导数 极值 最值问题.docx

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1、导致在探讨函数中的应用学向旅理-函数的单调性1、利用导致的符号推断函效的单性：-ft*.设函数.V=f()在某个区间可导，假如f(X)O，则/(-)为增函数；假如F（八）0是/(X)在某个区间上为*函数的充分非处良条件.f在某个区闾上为南数的充分非必要条件.3、利用导致推断函数单耀性的步h求函数AX)的akr.令/30解不等式，得X的茶国就是通地区间.令/()V。解不等式，IVX的范围，就是建区110.4、已知函数的单调性求参数的取值范BI是一种常见的J型，客利用导数与通数单调性关系，即“若曲数单递增，M()0,若函数单辑地凌，则/6)0”来求解，Brt此时公式中的等号不能省略，否则解.二函数

2、极大值、微小值1、极大值，假如X=C是曲数f(X)在某个开区间(.y)上的大值点，即不等式“c)/(x)对一切XWmJ)成立，就说函数f(x)在I=，处取到横大值/(C),并稼，为函数f(x)的一个极大值点，/(C)为f(x)的一个极大值.2、微小值I假如=是函数f(x)在某个开区间(“,1)上的量小值点，IP不等式f(c)(x)对一切X(，)成立，就说的数f(x)在=处取到微小值并稼，为函数f(x)的一个豢小值点，/(C)为f(x)的一个微小值.3、极大值与微小值俄彝为极值，极大值点与微小值点俄称为横值点fc)=0,Jrr=C叫做函数f(x)的驻点I可导函数的极值点必为驻点，但驻点不肯定是极

3、值点.4、判别/(而是横大、微小值的方法:若，意/(,并且mDr(X)在C两IW1.意“左正右负”，则C是f(x)的极大值点，/(Q是极大值:假如/(X)在C两儡清意.左负右正。JKc是/(x)的微小值点，/(%是It小值5、求可导函数A力的极值的步:(1)确定函数的定义区间，求导数f(力(2)求t()的驻点，即求方程f(力=0的根(3)用函数的导数为O的点，次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检IEfG)在方程根左右的值的符号.假如左正右负，那么在这个根处取得极大值：假如左负右正那么丹力在这个横处取得*3.3.1利用导象探讨函数的单调性典例剖析：型一求函数的单辑区间例1已知函数V

4、X+1,祓探讨出此遢数的单0区间.X分析探讨函数的单调区间，可以利用导致来推断工他，1“11(-V+i)(x-1)Mt/=(-)*=1一一-=.X.(+1.)(x-1.)j1._令；o.解得或-1.X.y=+的单调地区闾是(一8,-1)和(1,+8).(.r+1.)(x-1.).-U-0,得通地区间，解不等式r()o,得温流区间.离型二已知函数的单性，求分数的取值低围例2.若函数(A)=1-r+-1.)A-+1.在区间”,4)内为减函数,在区间(6,+8)上为*函数,试求实效“的取值范$.分析t常利用导数与函数单性关系：即“若函数单逢增，则f()2O,若凿数单调遣款，三/(x)0-来求解，此

5、时公式中的等号不能省略，否则解.的数求导得/(x)=2-+-1=(-1.)-(-1),令/)=()将X=I或x=-1.,因为函数在区间(1.4)内为X函数，所以当G(1.4)时，/0)M0又因为在西数区间6+x)上为增函如所以当、G(6.+oo)时，,(x)0,4u-I6,5w7.即实效”的取值范*5,7点评：已知单辑区间求H。的取值范B1.是近年来常见的考查导致的一科JB型.备选例3t己知函数/(=2rTrUe(0,1,若/J)在Xe0.即a-.-1.当斫一1时.r(.t)=-2+彳时XW(OJ)也有r0,满意)在(0.1上为增函数.工。一1.评述:求参数的取值范围.凡涉及函数的单调性、最低

