概率论与数理统计各章重点知识整理.docx

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1、概率论与数理统计各章重点知识整理第一章概率论的根本概念一.根本概念随机试验E:可以在相同的条件下重复地进行;（2）每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.样本空间S:E的所有可能结果组成的集合.样本点（根本领件）：E的每个结果.随机事件（事件）：样本空间S的子集.必然事件（三）:每次试验中一定发生的事件.不可能事件（）:每次试验中一定不会发生的事件.二.事件间的关系和运算1.AUB（事件B包含事件A）事件A发生必然导致事件B发生.2. AUB（和事件）事件A与B至少有一个发生.3. AB=AB（积事件）事件A与B同时发生.4

2、 A-B（差事件）事件A发生而B不发生.5. AB=（A与B互不相容或互斥）事件A与B不能同时发生.6. AB=且AUB=S（A与B互为逆事件或对立事件）表示一次试验中A与B必有一个且仅有一个发生.B=A,A=B.运算规那么交换律结合律分配律德摩根律AUB=ABAB=AUB三 .概率的定义与性质1 .定义对于E的每一事件A赋予一个实数,记为P（八）,称为事件A的概率.非负性P（八）O;(2)归一性或标准性P(三)=I;(3)可列可加性对于两两互不相容的事件A,Az,(AiAj=,ij,i,j=12)，P(AUA2U)=P(Ai)+P(A2)+-2 .性质(1) P()=0,注意:A为不可能事

3、件.XAP（八）=O.(2)有限可加性对于n个两两互不相容的事件bA2,An,P(AUA2U-UAn)=P(A)+P(A2)+-+P(A)(有限可加性与可列可加性合称加法定理)(3)假设AuB,那么P（八）P(B),P(B-A)=P(B)-P（八）.(4)对于任一事件A,P（八）1,P（八）=I-P（八）.(5)广义加法定理对于任意二事件A,B,P(AUB)=P（八）+P(B)-P(AB).对于任意n个事件Ai,Az,An+(-l)n1P(AA2An)四 .等可能(古典)概型1 .定义如果试验E满足:样本空间的元素只有有限个,即S=e,ez,enK2)每一个根本领件的概率相等,即P(e1)=P

4、e2)=-=P(e).那么称试验E所对应的概率模型为等可能(古典)概型.2 .计算公式P（八）=k/n其中k是A中包含的根本领件数,n是S中包含的根本领件总数.五 .条件概率1 .定义事件A发生的条件下事件B发生的条件概率P(BIA)=P(AB)/P（八）(P（八）O).2 .乘法定理P(AB)=P（八）P(BA)(P（八）O);P(AB)=P(B)P(AB)(P(B)O).P(A.A11)=P(A)P(A2A1)P(31A2)P(AnA2A(n2,P(A2An-l)0)3 B,B2,Bn是样本空间S的一个划分(BiBj=3,iJ,ij=l,2,n,BiUB2U-UBn=S),那么IA)=良

5、竺J=JM41H)P(Bi)p(ABi)i六.事件的独立性1 .两个事件A,B,满足P(AB)=P（八）P(B)时,称A,B为相互独立的事件.两个事件A,B相互独立OP(B)=P(BA).(2)限设A与B,A与，,，与B.A与8中有一对相互独立,那么另外三对也相互独立.2 .三个事件,B,C满足P(AB)=P（八）P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),称A,B.C三事件两两相互独立.假设再满足P(ABC)=P（八）P(B)P(C),那么称A,B,C三事件相互独立.3 .n个事件Ai,Az,An,如果对任意k(lkWn),任意IWilVi2VikWn.有P(AAi

6、Ai)=P(A)P(A)P(AJ那么称这n个事件Ai,A11相互独立.第二章随机变量及其概率分布一.随机变量及其分布函数1.在随机试验E的样本空间S=e上定义的单值实值函数X=X(e)称为随机变量.2.随机变量X的分布函数F(x)=PXx,X是任意实数.其性质为：(l)OF(x)l,F(-)=O,F()=1.F(X)单调不减,即假设xWX2,那么F(x)F(x2).(3)F(X)右连续,即F(x+0)=F(x).(4)PxiXx2=F(x2)-F(xi).二.离散型随机变量(只能取有限个或可列无限多个值的随机变量)1.离散型随机变量的分布律PX=Xk=pk(k=l,2-)也可以列表表示.其性

