.4题解一、填空

29、题1、；2、；3、.二、选择题1、B,C；2、B.三、计算题1、， 又，得， 所求特解为：.2、，通解.3、，令方程化为，.4、得，.同步训练12.5题解一、填空题1、；2、.二、选择题1、A.三、(1).(2).同步训练12.6题解一、解答题1、令， .2、令， .3、令时，或，.4、令时，时.同步训练12.7题解一、填空题1、(1),(2),(5),(7),(8),(9),(10)；2、(1)的两个线性无关的特解，任意常数；3、.二、选择题1、D；2、D.同步训练12.8题解一、填空题1、；2、；3、.二、求下列微分方程的通解1、；2、；3、.三、求下列微分方程的特解1、；2、；3、.同步

30、训练12.9题解一、填空题1、(1)；(2)；(3)；2、(1)；(2)；(3).3、(1)；(2)；(3).二、求下列微分方程的通解1、；2、特征方程为：，得， 方程有的形式的特解， 方程有形式的特解， 原方程有形式的特解， 求出代入原方程整理得：， 解得：， 故通解为：.三、求下列微分方程的特解.同步训练第12章检测题题解一、填空题1、相互独立；2、；3、；4、.二、选择题1、A；2、B；3、B；4、A.(a)(b)(c)(d)(e)三、1、(1)a2、(1) (2)b (2) (3)c (3) (4)d (4)四、求下列微分方程的通解1、.2、解：， .3、.五、求下列微分方程特解.六、(1), ，积分与路无关，即，又，.(2).七、由题设知，解：微分方程， ，, , .第 一一四 页