线性代数矩阵理论基础.ppt

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1、xxdaishu11第二章第二章矩阵理论基础矩阵理论基础2.4 矩阵矩阵的秩与矩阵的等价标准形的秩与矩阵的等价标准形2.3 可可逆逆矩阵矩阵2.2 n阶阶(方阵的方阵的)行列式行列式2.1 矩阵矩阵的运算的运算2.5 分块分块矩阵矩阵2.6 线性方程组解的存在性定理线性方程组解的存在性定理Cramer法则法则22.1 矩阵的运算矩阵的运算 矩阵的加法矩阵的加法 矩阵的数乘矩阵的数乘3特别特别4运算规律运算规律运算规律运算规律运算规律运算规律5例例1解：解：6 矩阵的乘法矩阵的乘法7不存在不存在例例28例例39例例4问问问问：上式：上式=0的充要条件是什么？的充要条件是什么？10例例5问问问问：

2、E在矩阵乘法中的作用在矩阵乘法中的作用11有了矩阵的乘法，有了矩阵的乘法，方程组的矩阵表示形式方程组的矩阵表示形式对应对应可以用矩阵形式表示为可以用矩阵形式表示为 AX=B，其中其中B=。b1b2 bmA=，a11a21 am1a12a22 am2 a1na2n amnX=，x1x2 xn称为方程组的称为方程组的增广矩阵增广矩阵对应齐次方程组对应齐次方程组可用矩阵形式表示为可用矩阵形式表示为 AX=O 12运算规律运算规律运算规律运算规律运算规律运算规律证证(1):记记13 方阵的幂方阵的幂设设A是是n阶方阵，阶方阵，定义定义规定规定称称 为为A的的m次多项式次多项式。设设 为为x的的m次多项

3、式，次多项式，运算规律运算规律运算规律运算规律运算规律运算规律14例例6举例说明举例说明因因下一例题说明下一例题说明(2)(3)不成立。不成立。15例例7成立的充要条件是成立的充要条件是A A与与与与B B可交换可交换可交换可交换(即即AB=BA)。16例例9解解解解17注注注注 当当A与与B可交换时，有下面二项展开式可交换时，有下面二项展开式称为称为数量矩阵数量矩阵，它与任何方阵可交换。，它与任何方阵可交换。18 矩阵的转置矩阵的转置 把矩阵把矩阵A的行换成同序数的列得到的新的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做矩阵，叫做A的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作AT。如如运算规律运算规律运算规律运算

4、规律运算规律运算规律19例例10解法一解法一解法一解法一解法二解法二解法二解法二20例例11解解解解21例例12解解解解22注：注：注：注：(1)(2)23例例 已知已知提示提示:方法同上可得方法同上可得24定义定义定义定义设设 A 为为 n 阶方阵，如果满足阶方阵，如果满足 A=AT,即即,则称则称 A 为为对称矩阵对称矩阵对称矩阵对称矩阵.假设假设 A,B 都是都是 n 阶对称矩阵，显然阶对称矩阵，显然 kA,A+B 都是对称矩阵。但都是对称矩阵。但 AB 不一定是对称矩阵。不一定是对称矩阵。例如例如对称阵的元素以对称阵的元素以主对角线为对称主对角线为对称轴对应相等轴对应相等25例例14例

5、例13 设设 ，证明，证明 和和 分别是分别是n阶和阶和m阶阶对称矩阵。对称矩阵。证证证证证证证证26反对称矩阵反对称矩阵:如果如果则矩阵则矩阵A称为称为反对称矩阵反对称矩阵反对称矩阵反对称矩阵。27第二章第二章矩阵理论基础矩阵理论基础2.4 矩阵矩阵的秩与矩阵的等价标准形的秩与矩阵的等价标准形2.3 可可逆逆矩阵矩阵2.2 n阶阶(方阵的方阵的)行列式行列式2.1 矩阵矩阵的运算的运算2.5 分块分块矩阵矩阵2.6 线性方程组解的存在性定理线性方程组解的存在性定理Cramer法则法则28 行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已

6、经是数学中一种非常有用的工速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具。行列式是由莱布尼茨和日本数学家关孝和发明的。具。行列式是由莱布尼茨和日本数学家关孝和发明的。1750 1750 年，瑞士数学家克莱姆对行列式的定义和展开法年，瑞士数学家克莱姆对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则所称的解线性方程组的克莱姆法则 。在很长一段时间内，行列式只是作为解线性方程组在很长一段时间内，行列式只是作为解线性方程组的一种工具使用，没有单独形成一门理论。对行列式的一种工具使用，没有单独形成一门理论。

