两圆公切线试题.doc

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1、例 如图，半径分别为3、1的O1与O2外切，一直线分别切它们于A、B，又交O1O2于C求：切线AB长；C的度数分析：首先想到切线性质，故连结O1A、O2B，得直角梯形AO1O2B一般要把它分解成一个直角三角形和一个矩形，再用其性质解：（1）连结O1A、O2B，作O2DBA交O1A于D则得RtO2DO1和矩形ADO2B AD=O2B=1，O1A=3O1D=3-1=2O1O2=3+1=4，AB= O2D=（2）由（1）知O1D=2，O1O2=4，C=DO2O1=30说明：（1）求外公切线长，应用切线性质、构造三角形；（2）添加辅助线的方法 例 如图，O1、O2的半径分别为4、5，O1O2=15，内

2、公切线AB交O1O2于C求：AB长；sinACO1的值解：（1）连结O1A、O2B，作O1DAB交O2B延长线于D，则得RtO1DO2，AO1DB是矩形，O1D=4，O2B=5，O2D=5+4=9 AB= O1D=（2）由（1）可知，sinACO1= sinO2O1D=说明：（1）求内公切线长；（2）构造三角形、矩形，应用勾股定理、三角函数；（3）此题还可以通过AO1CBO2C，求出O1A、O2B，在求得例 （福州市，2002）已知：半径不等的O1与O2相切于点P，直线AB、CD都经过切点P，并且AB分别交O1、O2于A、B两点，CD分别交O1、O2于C、D两点(点A、B、C、D、P互不重合)

3、连结AC和BD（1）请根据题意画出图形；（2）根据你所画的图形，写出一个与题设有关的正确结论，并证明这个结论(结论中不能出现题设以外的其他字母)MN解：（1）如图所示（2）第一个结论：ACBD证明：过P作两圆的公切线MN，MPA=C，NPB=DMPA=NPB，C=D，ACBD第二个结论：APCBPD证明：过P作两圆的公切线MN，MPA=C，NPB=DMPA=NPB，C=D，又APC=BPD，APCBPD第三个结论：O1、P、O2三点共线（或连心线O1O2必过切点P）证明：圆是轴对称图形，相切的两个圆也组成轴对称图形，连心线O1O2是两个圆的对称轴，O1、P、O2三点共线（或连心线O1O2必过

4、切点P）说明：此题题型新颖，属于开放性题目，它源于教材P145练习第2题；主要应用分类思想，作圆的公切线辅助线例 已知：如图，O1与O2内切于点P，过点P的直线交O1于点D，交O2于点E；DA与O2相切，切点为C （1）求证：PC平分APD； （2）若PE=3，PA=6，求PC的长证明：（1）过P作两圆的公切线PT，TPC=4，3=D4=D+5，2+3=D+5，2=5又DA与O2相切于点C，5=1，1=2，即PC平分APD（2）DA与O2相切于点C，PCA=4由（1）知1=2，PCAPEC，即PE=3，PA=6，说明：此题主要应用：切线的性质、弦切角、相似形以及作辅助线的方法；此题得出1=2，

5、在中考中是热点题目典型例题五例 已知半径分别为R和r（）的两圆外切，它们的两条外公切线互相垂直，则等于（ ）A B C D2解：连结（如图），则过点P且平分，过点作，则.，是等腰直角三角形.，故选C.说明：本题涉及的知识点较多，要认真审题，理清思路，解决问题.典型例题六例 如图，与内切于点A，并且的半径是的直径，为的半径交于点C，AD是公切线，则（ ）A50 B40 C25 D20解：是的直径，又，.又DA是两圆的公切线，和分别是、的弦切角，故选D.说明：利用学过的知识解决两圆位置关系问题是解决本题的关键，要学以致用，温故而知新.典型例题七例 两圆的一条外公切线与连心线成30的角，它们的圆心距

6、是10cm，则外公切线长为_.解：如图连结、，过点A作，则cm，在Rt中，（cm），故应填cm.说明：公切线、两圆的半径之差（或和）和圆心距构成直角三角形，是解决这部分题的关键.典型例题八例 已知：如图，设、外切于，外公切线分别切两圆于、交于，若半径为，半径为.求证：（1）（2）求的值。分析：（1）作、的内公切线交于，连、，则是，根据圆周角定理的推论可知是、三点所在的圆的直径，并且为圆心，为半径，又，与切于点，根据切割线定理有：（2）作，.，这样，求就转化为求的问题了，只要解即可。证明 （1）作、的内公切线交于，连、，是直角三角形是过、的圆的半径又是的切线，是切点（2）交于，连、，是外公切线，

