江苏专转本高等数学定积分例题加习题.doc

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1、第四章 定积分第四章 定积分本章主要知识点l 定积分计算l 特殊类函数的定积分计算l 变限积分l 定积分有关的证明题l 广义积分敛散性l 定积分应用（1）面积（2）旋转体体积一、定积分计算定积分计算主要依据牛顿莱伯尼兹公式：设，则。其主要计算方法与不定积分的计算方法是类似的，也有三个主要方法，但需要指出的是对于第类直接交换法，注意积分限的变化：。例4.1解：原式=例4.2解：原式=例4.3 解：原式=二、特殊类函数的定积分计算1含绝对值函数利用函数的可拆分性质，插入使绝对值为0的点，去掉绝对值，直接积分即可。例4.4解：原式=例4.5解：原式= = =102分段函数积分例4.6，求解：原式=例

2、4.7，求解：原式 3奇函数积分 如果 为定义在的奇函数，则，这是一个很重要考点。例4.8例4.9解：原式例4.10解：原式例4.11为-a,a上的连续函数，计算解：为奇函数，原式04关于三角函数积分 对积分成立：；这个结论应牢记，对于某些三角函数积分可以做到快捷。例4.12解：原式例4.13解：原式.5一些特殊的含有特定技巧的积分例4.14.解：令，原式I，则I。例4.15解：令 原式I ，解得I。例4.16解：令，原式I，I三、变限积分变上限积分是函数的另一种重要形式。求导公式（其中）是一个非常重要的公式，它提供了利用导数来研究它的工具更一般的结论是：例4.17解：原式例4.18解：原式例

3、4.19已知，研究的单调性，凹凸性解：由得拐点拐点拐点例4.20若，其中是已知一阶可导函数，求，解： ，例4.21. 已知函数连续。且。设，求，并讨论的连续性。解：当时，； 当时，由，故，当，, ,所以，点点连续。四、有关定积分的证明题有关定积分的证明题，主要的方法有：（1）线性交换，如 （2）变上限求导公式 （3）恒等变形 。例4.22如果为上的奇函数，证明。证明： 例4.23证明： ，其中为已知可积函数。证明：左边例4.24已知是以为周期的连续函数，那么对任何实数成立证明：由于所以例4.25证明：，为任一非零可积函数。证明：，所以。例4.26证明：证明：当时，成立，所以，所以，成立例4.2

4、7证明：证明：两边同时取，所以原命题成立。五、广义积分的敛散性定义：存在有限基本结论： （其中）复习时应着重掌握通过直接计算来研究广义积分的敛散性。例4.28研究的敛散性解： 所以，是收敛的。例4.29求解：左边， 。例4.30当为何值时，广义积分收敛？当为何值时，这个广义积分发散？又当为何值时，广义积分取得最小值？解：当时，有当，发散，即，当时，广义积分收敛；时，广义积分发散。设，则 令，得驻点：。但当时，；当时，；从而，当时，广义积分取极小值，也就是最小值。注：类似可研究无界函数积分，即瑕积分。假设为的瑕点，存在有限。例5.26解：原式，所以原式发散。例4.27解：原式 六、定积分应用1面

5、积图示4.1如图所示。求面积首要问题是画出草图，图形的上下位置，交点一定要做得准确。通常曲线，例直线、抛物线、双曲线、指数、对数、的图像要画得熟练、准确。例4.28与直线所围图形面积。解：由，解得。图示4.2e例4.29轴所围图形面积。解：图示4.3例4.30所围图形面积。解：y图示4.4=例4.31求由过抛物线y=上点的切线与抛物线本身及轴所围图形的面积。解：切线的方程：，图示4.5=。例4.32过作抛物线两切线，求两切线与抛物线本身所围图形的面积.。解；设切点为，切线方程为， 又切点位于其上，切线方程为； 图示4.62旋转体体积绕轴旋转所得图形的体积（图4.7）图示4.7绕轴旋转所得图形的

6、体积（图4.7）绕轴旋转所得图形的体积（图4.8）绕轴旋转所得图形的体积（图4.8）图示4.8例4.33与所围部分， （1）绕轴旋转所得图形的体积； （2）绕轴旋转所得图形的体积。解：图示4.9例4.34抛物线（1） 抛物线上哪一点处切线平行于轴？写出切线方程？（2） 求由抛物线与其水平切线及轴所围平面图形的面积。（3） 求该平面图绕轴旋转所成的旋转体的体积。解：（1），得切点为，切线方程为（2）4（3）图示4.10例4.35计算由和轴所围成的平面图形绕轴，轴分别旋转而得到的旋转体的体积。解：（1）（2）3应用综合例4.36由直线及抛物线围成一个曲边三角形，在曲边上求一点，使曲线在该点处的切线

7、与直线的围成的三角形面积最大。解：如图，设所求切点为P（）切线PT交轴于A,交直线于，切线PT的方程为又P点在上，因此，令得，A点坐标为A(,令得，B点的坐标为（8，16），于是三角形ABC的面积为令,得：,因为，所以 为最小值，故为所有三角形中面积之最小值。图示4.11 单元练习41设，则。2。3。4。5。6设为区间上的连续函数，则曲线与直线所围成的封闭的图形的面积为（）（A） (B) (C) (D)不能确定7下列命题正确的有（ ）（A） （B） (C) (D)8（）(A) (B) (C) (D).9下列关系中正确的有（）(A) (B) (C) (D) 以上都不正确10在满足条件（ ）时收敛