7、对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，是法国数学家范德蒙理论做出连贯的逻辑的阐述，是法国数学家范德蒙 ，他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则。法则。29 继范德蒙之后，又一位做出突出贡献的就是另一继范德蒙之后，又一位做出突出贡献的就是另一位法国大数学家柯西。其中主要结果之一是行列式的位法国大数学家柯西。其中主要结果之一是行列式的乘法定理乘法定理 。继柯西之后，雅可比的著名论文。继柯西之后，雅可比的著名论文论行列论行列式的形成和性质式的形成和性质标志着行列式系统理论的建成。由标志着行列式系统理论的建成。由于行列式在数学分析、几何学、线性方程

8、组理论、二于行列式在数学分析、几何学、线性方程组理论、二次型理论等多方面的应用，促使行列式理论自身在次型理论等多方面的应用，促使行列式理论自身在 19 19 世纪也得到了很大发展。世纪也得到了很大发展。302.2 n阶阶(方阵的方阵的)行列式行列式在在 D 中划掉第中划掉第 i 行和第行和第 j 列元素而剩下的元素按原来列元素而剩下的元素按原来相对位置不变所构成的低一阶的行列式，称为相对位置不变所构成的低一阶的行列式，称为(i,j)元素的元素的余子式余子式余子式余子式，记为，记为Mij ,称称Aij=(-1)i+j Mij为为(i,j)元元素的素的代数余子式代数余子式代数余子式代数余子式。定义

9、定义定义定义用式子用式子D表示方阵表示方阵A的元素按某种规则运算得到的一的元素按某种规则运算得到的一个数，称为个数，称为A的行列式。的行列式。31例如：例如：32n 阶行列式阶行列式的值定义如下的值定义如下(递归定义递归定义):当当 n=1 时，时，当当时，假设对时，假设对阶行列式已有定义，则阶行列式已有定义，则定义定义定义定义上式又称上式又称按第一列展开按第一列展开按第一列展开按第一列展开。比较书比较书P.29定义定义133计算下列行列式计算下列行列式例例134由定义，可得二阶行列式与三阶行列式的计算由定义，可得二阶行列式与三阶行列式的计算主主对角线对角线副对角线副对角线35(1)(1)沙沙

10、路法路法三阶行列式的计算三阶行列式的计算36注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的 乘积冠以负号乘积冠以负号(2)(2)(2)(2)对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则说明说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式 2 2.三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行,不同列的不同列的三个元素的乘积三个元素的乘积,其中三项为正其中三项为正,三项为负三项为负.37 解解解解按按对角线法则，有对角线法则，有例例2 238解解解解方程左端方程左端例例3 339计算上三角行

11、列式计算上三角行列式按第按第1列展开列展开按第按第1列展开列展开例例440行列式的性质行列式的性质推论推论推论推论1 1 1 1如果行列式有一行如果行列式有一行（列）为零，则行列式（列）为零，则行列式等于零。等于零。例如例如性质性质性质性质1 1 1 1行列式按任意一行展开，其值相等行列式按任意一行展开，其值相等。41例如例如性质性质性质性质2 2 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）,行列式变号。行列式变号。再如，证明再如，证明42推论推论推论推论2 2 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。列式为零。例如例如43性质性质性质性质3 3

12、行列式的某一行（列）中所有元素的公行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。因子可以提到行列式符号的外面。例如例如44推论推论推论推论3 3行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零。行列式为零。例如例如推论推论推论推论4 4 是一个数。是一个数。45性质性质性质性质4 4 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则可把这两个数拆开，其它元素不变写成两个行列式的则可把这两个数拆开，其它元素不变写成两个行列式的和。和。46例如例如=？4748例如例如性质性质性质性质5 5 把行列式的

13、某一行把行列式的某一行(列列)的各元素乘以同一数然的各元素乘以同一数然后加到另一行后加到另一行(列列)对应的元素上去对应的元素上去,行列式的值不变。行列式的值不变。49例例5三角形，然后计算行列式的值。三角形，然后计算行列式的值。只用只用这种变换，把行列式化为这种变换，把行列式化为50只用只用只用只用 变换或只用变换或只用变换或只用变换或只用 变换一定能变换一定能变换一定能变换一定能把行列式化为上把行列式化为上把行列式化为上把行列式化为上(下下下下)三角形三角形三角形三角形.行列式的值不变行列式的值不变行列式的值不变行列式的值不变.51性质性质性质性质6 6 行列式与它的转置行列式相等。行列式