7、且作交于，则易证是矩形由，根据勾股定理：典型例题九例 如图，已知与O外切，A，B的一条外公切线的切线点，AB与连心线的夹角，若，求两圆半径及外公切线的长.解 连结，并作于C，则四边形为矩形.在Rt中，设O与半径分别为，则有说明：本题考查外公切线长的求法，解题关键是作出辅助线，构造直角三角形，易错点是作不出辅助线.典型例题十例 （荆州市，2000） 以抛物线上的点（原点除外）为圆心且切于x轴的动圆C，如果C的圆是，把这个圆记为的圆心，把这个圆记为，试用表示圆和圆外切的条件；（2）在外切于的圆只有一个的情况下，求a的值.解 （1）是圆心为，半径为的圆，是圆心为，半径为的圆.与外切，. （2）将按b

8、降幂排列，整理，得 由题意，b仅有一个实数值，试确定a.这有两种可能：（）作为b的二次方程，其判别式为0.即 的圆心不在原点上，舍去.（）在中，说明：本题综合考查两圆的位置关系与直角坐标系的知识，解题关键是作出辅助线构造直角三角形，易错点是找不出第（2）题的解题思路或忽视对所得的关于b的一元二次方程的二次项系数的讨论.典型例题十一例 （四川省，2000） 已知：如图，和外切于A，BC是和的公切线，切点为B，C，连结BA并延长交于D，过D点作CB的平行线交于E，F.求证：（1）CD是的直径；（2）试判断线段BC、BE、BF的长度大小关系，并证明你的结论.证明 （1）过点A作和的内公切线交BC于点

9、G，连结AC.GB、GA分别切于B、A，.同理 .即为直角.CD是的直径.（2）结论是，连结AE.在和中，又，又.，即.，又，说明：本题主要考查外切两圆的一些性质，解题关键是作两圆的外公切线.易错点是探索不出第二题的结论.选择题1若两圆的半径分别为和，圆心距为，则两圆的外公切线长为（）ABCD2如果两圆的半径分别为、，外公切线长为，那么这两个圆（）A相交B外切C外离D外切或外离3下列说法正确的是（）A公切线上的两切点间的线段叫公切线的长B两圆的两条内公切线相等C两圆相离时，两条内公切线的交点必在连心线上D两圆外离时，公切线条数最多4下列说法正确的是（）A过外切两圆切点的直线是内公切线B过内切两

10、圆切点的直线是外公切线C两圆相交时有两条外公切线D两圆外切时有两条内公切线5两圆相交、外切、外离时，公切线的条数分别是（）A2，3，4B2，3，3C2，2，3D2，2，26两圆半径分别为8和5，如果这两圆共有三条公切线，那么圆心距d应为（ ）。A B C D7两圆半径分别为4cm和1cm，一条外公切线的长为4cm，则两圆的位置关系为（ ）。A相交 B外切 C外离 D相交或相切8如图，两圆轮叠靠在墙旁，已知两轮的半径分别为R和r（），则它们与墙切点A与B间的距离为（ ）A B C D参考答案：1B 2. C 3. D 4. C 5. A. 6C 7B 8D填空题1. 两圆的直径分别为3和4，这两

11、个圆的圆心距是5，这两个圆最多可以有 条公切线2. 两圆外离，半径分别为3和5，当一条内公切线与连心线所成的角为45时，内公切线的长为 ；圆心距为 3. 半径为16cm和10 cm的两圆外切，作这两圆的外公切线和内公切线，则夹在两条外公切线间的内公切线的长为 4. 两圆的圆心距为13cm，两圆的半径分别为7cm和2cm，那么这两圆的一条外公切线的长为 5. 已知：O1和O2外切，外公切线与连心线的夹角为，且半径分别为，则= 度6. 两圆的直径分别为和，它们的外公切线长为，则这两圆的位置关系是_7. 半径分别为和的两圆相外切，一条外公切线的长为，则两条外公切线的夹角为_8. 与外切，且的半径，的

