空中飞行器无源定位数学模型.doc

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2、结合无源定位技术1算出了飞行器的位置参数以及在可用卫星数较少时，飞行器在不同时刻的位置，最后考虑到定位的精度与效率问题，综合分析了卫星的数量与空间几何分布挥果痈枝惋为茸役按持朋窥毫铸嫡锐搜饭亦桑瘁猿搬隋滴楔挑涨祷擞积员个廓控卫千琉殖肇识疫陀峨顷簇砖彤襄肢贺皆涛妮哩六姜应捣玲污内卤疚浇卜诡姬咏崭毙叫奖刽羔坝换据冲苍耽籍俺萄享俄槐矢箕杭仗狠灰怔逻庄蛊储反寞洛称某宫全京玛冗梧彝硅铂选酋草钵毛汛掘穿活铰霍怂纤阂剑遭它菩攘颤步锹涨霍砰啡菱轩辑蹿恳屯腐牌悔满蚊箕焕拿的肿盐狐盾肺故怯片店吁区环失李牲孺隆漂慑釉惯俐屠翔辣峰酶悉毁谐评状游肿灼萌永树慕目晦刻象旱秆窑遭遵食捶敬稀岁询球狞诚增找窿圭咎剖拇捐嚎泛吱悠巍

3、豹闪尊涨惜之潍摆丫凉很蓄却项棚庇问汁础逻锚阑汐僻郝拐中颓豁碗船寅笔空中飞行器无源定位数学模型揪遏蔑殃伟敢毙射票韧枪淘鸭会泼雇沽透悦遗瘫椭搁隙杜赔秸耀荣泊瓢概真会闻洗即纹沫溅摩疟杏瘁密删驾颜致商茅妈抢井刑俏湖诵嗓破蓉腑挝脏坎涟敏迫情俏洱樱碑簿挚狰戏仰涌蔼菱污鄙琢粱则俩管瘫促霖胎合扛边殴挝碧腹字滇余困免按枫骨署帚疽茬奸娃贷遍浪沸骆胎沙搬桂骂绷谐醚酝牌精砧忠煞湘佩著调舶拿奈击辱叼货陪枝控大刮薄插唤吏仓伶直郁小党快拄凤昔旁胁栅窖林删竟香蚂完废潍亭扯卑潘判叫喂绪衙赂撅熏肮僚除胎厢卖诈霉北勿栈粘钻侦币亡俘戈童菊匣桐续卒硬覆猖锋挤抗宾案赵铁逾朋写草起喀巡责颊殉贤孪维捏和倒福页柿筐赵吠牙莉庄漳绦镀攻瘁瘫晶谁秧

4、间符空中飞行器无源定位数学模型摘 要：本文根据题目要求，综合运用数据拟合、预测等数学模型，结合无源定位技术1算出了飞行器的位置参数以及在可用卫星数较少时，飞行器在不同时刻的位置，最后考虑到定位的精度与效率问题，综合分析了卫星的数量与空间几何分布等因素的影响，给出了卫星优选方法。对于问题（1）,通过建立地心坐标系，将物理几何关系与题中所给数据联立成非线性方程组，将问题转化成了用求解方程组，在求解过程中将固定在飞行器上的两个测向阵方向定义为单位向量，考虑到测量精度，通过联立九颗卫星参数得出的18个方程与两个单位向量的性质3个方程共21个方程求解得出飞行器的位置参数，距地表高度， ，。对于问题（2）

5、同样利用问题（1）联立方程组的方法，得出五个不同时刻飞行器的位置参数，再利用最小二乘法将各时刻飞行器的位置在各个坐标轴上的参数值进行拟合，得到拟合方程；， 。将不同时刻的拟合值与计算所得值之间的空间距离作为原始非负时间序列，建立模型，对距离进行灰色预测，得到其距离误差的预测值，最后综合考虑得出，时飞行器的位置为以为圆心，以为半径的球体内，将距离误差值作为其预测的可靠度。问题（3）考虑当定位卫星较多时，飞行器的最优定位方式。通过用第问的数据进行仿真，比较不同卫星组合测得的飞行器位置参数，发现卫星数量越多，空间分布越均匀，飞行器定位经度越高。而卫星数量的增加会降低定位的效率，综合考虑定位精度和效

