高数第二章导数与微分知识点与习题.docx

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1、高数第二章导数与微分知识点总结第一节导数1 .基本概念lim f(x) /)定义X XodX注：可导必连续，连续不一定可导注：分段函数分 界点处的导数一定要用导数的定义求(2)左、右导数f (Xo)limX of (X。 X) f(X。)一 f(x) f(Xo) limx A X Xof (Xo)f(XoX) f(X。)n . f(x) f(Xo) limx AXof 存在 f (Xo) f (Xo).(3 )导数的几何应用曲线y f (X)在点(X0,f(X。)处的切线方程:f(Xo) fXo).，(Xo) (x法线方程:f(Xo) (X Xo). f，(Xo)2 .基本公式C 0(xa)a

2、x% (特例(e )，e )(4)(logX)xin(a o, a a1)(sinX)，cosx(6)(cosx)sinX(tan(7) x)2 sec X(cot(8) x)(9) (secx) secx tanx(10) (cscx)5 cscx cot X(4)隐函数求导(11)(arcsinx)? J(12)(arccosx)(13)(arctanx)(14)(arccot x)，1 x2(15In(X 7x2a2)l，3 .函数的求导法则(1)四则运算的求导法则(u v) u V(uv)V UV(u)VU V UV2复合函数求导法则一链式法则f (u),u(x),则 y f( (x)

3、的导数为：f(sin!求函数y e x的导数.反函数的求导法则0 ,二阶以上的f (x)的反函数为X g(y),两者均可导，且f (x)(5)对数求导法：适用于若干因子连乘及幕指函数4.高阶导数 导数为高阶导数常用的高阶求导公式：axlnn a (a 0)特别地，(es) (7) ex直接求导法和公式法设函数y f (x)由方程F(x,y) 0所确定，求y的方法有两种:Fy.(sin kx) ln)kn sin(kx n)(coskx)ln) kn cos (kx n) 24 4) ln(l X)(D (忙(xk)x 0f(0)Pm；1 limxsin；0,同理 f (0)0 ；故 f (0)

4、 0ox 0显然 f (X) 2xsin*xx 0点的连续性即可。但已知x2cos2xsin- cos1在x 0%连续，因此只需考查f (x)在x xx x1cos-在x 0点不连续，由连续函数的四则运算性质知伏)在乂 0点不连续。讨论习题：设 f (X) x x (x 3),求 f (X)。求和 Sn x 22x232x3n2xno设函数f (x)在1,1上有定义，且满足X f (x) X X,31 X 1,证明 (0)存在，且f (0) lo讨论习题参考答案：1、解:因为f(X)易知f (x)在开区间对于分段点x 0xx3)3,必(3，32(xX),0.,0300,3(3 )内都是可导的；

5、又),) ，3,有f (0)limx 0f(x) f(0)X 0limx 0X“3 X)0Xf (0)0,即 f (0)f(x) f(0)x“x 3)0X 0X2 (X 3) 0 x 3 mx2 (3 X) 0x 3所以除X 3之外f (x)在区间(3x-6x,f (x)0,26x 3x ,2、解：因为x2(1 X X2即f (3)不存在,3(3)内均可导，且有),0) (3,)x 0,(0, 3)12x3x2Sn22x2 3x(l22x32x312x23x3xx(l 2x3x2xxjDxn(1 x)21)1 /n HXnl (nx八n 1(n l)x nx,(x l)2nX (xnxninx

6、nx(2n23、证：由xf (x)即 f (O)0f(x) f(0)lijm 1n . f(x) f(0) f () limxOX 0思考题：若f(U)在U。不可导,n 1 )2nf g(x)在 Xo 处。(1)必可导，(2)必不可导,设g (x)连续，且f (x)思考题参考答案：解：正确选择是(3)i八1)(x)，1(nx 1,可知当八21)x 0时,一,(1 x 1, xx0)由两边夹定理可得X 10 f(0)g(x)在 Xo 可导，且 u。 g (Xo),(3)不一定可导。(x a) 2g (x),求 f (a) o例如：f。处不可导；若取u g(x)(u)X 0处不可导；B|J (1)不正确。又若取4u g(x) X在X 0处可导，则有fg(x)sinx 在 x 0 处可导，贝ij f g(x)x，在x 0处可导。即也不正确。解：因为g(x)可导，所以f(X)2(x a)g(x)2(x a) g (x)又因为g (x)不一定存在，故用定义求 f (a),sin x在a)/ (af (f(x)imn .11f(x)代n m-1第三组：潘柏华王涛罗宇生陈珂晔黄强s(y)nx)f (g(y)r nl