6、问遨时.用导数的学何耨决较简洁.点击双基1.函数y=x+cosx在(-+8)内是()A增函数B减函数C有增有减D不能确定解：因为=1.rinx0恒成立，故选A2.函数八*)=/+2*-的单，流区间是(D)2.(-2)B.(-2.).C.,(-.O)D.以上都不对.解，/(X)=3+201HA*,不存在单调减区间，故选D3 .函数/CO=(!).()A.f（八）=f(b).B.f（八）f(b).D./()J(加大小关系不能确定e一z,1XI解：/goe时水1,所以(-8J)为流区间，又。人0,所以88XA单Iiif区间为(0,斗)5 .偎如的数尸!2+1.nx-ax在定义域为增函数，JUa的取值

7、粒B1.是2M定义域为(O,+),)；1+1-川,即/又+，在定义城(0,+8)上恒成立，又x1.小值为2,所以XXXa23.3.2函数的横大值和It小值第TIW典例剖析JS型一函数极值的求法例1已知/(x)=*+F+t+在X=I与,t=一一时，都取得极值.3(1)求。.的值I(2)若/(7)=g,求/(X)的单区间和极值；分析，可导函数在M点取到极值时，/()=01求函数横值时，先求单0区间，再求极值.Mt(1),(x)=3x2+2x+b=0.由JB设，=.=-j为7(X)=O的解.22b2.1-j=1.-j,3=1X()*a=-2*b=-2.(2)/(x)=x,-x,-2x+c,由f1.1

8、)=T-+2+c,c=1.X(8,)(,1)(1,+)fM+()的递增区间为(-8,一，及+6+，的图象如图所示，且与F=O在点相切，着函数的微小值为T,(1)求&C的值I(2)求函数的斑区间.分析;从图上可得K=()是函效的极大值点，函效的图量经过(0,0)/V.1点且图望与X轴相切于(0,0)点,可先求出“,C的值.解：(1)函数的图象酷过(0,0)点.*.C=Ot又图象与X轴相切于(0.0)点.y,=3x2+2ox+b：.0=302+2o0+b,得b=0：.yxiax2,y=3xi+2ox2 2当x“时，y”时.y03 32当时，函数有微小值一4(j0)+/()2=-4得a=-3(2)

9、y,三3-6x0,M0x2地就区间是(0,2)评析，求出。力.N+1.=令f(x)=o,JUx=X3XX3宙意的数定义域为(0,+8),所以胜点是X=近，当XW(0,I)时f(X)0Bm0,-2.0)0(0.1/(X)0/极大因此0例力量大值(：0)=5,得b=5,Vf(-2)=-1.6f+5(1.)=-+5.(1.)/(-2).,.(-2)=-I6+5=-11.,.=I/(x)=3-2.v2+5;若a(1.)/(-2)=f(X)Inro=5,/.=-1A/(x)=-+2x2-11评析：函数的单H性要借助导敷的符号，故要对。的符号进行探讨.备出K点击双茶1、函数y=x4-4x+3在区间一2,3

10、上的最小值为()A.72B.36Q12D.0解；)，=4.y-4.令y=0.4x3-4=0.r=1.,xI时,)；1.Ft,0得=y.=而端点的函数值y,.,=27,y1,.J=72.得ynm=0.故选I)2、函数产1.+Q/有(A.做小值-2.极大值2B.微小值-2.极大值3C微小值-1.极大值1D.微小值-1.极大值3解:y,=3-3x=31.+x)(.1.-)y,=O得种-1,总=1.当x0,函数尸1+3*一才是熠函数；当1时,/V0,函数产1+3是减函数.二当尸一1时，函数尸1+3万，有微小值-1;当X=时，函数产1+3%，有极大值3,故选D3、下并结论正确的是()A.若是/U)在|”

11、加上的大值D,若A是f(X)在上睢一的极大值点，且/(X)在S力)上无微小值点，则/(X0)是f(K)在修,加上的，大值解：故选D4、西敷V=X+-,AG2,+8)的小值为XX2-337解：)=之。在xg2,+oo)恒成立，.y=x+=XGIZ+8)为地函如故量小值为:XX25、函数y=x+2cosx在区间O.gj上的最大值是,情：.=1.-2sinx=().x=m,比技O.f,g处的函数值.WViiu.=+6626课外作业一.选择题1、/(x)=f-3d+2在区间一川上的最大值是()（八）-2(B)O(C)2(D)4Hi,(A)=3A-6.v=3.r(.r-2),令/(/=0可得X=O或2