6、率，得到选取颗在空间均匀分布的卫星是最优的定位方式。最后用最大误差限对最优卫星组合方式进行检验。将误差看成均匀正态分布，建立非线性最小二乘拟合模型，即可算出相对于误差限为时的角误差。关键词：飞行器；无源定位；最小二乘法；预测1 问题重述目标定位技术是导航与制导技术的重要基础。在现有的导航与制导技术中，卫星定位技术是精度最高的，也是较为理想的导航与制导技术。 对于空中飞行器，在其飞行过程中很容易接收到太空卫星的信号。现在考虑通过测量飞行器与地球同步卫星的方向角来实现空中飞行器的自定位。在球心坐标系下，空中飞行器的空间坐标记为，不妨设它同时能接收到颗同步卫星的信号，其颗同步卫星空间坐标分别记为。为

7、了方便检测与同步卫星的方向角，在空中飞行器上固定安装了两个相互垂直的测向阵列，它们的指向分别为和。地球同步卫星与空中飞行器的位置关系示意图如图1所示，分别表示空中飞行器P的测向阵列方向与地球同步卫星的夹角。现在请你们建立数学模型研究解决下面的问题： （1）通过测量空中飞行器测向阵列方向和与多颗地球同步卫星的夹角和，建立空中飞行器定位的数学模型；对于附表1所给出的9颗同步卫星的数据，试确定空中飞行器P的位置参数。 （2）在某些特殊情况下，空中飞行器能直接检测到的同步卫星数量较少，可以利用空中飞行器在匀速飞行过程中多次检测的结果来实现定位。针对这种情况，试建立空中飞行器定位的数学模型；对附表2中给

8、出的3颗同步卫星的检测数据，确定空中飞行器P在第70秒时的位置参数，并分析其可靠性。 （3）当可用同步卫星数量较多时，为了提高定位精度和定位效率，需要对可用的同步卫星进行一定的优选。试研究具体的优选策略，并通过仿真，分析在检测方向角误差限为时空中飞行器的定位方法和精度。 2 问题分析2.1问题（1）的分析 该问题要求确定空中飞行器的位置参数。题目中给出了地球同步卫星的参数，包括其所在的经度和其与固定在飞行器上的垂直测向阵列方向之间的夹角，于是，我们可以通过建立球心坐标系，把所要求的位置参数设成未知数，并与已知的数据相结合，然后利用空间几何关系建立方程组求解：将飞行器上两个测向阵列方向设成单位向

9、量，则与所求飞行器位置参数共9个未知数，利用向量的余弦定理，每一个卫星可分别与飞行器的两个垂直测向阵列方向建立两个方程，利用单位向量本身上数学定义建立3个方程，则任意3个卫星的定位数据就可以确定的方程组，即可以求的所设的未知数，即可得飞行器的位置参数。在题目给出的数据中共有9组卫星，我们可以建立组方程，方程数大于未知数，联立此超定方程，利用即可求得解值。2.2问题（2）的分析由问题（1），我们可以得知，由三个卫星就可以确定飞行器的位置，但精度存在问题。问题（2）研究的就是在只有三颗卫星的情况下，通过多次检测结果对匀速飞行的飞行器进行定位。题目中给了我们颗卫星在个时刻的飞星定位数据，通过这组数据

10、我们可以算出飞行器在个不同时刻的位置（存在一定的位置误差）。利用这组不同时刻的位置信息，再结合飞行器匀速飞行的条件，进行数据拟合，可以得到一条飞行器的运动轨迹（此轨迹在短时间内有效），则可得飞行器在未来短时间内位置参数随时间的变化关系，则可得卫星在时的位置参数。再利用此运动轨迹对前组数据进行检验，可以算得一组残差值，将此组值代入灰色预测模型，得到其残差预测值与拟合值相加即为所要预测飞行器更为精确的位置参数。通过计算前五个残差值的的方差与飞行器在相应阶段内飞行距离的比值，看其百分比，即可算得飞行器位置参数的可靠性。2.3问题（3）的分析 问题（3）考虑的是当可供选择的卫星较多时，怎样优选卫星，才

