最优化方法复习题.doc

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1、最优化方法复习题一、 简述题1、怎样判断一个函数是否为凸函数.（例如: 判断函数是否为凸函数）2、写出几种迭代的收敛条件.3、熟练掌握利用单纯形表求解线性规划问题的方法（包括大M法及二阶段法）. 见书本61页(利用单纯形表求解);69页例题 (利用大M法求解、二阶段法求解); 4、简述牛顿法和拟牛顿法的优缺点.简述共轭梯度法的基本思想.写出Goldstein、Wolfe非精确一维线性搜索的公式。5、叙述常用优化算法的迭代公式（1）0.618法的迭代公式：（2）Fibonacci法的迭代公式：（3）Newton一维搜索法的迭代公式： （4）推导最速下降法用于问题的迭代公式：（5）Newton法的

2、迭代公式：（6）共轭方向法用于问题的迭代公式：二、计算题双折线法练习题 课本135页 例3.9.1FR共轭梯度法例题：课本150页 例4.3.5二次规划有效集：课本213页例6.3.2, 所有留过的课后习题.三、练习题： 1、设是对称矩阵，求在任意点处的梯度和Hesse矩阵解 2、设，其中二阶可导，试求解 3、证明：凸规划的任意局部最优解必是全局最优解证明 用反证法设为凸规划问题的局部最优解，即存在的某个邻域，使若不是全局最优解，则存在，使由于为上的凸函数，因此，有当充分接近1时，可使，于是，矛盾从而是全局最优解4、已知线性规划：（1）用单纯形法求解该线性规划问题；（2）写出线性规划的对偶问题

3、解 （1）引进变量，将给定的线性规划问题化为标准形式：所给问题的最优解为，最优值为（2）所给问题的对偶问题为： 5、用0.618法求解 ，要求缩短后的区间长度不超过0.2，初始区间取解 第一次迭代：取确定最初试探点分别为，求目标函数值：，比较目标函数值：比较第二次迭代：第三次迭代：第四次迭代：第五次迭代：第六次迭代：第七次迭代：第八次迭代：第九次迭代：故6、用最速下降法求解 ,取,迭代两次解，将写成的形式，则第一次迭代：第二次迭代：7、用FR共轭梯度法求解 ，取，迭代两次若给定判定是否还需进行迭代计算解 ，再写成，第一次迭代：，令，从出发，沿进行一维搜索，即求的最优解，得第一次迭代：，从出发

4、沿进行一维搜索，即求的最优解，得此时得问题的最优解为，无需再进行迭代计算8、求解问题 （方法不限定）取初始点.9、采用精确搜索的BFGS算法求解下面的无约束问题：解：取 第一步迭代：，令，求得；第二步迭代：，令，求得。故，由于，故为最优解。10、用有效集法求解下面的二次规划问题：解：取初始可行点求解等式约束子问题 得解和相应的Lagrange乘子 转入第二次迭代。求解等式约束子问题 得解 令 转入第三次迭代。求解等式约束子问题 得解和相应的Lagrange乘子 由于，故得所求二次规划问题的最优解为 ，相应的Lagrange乘子为 最速下降法的优缺点：优点：方法简单，计算量较小；最速下降法为全

5、局收敛，对初始点的要求很少。缺点：最速下降法的收敛速度与变量的尺度关系很大，对有些例子，在极小点附近产生显著的锯齿现象，收敛十分缓慢；最速下降法的最速下降仅是一种局部性质，即从局部来看目标函数的值下降得最快，但从总体来看它可能走了许多弯路。牛顿法的优缺点：优点：牛顿法的收敛速度快，为二阶收敛；公式简单，计算方便。缺点：牛顿法要求f(x)二阶可微，迭代中需多次计算；牛顿法具有局部收敛性，对初始点的要求比较苛刻。共轭梯度法的优缺点：优点：计算公式简单，存储量较小，对初始点要求很少，对二次函数具有二次终止性；收敛速度介于最速下降法和牛顿法之间，对高维（n 较大）的非线性函数具有较高的效率。对于二次函数具有二次终止性，一般情况下优于共轭梯度法。缺点：共轭梯度法的收敛性依赖于精确的一维搜索，计算量较大；共轭梯度法的一些理论背景至今尚不清楚，如周期性的重新开始，初始搜索放心的选取，一维搜索的精确性等，对共轭梯度法执行的影响仍有待进一步研究。拟牛顿法的优缺点：优点：拟牛顿法具有较快的收敛速度（是超线性的）；对于二次函数具有二次终止性，一般情况下优于共轭梯度法。缺点：拟牛顿法需要的存储量较大，对大型计算不便；DFP法远不如BFGS法数值稳定性好，BFGS法具有较强的数值计算稳定性。