12、2舍去,当一KXVO时，,（八）0.当0x41时，,(.v)0,所以当X=O时，/(X取得用大值为2,故选C2、已知/G)=-&AmGn为制ft)在-2,2上有最大值3.则m值是()解：,(x)=6a2-I2x0,x0x2,故f(r)mn=f(O)=，“，故选D3、函数/Ir)=Xj3办一“在(U)内存量小值，JNa的取值范国是()AOIBO1C-1.1.DOa-2解：,()=32-3a=O.a=上口、OyfiiI.()0,方程的两根为=1.七=3,并且.，的系数大于0.则函数f(X)的图象为先增后减再增.且在X=I取得极大值,在=3取得微小伯，又f(3)=-o,d此可行出函数r(X)的简图.

13、可知方程x3-6x2+9x-o有三个实根,故选A6、设M.m分别是函数/(x)在“同上的址大伯和i小值，若M=，”，则/(外A.等干OB,小干OC,等于1D、不确定辘:因为河=，,所以f()为常数函数,故(X)=(),故选A7、函数)，=叱的以大值为()XA.e,BeC.eD.3解：令=Qnx)X-JnXx=-Jx=0,=,当e时，；()：当*O.Xxyw,.f,=(e)三-,在定义域内只有一个极(ft.所以z=1,故选Aee8、函数.y=4x-在-1,2上的最大、最小值分别为D、/(2)(-1.)A.,d),(-1.)B./(1),(2)c./(-1),/(2)解：,y=4-4xj=4(1-

14、)(1.+x2)=4(1-x)(x+1)2+,探讨点-1,(-1J),I,(1,2),2,故选&二.填空JS9、SftI(X)=,xG1-2.21的大值是.-+144vw4V解：(x)=1.Wt=O,x=I.当X=I时，=Y-.e-22的大值是2(.V+1)-+110、函数fW=er在-2,2上的量小值为一解：/(x)eT,xO时/(x)XhXe时/()0即xw-1.,1.时./(x)=t-3x+E0可化为.设g(x)=W-3则g(M=乂匕/，所以g()在区间(a：上单调递增.在区间UVAV.rX*_1.-上总调理M，因此g(x)a=g(!)=4,从而.24：三.解答12、求函数/(幻=，+7

15、一在(0.1)内的量小值.XI-X解：,(.t)=-4-j-=-1.在(OJ)上，Or(X)=。得X-(1.-x)-r(1.-x)-2当OX：时，fx)0,当;x0,故f(X)在X=：处取得微小值.则函败/(X)在点.r=g处取得小值f(g)=4.13、已知/(X)=a?+bx2-2x+c在X=-2时有极大值6,在X=I时有微小值，求a.b.c的值；并求f(x)在.*(1)/(r)=3x+2h-2由条件知/,(-2)=12f-4-2=0,IIX,(1)=3+27?-2=0,解得=一.=一,c=一./(-2)=-8+4A+4+c=6.I1Q(2)/(x)=-x+-.-2a+,f(x)=x2+x-

16、2323X-3(-3-2)-2(-2,1)1(U)3f+00+/()416Z632/10I由上表知，在区间1.3.3J.当K=3时，几，X=I时，n=6214、已加/W=Iog3之竺心/(0,+8).是否存在实数叫瓦使/W同时清意下列两个条件I(1.)w(O,1)X上是K函数，在11,+8)上是，函数I(2)/W的量小值是1,若存在，求出。力，若不存在，说明理由.ABir.,x+ax+b三t设g()=.H)在(0,DM2ft.在1,+8)上是竭函数.g(x)在(0,1)上是城函数，在1,2)上是墙函数.X=I是g(x)的微小值点，at(1)=o.-=og=3*+1.=3短检出=1.,b=i时.