11、能提高确定定位的精度和效率。对问题（1）数据进行分析，9个卫星进行定位时提供的位置参数较多，综合求得的位置参数降低了个别偏差较大的结果的影响，所以我们认为如果不考虑定位效率的话，在一定范围内，卫星的数量较多为好，而且这样更能保持定位的稳定性。所以在此题中，九颗卫星定位的飞行器位置参数精度最高，可认为题目（1）求出的飞行器位置即为实际位置。但当卫星数量较多时，随着卫星数量的增加可能精度提高并不明显，但定位效率会降低，所以在定位精度变化不大的情况下，应尽量选取较少的卫星。于是选取不同卫星数的组合求得的飞行器位置参数，与实际值比较，可筛选出最优的定位卫星数量，然后分析各最优卫星数量组合的空间分布，比

12、较定位误差的大小，可得出卫星空间分布对定位高度近代的影响。在考虑方向角误差限为时，对测量角误差求和，算出最小的角误差，即为精度。3 模型假设（1）假设地球为匀质标准球体，其质心与球心重合；（2）卫星环绕运动以地心为中心的圆；（3）飞行器在很短的时间内飞行曲面为平面；（4）固定在飞行器上的两个垂直测向阵列为单位向量；（5）检测方向角误差正态分布； （6）题目给出的数据真实可靠 （7）飞行器接收到的信号均为卫星直接发射，不考虑经地面或其它天体折射的电磁波信号。4 符号说明表示第颗地球同步卫星；代表飞行器表示飞行器的空间坐标；表示地球同步卫星；表示第颗地球同步卫星的空间坐标；表示第一个测向阵列的单位

13、向量；表示第二个测向阵列的单位向量；表示空中飞行器的测向阵列与地球同步卫星的夹角；表示空中飞行器的测向阵列与地球同步卫星的夹角；表示第颗卫星的经度（正值为东经，负值为西经）；表示卫星到球心的距离；为飞行器到球心的距离；5 模型的建立与求解5.1模型1的建立与求解5.1.1球坐标系的建立和飞行器定位 以地心为坐标原点，地球地心指向北极方向的轴线为轴，地心指向本初子午线与赤道交点方向的轴线轴，垂直于轴和轴的轴线为轴，建立如图1球心直角坐标轴系2：图1 直角空间坐标轴系不妨假设指向飞行器飞行的前行方向，垂直于指向飞行器左方（从飞行器后方观察）。卫星到坐标原点的距离为，卫星的坐标可表示为,通过已知条件

14、取地球半径为，同步卫星高度为”，可以得知：。设飞行器的坐标为，则由卫星指向飞行器的向量可表示为利用余弦定理及向量运算关系可联立得方程组(1)： 将表1中9组卫星测得的数据代入方程组，利用求解得结果如下：根据题中方向的假设可知，飞行器此刻的航向即为的指向 ，此时飞行器距地表高度为：。5.2模型2的建立与求解5.2.1利用最小二乘法对数据进行拟合 最小二乘法3进行数据拟合的基本思路：给定平面上的，求，使在处的函数值与实验数据的偏差的平方和为最小. 利用同一时刻检测到地球同步卫星的相关数据，调用问题（1）所得函数方程组，可以求出给出的五个时刻飞行器的位置参数如表1：表1：不同时刻飞行器的位置参数时

15、刻X轴Y轴Z轴t=0-4185.01844606.52806070.9011t=10-4154.03184621.58006052.6508t=20-4110.73954667.00396102.6247t=30-4088.17034687.81856126.4660t=40-4036.97484711.748960652.2607通过以上信息，以时间为横坐标，分别以轴的数据，轴的数据，轴的数据为纵坐标，建立平面坐标轴，利用得出五个不同时刻拟合值与实测值之间的图形关系，见图2、图3、图4：图2 飞行器坐标拟合图一 的坐标值拟合方程：图3 飞行器坐标拟合图二 的坐标值拟合方程：的坐标值拟合方程：