8、A） (B) (C) (D)11求下列极限 12计算（1） （2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10） ，求 （11），表示对取整（12）（13）（14） （15）（16） （17）（18） （19）（20）（为常数） （21）（22）（23），求（24）13设其中为连续函数，试讨论函数在处的连续性与可导性。14求的极值与拐点。15设是连续的偶函数，且。设，（1）证明是单调递增函数。（2）当为何值时,取最小值。16求在上的最大值。17已知抛物线,求（1）抛物线在点处的法线方程。（2）抛物线的部分及其在处的法线和轴所围成图形绕轴旋转所成旋转体的体积。18将抛物线的横坐标与之间弧段

9、与直线 (为点,垂直于横轴，在抛物线上)及轴所围成图形绕轴旋转，问为何值时，旋转体体积等于以三角形绕轴旋转所成的锥体的面积。19求，所围面积。20所围图形面积。21设有曲线过原点作其切线，求由此曲线、切线及轴围成的平面图形绕轴旋转一周所得到的旋转体的体积。22若的力能使弹簧伸长，现要使弹簧伸长,问需要多大的功？23设一半球形水池直径为，水面离开地面深，现将水池内的水抽尽，至少要作多少功？历年真考题1.（2001） 定积分（ ）A. 0 B. 2 C. 1 D. 12. （2001）设为连续函数，则 。3. （2001）,求常数。4. （2001）计算5. （2001）过作抛物线的切线，求（1）

10、切线方程；（2）由抛物线、切线、以及轴所围平面图形的面积；（3）该平面分别绕轴、轴旋转一周的体积。6. （2002），则的范围是（ ）A. B. C. D. 7. （2002） 若广义积分收敛，则应满足（ ）A. B. C. D. 8. （2002） 。9.（2002）设，求。10.（2002）求极限11.（2002）从原点作抛物线的两条切线，由这两条切线与抛物线所围成的图形记为S。求（1）S的面积；（2）图形S绕轴旋转一周所得的立体体积。12（2003） 。13.（2003） 14.（2003）抛物线（1）抛物线上哪一点处切线平行于轴？写出切线方程。（2）求抛物线与水平切线及轴所围平面图形的

11、面积。（3）求该平面图形绕轴旋转所成的旋转体的体积。15.（2004）设圆周所围成的面积为S,则的值为（） A. S B. C. D. 2S16.（2004）求极限17.（2004）计算广义积分18.（2004）证明：，并利用此等式求19.（2005）20.（2005）计算21.（2005）已知曲边三角形由抛物线及直线所围成，求 （1）曲边三角形的面积； （2）该曲边三角形绕x轴旋转一周，所形成的旋转体体积。本章测试题1 ，则。2. 。3下列广义积分收敛的是（ ） A B C D4收敛，则有（ ） A B C D5。 则（ ） A-2 B-1 C 1 D 26. ，且是不等于的常数，求证：。7

12、 ，求8. 9. 10. 求在上的最大值和最小值。11. 12. 设，求13. ，求14. 设曲线（1）求过曲线上点的切线方程，（2）求此切线与曲线及直线所围成的平面图形面积。15. 曲线与直线围成一个平面图形（1）求此图形绕轴所成的旋转体的体积。（2）求此图形绕轴所成的旋转体的体积。16. 求曲线和它的右极值点处的切线所围区域面积17. 设在上连续，且。证明：在内只有一个零点。18. 证明： 19. 设连续函数在上单调增加，又，试证：在内非负。20在曲线上点处作切线,（1）求由曲线切线、曲线本身及轴所围的面积。（2）求上述所围图形绕轴旋转所得体积。21. ，讨论在处连续性和可导性。22 设

13、在上可导，且,证明在内至少存在一个，使。单元练习题4答案1、 2、03、4、15、6、B7、C8、D 9、B10、C11、解：(1)原式=(2)=1（3）=（4）12、解：（1）原式（2）原式=（3）原式= =（4）原式=记， =所以，所以，原式=（5）原式（6）原式= =（7）原式（8）原式（9）原式（10）原式（11）原式（12）原式（13）原式（14）原式令原式（15）原式（16）原式 （17）原式 （18）原式（19）原式（20）当时，原式 当时，原式当时，原式=。(21) 原式(22) 原式 (23) 原式=(24) 原式=13、解：在处可导，且。14、解：由，得：极小值拐点拐点极小

14、值15、解 （1） 故单调递减函数（2），由偶函数性质知，又由的严格单调性知，为唯一解，知其为最小值，16、解：，所以在上的最大值为=17、解：（1）法线方程为，即（）图示4.1218解：图示4.13得到：19解：图示4.14=20解：=图示4.1521解：设切点为，切线斜率，切线方程为：，2切点在切线上，故，切线方程为： 图示4.16 =22解：弹簧伸长,需力大小为， W=焦耳 图示4.1723建立如图坐标系 (焦耳)本章测试答案1. 2. ,34.5.6设，则=，两边在上作定积分得到A=，7 8原式=9原式= =10，当时， 11原式= =12原式=13令，则原式=，即，即14解：（1），切线方程为（2），故 15解：图示4.18（1）(2)16，右极值点为，右极值点切线为轴，当时，解得：图示4.19，得到，于是17，又在上连续且，则，又因为在闭区间上连续，故由闭区间上连续函数的介值定理知，在使得，即在上有零点，又，即是严格单调递增函数，故在内只有一个零点。18左右19证明：因为在内单调增加，故所以，故，证毕。20(1) ， 或 (2) 21 ，即在处连续。 处可导且22证明：令则在0,1上可导，又，即，故在区间上，满足罗氏定理条件故存在，使得即。- 141 -