17、胴网意题设的两个条件.思悟小结求可导函数/GO的最值的方法:(D求/J)在给定区间内的极值；(2将/X)的各极低与端点值比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.34生活中的优化问题举例学向旅理1、在生产实或及科学就验中，常遇到质H好、用料量省、效益高、成本最低、和海最大、投入小答M.这类阿意在数学上经常归结为求函数的量大值或最小值网A1.通常尊为优化同JB解决优化句题的富见方法有判刑式方法、平均不等式方法、线性知范方法、控分方法、利用二次函数的性朋和利用单性等.2、不少优化问题，可以化为求的数最值问JK,对于函数的量值向题，多利用函数的图像、性朋以及不等式的性阴来其中求导致是求函敷量

18、大（小）的有力工具.导效在实际生活中的应用主妥是解决有关函数大值、小的实际何.主夫有以下几个方面，与几何有关的量值向愚，与物或学有关的值向A1.与利洞及其成本有关的值向A1.效率值同题等.3、利用导效解决优化向题的基本国Ith利用导效解决生活中的优化恸题的一般步b（1）分析实际问题中各之间的关系，列出实际Wf1.1.的数学模型，写出实际问题中交*之间的的数关系y=fMt（2）求函数的导数/（幻，解方程f（）=OI（3）比较函数在区间*点和使f（x）=0的点的函数值的大小，量大（小）者为大（小）值.解决生活中的优化同题应当留意的问题，（1）在求实际问题的大值、小值时，肯定要考虑实际向星的意义，不

19、符合实际向J的值应会去I（2）在实际同题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点便/（X）=O的情形，假如函数在这点有横大（小）值，那么不与点值比较，也可以知道这就是大（小）值；3）在解决实际优化问JS时，不仅要置盒将问题中涉及的变量关系用函数关系式予表示，还应当确定函数关系式中自如的定义区间.典例剖析：三三-面积量小忖11例1如图，等梯形ABCD的三边AB.BC.CO分别与函数y=-1.x+2,.v-2,2的图象切于点P.Q.R.求梯形,48C/）面积的小值.解：设梯形ABCD的面积为,点P的坐标(,-2+2)(00).由/)=一:x2+24000=0,1得Xi=2OO2=-2OO(含去).7(

20、x)在0,+8)内只有一个点必=200使/(x)=0,：它就是大值点4*)的量大值为/(200)=3150000(元).每月生产200t才能使利滔达到量大,大利*是315万元.评析，当只有一点XiJ使/(凡)=0时，/(.%)就是大利泪点击双基1、要做一个I便形斗,其母线长为20c要使其体积大,Ei为(),丛bIO3C16jn20。AcmB-cm.C-cmD-Cm3333设育hc三.底半径为rc三,+r=400.又体积”JHV=(400-Zr)h,令V=0,得*一极值k2()3砧*n点h*二一a,故选D2、已知一球的半粒为r,作内接于球的柱,则!柱的值面积量大值为()AInr2.B32.C4t

21、2D-t22解，设柱育h,HS*Sx,M(2.t)-(2r)2;S12-Xh2,7X1.4r2-4x2,令y-sr三1611(-+rx)=O得唯一极值点x=4r,所以h三2r.所以“量大值2w故选A3、进货朦价为80元的育品400个.按90元一个售出时，可全部卖出.已知这科商品每个注价一元，其1HHft就削设20个,所骁得利洞大时辔价应为()A.90B.95C.100D.105解:设仰价为%)+x元时利润为,，此时传fit为40020xV=f(x)=(90+x)(4(M)-20x)-(4(M)-20x)XsO=20(2O-X)(IO+幻，求导得当X=5时，EnUX=4500(元)。即啻价为95元时荻利最大，其最大值为4500元，故逸A4 .用以长为16m的It笆.我围成一个矩形场地，则矩形场地面积大值为爆设矩形长为xm,则宣为(8-x)m,矩形面积s=x(8x)(0x。得XG(0.1).V,0得XG(1.-).2依据实际状况，小盒容积最大是存在的，：.当JF1.c时，容积y取量大值为18c三,.