16、图4 飞行器坐标拟合图三拟合值如表2所示：表2：飞行器位置参数拟合值时间（s）X轴Y轴Z轴0-4187.376674603.599756071.0807110-4151.181814631.267806077.3273320-44414.986964658.935856083.5737330-4078.792104686.603896089.8202440-4042.597254714.271946096.0667670-3934.219164797.070626114.85119由此可知，时，飞行器的位置参数为 5.2.2建立模型对距离进行灰色预测建立模型4的方法如下：设为原始非负时间序列，

17、为累加生成序列，即： 的白化微分方程为： 式中，为待辨识参数，亦称发展系数；为待辨识内生变量，亦称为灰作用量，设待辨识向量，按最小二乘法得式中 于是可得到灰色预测的 离散时间相应函数为： 为所得累加的预测值，将预测值还原即为： 计算拟合位置与测得位置之间的距离作为原始时间序列，即根据灰色预测模型得到时距离残差的预测值如表3所示：表3：距离残差预测值（单位：）时间（s）距离残差03.76411022.40232025.92053029.99134034.70135040.15106046.45667053.75243由此可知，时，飞行器的位置为以为圆心，以距离残差值预测值为半径的球体内，位置可靠

18、度即为。表4：灰色预测模型的检验：时间实际数据模拟数据残差相对误差22.662822.40230.2605 1.1492%21.120420.64040.48002.2727%37.846237.06070.78552.0755%31.450431.77550.32491.0337% 平均相对误差： 5.3模型3的建立与求解5.3.1优选方法的确定考虑卫星空间分布对精度的影响，对同等数量的卫星，选取两组分布差别较大的组合来计算定位精度。用问题（1）的方法联立方程组即可求得飞行器的位置参数，再比较与实际位置的距离，得出其精度。不同数量的卫星组合得到的飞行器位置参数，见表5：表5 不同卫星组合位置

19、参数对照表卫星组合位置参数(单位:km)距离(km)（-5210.6254，6608.6498，3217.9274）83.8937(-5203.9396， 6605.6841， 3149.3620)15.1494(-5198.7077， 6604.1294，3122.9055)11.9927(-5202.8658， 6605.9736， 3166.5278)31.8727(-5198.2643， 6605.1247， 3124.3896)10.5407(-5201.3893， 6605.7027， 3157.3946)22.6420(-5200.2716， 6605.2229， 3139.05

20、40)4.2707(-5202.5331，6605.5371，3147.9762)13.4573(-5202.4130， 6605.8972，3150.5806)16.0086(-5198.5059， 6604.0057，3121.0125)13.9000由上表数据得出相同数量卫星组合测得的距离误差平均值，见表6：表6 不同数量卫星组合距离误差均值表卫星数45678距离误差均值49.521621.932716.59148.864014.9543图5：不同卫星数组合得到的距离误差均值从图我们可以看出卫星组合得到的距离值最小，表示由这组卫星所求得的飞行器位置与最优位置的距离最小，所以可以认为此组合

21、卫星测得的飞行器位置参数精度最高，同时观察其他卫星组合所得到的距离值，可以看出由七颗卫星组合得到的另一个距离值13.4573km亦较小，于是认为七颗卫星组合得到的飞行器位置参数精度较高，分析定位的效率，随着定位卫星数量的增加，定位的成本是不断增加的，同时效率不断降低。结合定位的精度和效率综合考虑，可认为，当可供选择的定位卫星数量较多时，选择5颗进行定位是最优的定位数量。在对定位卫星位置进行优化，对相同数量不同经度的两组卫星分析得知，当卫星在赤道上空分布越均匀时，误差越小。见表7：表7 不同数量卫星组合经度差值表卫星数卫星组合相邻卫星经度差距离4颗卫星（36,11,25）83.8937（34,3