14、与它的转置行列式相等。说明说明 行列式的性质凡是对行成立的，对列也成立，行列式的性质凡是对行成立的，对列也成立，反之亦然。反之亦然。例如例如 证明奇数阶反对称矩阵的行列式的值为证明奇数阶反对称矩阵的行列式的值为0 0。52计算下三角行列式计算下三角行列式注意！注意！例例653则则性质性质性质性质7 754证明证明5556性质性质性质性质8 8 设设A，B都是都是n阶方阵，则阶方阵，则例如例如57设设A是奇数阶方阵，且是奇数阶方阵，且证明证明证证证证例例758证明证明由定理由定理1，行列式等于某一行的元素分别与它们，行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和。代数余子式的乘积之和。作作

15、辅助行列式辅助行列式第第i行行(展开展开)行列式的值等于按任一列行列式的值等于按任一列行列式的值等于按任一列行列式的值等于按任一列(行行行行)展开，错列展开，错列展开，错列展开，错列(错行错行错行错行)展开必为零。展开必为零。展开必为零。展开必为零。性质性质性质性质9 959 行列式展开定理行列式展开定理展开定理给出了行列式降阶计算的思想。展开定理给出了行列式降阶计算的思想。60例例8计算计算按定义按定义按第按第3行展开行展开61再验证一下错列或错行展开是否为零再验证一下错列或错行展开是否为零?62若若表示表示D的的i 行行j 列列的的代数余子式代数余子式,问问的值是的值是多少多少?的值是的值

16、是多少多少?解解 由行列式展开定理得由行列式展开定理得例例963矩阵的转置矩阵矩阵的转置矩阵由由|A|的各元素的代数余子式的各元素的代数余子式 所构成所构成称为称为 A 的的伴随矩阵伴随矩阵。推论推论推论推论5 5伴随矩阵伴随矩阵研究可逆矩阵研究可逆矩阵由行列式展开定理由行列式展开定理64计算行列式计算行列式 例例1065计算计算=57=48 例例1166计算计算 n 阶行列式阶行列式解解将将第第 列都加到第一列上列都加到第一列上,得得 例例1267特征特征1：对于所有行（列）元素相：对于所有行（列）元素相加后相等的行列式，可把加后相等的行列式，可把第第2行至行至n行加到第一行（列），行加到第

17、一行（列），提取公因子后在简化计算。提取公因子后在简化计算。68爪形行列式爪形行列式 例例13特征特征2：第一：第一行，第一列及行，第一列及对角线元素除对角线元素除外，其余元素外，其余元素全为零的行列全为零的行列式称为爪型行式称为爪型行列式。列式。69计算计算爪型行列式爪型行列式 例例147071范德蒙德范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式 例例15 证明证明 用数学归纳法用数学归纳法(1)当当n=2时时,结论成立。结论成立。72(2)设设n-1阶范德蒙德行列式成立，再证阶范德蒙德行列式成立，再证n阶也成立。阶也成立。73 n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式证毕。证毕。74练习练

18、习2解：解：所以根为所以根为x=1,2,3.练习练习1 计算计算75 例例167677计算计算n 阶行列式阶行列式解解 将将 按第一行展开得按第一行展开得 例例1778得得递推公式递推公式特征特征3：所求行列式某一行（列）至多有两个非零元素。：所求行列式某一行（列）至多有两个非零元素。练习练习 书书P.39例例1179计算计算n 阶行列式阶行列式解：解：例例188081特征特征4：除对角线元素外，上三角各元素相等，下三角：除对角线元素外，上三角各元素相等，下三角各元素相等。常用拆分法或数学归纳法求解。各元素相等。常用拆分法或数学归纳法求解。82特征特征5：非零元素特别少（一般不多于：非零元素特别少（一般不多于2个），可直接个），可直接利用行列式的定义求解。利用行列式的定义求解。行列式常用的计算方法：行列式常用的计算方法：化三角法、降阶法（递推法）、归纳法、定义法。化三角法、降阶法（递推法）、归纳法、定义法。83思考题思考题184解解85思考题思考题2求求第一行各元素的代数余子式之和第一行各元素的代数余子式之和86解解第一行各元素的代数余子式之和可以表示成第一行各元素的代数余子式之和可以表示成87