12、半径，过、的直线与一条外公切线的交角为，则9. 如果两圆外公切线交成角，它们的圆心距为，则它们的外公切线长为_10. 两圆的半径分别为，圆心距为，则两圆的公切线与连心线交点分别与两圆圆心的距离是_11已知两圆外离，圆心距为5，大圆半径为2.5，小圆半径为1.5，则外公切线长为_，内公切线长为_。12两圆相离，这两圆最多时可作_条公切线。13两圆半径分别为4和5，圆心距为5，则这两圆的公切线有_。14为了测量一个圆形工件的直径，用直径为100mm的两根钢棒嵌在圆形工件的两侧（如图），测得两钢棒我侧距离为900mm，那么这个工件的直径是_mm.参考答案:1. 4 2. 8 、 3. 4. 12cm

13、 5. 60 6. 外切7. 8. 9.10.与.11，3 124 132 141600.解答题1已知两圆外切，其半径分别为，求两圆外公切线长及外公切线与连心线夹角。2两圆的内公切线长为，两圆半径长分别为，求两圆的圆心距。3已知两圆外切，它们的两条外公切线互相垂直，其中大圆的半径为，求外公切线的长。4. 已知：O1和O2外切于P点，AB是外公切线，切O1于A，切O2于B，AP交O2于C点，CD切O1于点D求证：CD=BC5. 如图，两圆内切于点C，O1的弦AB切O2于点E，CE的延长线交O1于点D求证：AECD=BD AC 6如图，与内切于点，的弦交于、两点。求证：7如图，已知：两圆内切于点，

14、大圆的弦切小圆于，的延长线交大圆于。求证：8已知：如图，两圆内切于点P，大圆的弦AB切小圆于点C，PC的延长线交大圆于点D。求证：（1）；（2）9如图，和外切于D，AB是和的一条外公切线，为切点，cm，两外公切线的夹角为60，求两圆的半径。10如图，在正方形中，以A点为圆心，AB为半径画弧，该弧与以CD为直径的O相交于点的延长线交O于点的延长线交BC于点F。（1）求证：；（2）若正方形的边长为2cm，求BE的长度；（3）求证：11已知与外切于点O，其半径之比为1：3，以直线为x轴，点O为坐标原点建立直角坐标系，直线AB切于B，切于A，交y轴于点C（0，2），交x轴于点M，连结。（1）求证：；（

15、2）求的半径的长；（3）求直线AB的解析式；（4）在直线AB上是否在点P，使与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。12如图，已知，是它的外接圆，与内切于A点的交AB于F，交AC于于于是的高，交GF于M，且。（1）求证：四边形是矩形；（2）设，写出矩形的面积y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；（3）当矩形的面积是面积的一半时，两圆的半径有什么关系，并证明你的结论。13如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点，大圆的圆心D是该抛物线的顶点，小圆的圆心B是该抛物线与x轴正半轴的交点，大圆与x轴相切于E，小圆与y轴相切于O，两圆外切，且大圆半径是小圆半径的4倍。（1）求的

16、值；（2）当的面积为时，求抛物线的函数表达式。14如图，与外切于O，以直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，在x轴上方的两圆的外公切线AB与相切于点A，与相切于点B，直线AB交y轴于点C，若。（1）求经过三点的抛物线解析式；（2）设直线与（1）中的抛行物线交于两点，若线段MN被y轴平分，求k值；（3）在（2）的条件下，点D在y轴负半轴上，当点D的坐标为何值时，四边形是矩形。15以AB为直径的C交x轴于A，交y轴于B，满足，以OC为直径作D，设D的半径为2。（1）求C的圆心坐标；（2）过C作D的切线EF交x轴于E，交y轴于F，求直线EF的解析式；（3）抛物线的对称轴过C点，顶点在C上，与y

17、轴交点为B，求抛物线的解析式。答案与提示：1，23 4. 提示：连PB，有BC2 = CPCA，又CD为O1的切线切，所以CD2 = CPCA，CD=BC（此题方法很多略）5. 证明：过点C作O1与O2的公切线MN，连结EF则 EFC=ECN=DBC又AB为O2切线EFC=AECAEC=DBCD=AAE CD= ACBD6过作两圆的公切线7过作两圆的公切线，则证，.8（1）过P作外公切线；（2）连AD。证910（1）；（2）；（3）证11（1）易证；（2）连，过作于N。半径为，半径为；（3）；（4）存在点或，满足12（1）过A作两圆公切线PQ，证；（2）；（3）13（1）；（2）14（1）连结。；（2）；（3）（提示：过M作NF的垂线，交NF的延长线于G15（1）；（2）；（3），或.