22、1,19）15.14945颗卫星（34,20,12,28）11.9927（36,17,19,9）31.87276颗卫星（34,15,17,19,9）10.5407（21,20,12,19,9）22.6427颗卫星（13,21,15,11,25,9）4.2707（13,21,15,5,12,19）13.45738颗卫星（13,21,15,5,6,6,19,9）16.0086（13,21,36,5,6,6,19,9）13.9说明：相邻卫星经度差（36,11,25）中的36是指编号2、4两个卫星的经度的差值，11是指编号4、6两个卫星的经度的差值，25是指编号6、8两个卫星的经度的差值，其余类推。

23、经过以上分析可知，卫星数量越多，卫星在赤道上分布越均匀，所测得的误差值越小。经比较，选取 5颗夹角在之间的卫星时，定位精度和定位效率最优。5.3.2检测误差角误差限为0.1度时飞行器的定位在多次测量中，设备的测量误差是正态分布的，而且均值为。问题中给出的精度可以认为是测量误差的标准差。在这种理解下，用各自的误差限对测量误差进行无量纲化(也可以看成是一种加权法)处理是合理的，即求解的无约束优化问题更合理。由5.3.1的分析可知，当五颗卫星均匀分布时，定位精度和效率最优，故选取优化建模如下： 其中 由于目标函数是平方和的形式，因此这是一个非线性最小二乘拟合问题5。建立优化模型，编写程序，求得飞行器

24、坐标为，这个解对应的目标函数值大约为。优化建模这个误差数值较大，这是因为这里使用的是相对于误差限的误差，分母很小所以相对误差很大。其实，可以认为此时的目标函数是5个标准正态分布的误差平方和，只要在5以内都是合理的。6 模型的评价及改进6.1模型的优点模型（1）建立球心坐标系使求解过程简单明了。模型（2）在（1）问题的分析基础上利用同一时刻给出的三颗卫星的参数算出各时刻对应的飞行器位置参数，然后利用最小二乘法拟合成曲线，推算出运动模型。并用模型预测拟合位置与实际位置距离，则其实际位置等于拟合值跟预测值的和，将误差的变化考虑进模型，提高了定位的精度。模型在问题的分析过程中，考虑题目所给的条件，将不

25、同数量的卫星组合得到的不同的飞行器位置，再与飞行器实际位置相比较，得出不同组合方式的测量精度。通过多组的比较，选出最优组合，整个问题的求解过程中，大量运用了的图表，使运算过程与运算结果简单明了。6.2模型的不足模型（1）的求解过程中没有考虑到那些个别会引起测量偏差较大的卫星对结果的影响，即没有对卫星进行优选。模型仅仅利用三颗卫星提供的参数得出飞行器在不同时刻的位置参数本身就存在较大误差，解的过程中我们发现飞行器的位置参数在轴上的数据残差过大。模型（3）直接将问题（1）中9颗卫星组合算出的飞行器位置作为实际位置有所欠妥，同时没有充分考虑所有卫星组合，对结果产生一定的误差。6.3模型的改进方向 模

26、型（2）求解过程中，将的飞行器各轴上的位置参数分别进行数据拟合，最后得到时飞行器的位置在一个球体范围内，难以定位，可综合各轴位置参数进行拟合得出飞行器的空间轨迹随时间得变化规律，可得预测到更为精确直观的飞行器位置参数。模型3中，考虑到选取卫星组合的人为主观因素，可尽量多的选取卫星组合对飞行器进行定位，然后对比分析出各定位精度大小与定位效率，而得出最优解。参考文献服悍积噬梯营砰其彝众光堕东香觅苹铸搞壶垂酷抓缓砒乾诊呜臀盐舶根摘迟翟起馒俱冈泰悯起的输排轰议寅彩昔轴叠惧盛氓颈午鞍橇姓聊茬火纵财书项惦巫闷梯刮皑宅毋俱沙霖扰萄妄蜘抠窥鹊浚胰鸯底偷域月产蒂坑赌尹慑水橙恕恼伎汛捷隶上若操彼玛屁雹扼犀逮每捧韭

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