7、质为：非负性OWPkWl;(2)归一性pk=l.A=I2 .离散型随机变量的分布函数F(x)=及为阶梯函数,它在x=xk(k=l,2,)Xkx处具有跳跃点,其跳跃值为Pk=PX=xQ.3 .三种重要的离散型随机变量的分布(1)X(O1)分布PX=1=p,PX=O=1-P(0pl).(2)Xb(n,p)参数为n,p的二项分布PX=k=fp)nk(k=0,l,2,-,n)kJ(0p0)Kl三.连续型随机变量1.定义如果随机变量X的分布函数F(X)可以表示成某一非负函数f(x)的积分F(X)=COo/(/1X8,那么称X为连续型随机变量,其中f(X)称为X的概率密度(函数).2.概率密度的性质(1)

8、非负性 f(x)O;(3) Px 1Xx2=2(x)Jx ; f (x)=F/ (x).(2)归一性 0(x)rfx=l ;(4)假设f (X)在点X处连续,那么注意：连续型随机变量X取任一指定实数值a的概率为零,即PX=a=0.*jcb0 其它3.三种重要的连续型随机变量的分布(I)XU(a,b)区间(a,b)上的均匀分布f(x)=0).0若x0(X-A)2(3)XN(,?惨数为,的正态分布/(x)=el-oo0.2特别,=0,2=1时,称X服从标准正态分布,记为X-N(0,1),其概率密度X2ti(x)=-=e2,标准正态分布函数(x)=-4=j00e2dt,2%2r(-x)=l-(x)假

9、设XN(52),那么Z=上幺N(0,1),PxZ=PZZa2=(X,那么点Z(,-Za由2分别称为标准正态分布的上,下,双侧a分位点.注意：(za)=la,Zi-a=-Za.四.随机变量X的函数Y=g(X)的分布1 .离散型随机变量的函数XXiX2XkPkPlP2PkY=g(X)g(xi)g(X2)g(xk)假设g(Xk)(k=l,2,)的值全不相等,那么由上表立得Y=g(X)的分布律.假设g(xk)(k=l,2,)的值有相等的,那么应将相等的值的概率相加,才能得到Y=g(X)的分布律.2 .连续型随机变量的函数假设X的概率密度为f(x),那么求其函数Y=g(X)的概率密度f(y)常用两种方法

10、分布函数法先求Y的分布函数F(y)=PYy=Pg(X)其中A“y)是与g(X)y对应的X的可能值X所在的区间(可能不只一个),然后对y求导即得f(y)=Fz(y).(2)公式法假设g(x)处处可导,且恒有gz(x)0(或gz(x)O),那么Y=g(X)是连续型随机变量,其概率密度为/y(y)=/促G)aW:0其匕其中h(y)是g(x)的反函数,=min(g(-oo),g()=max(g(-),g(oo).如果f(x)在有限区间a,b以外等于零,那么=min(g(a),g(b)=max(g(a),g(b).第三章二维随机变量及其概率分布一.二维随机变量与联合分布函数1 ,定义假设X和Y是定义在

11、样本空间S上的两个随机变量,那么由它们所组成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量.对任意实数x,y,二元函数F(x,y)=PXWx,Yy称为(X,Y)的(X和Y的联合)分布函数.2 .分布函数的性质(I)F(X,y)分别关于X和y单调不减.(2)0F(x,y)l,F(x,-)=0,F(-,y)=O,F(-,-)=0,F(,)=l.(3) F(x,y)关于每个变量都是右连续的,即F(x+O,y)=F(x,y),F(x,y+O)=F(x,y).(4)对于任意实数X2,yy2PxXx2,yYy2=F(x2,y2)-F(x2,y)-F(Xby2)+F(xby)二 .二维离散型随机变量及其联合

12、分布律1 .定义假设随机变量(X,Y)只能取有限对或可列无限多对值(Xi,yj)(ij=1,2,)称(X,Y)为二维离散型随机变量.并称PX=i,Y=yj=Pij为(X,Y)的联合分布律.也可列表表示.2 .性质非负性OWPij1.(2)归一性P=1.eeJIJ3 .(X,Y)的(X和Y的联合)分布函数F(x,y)=pijxtxyjy三 .二维连续型随机变量及其联合概率密度1 .定义如果存在非负的函数f(,y),使对任意的X和y,有F(,y)=匕If(MMdUdV那么称(X,Y)为二维连续型随机变量,称f(x,y)为(X,Y)的(X和Y的联合)概率密度.2 .性质非负性f(x,y)O.归一性J

13、工J：/(X)dxdy=l.(3)假设f(x,y)在点(x,y)连续,那么f(x9y)=驾Nxy(4)假设G为xoy平面上一个区域,那么P(x,j)G=/(x,y)dxdy.G.边缘分布1.(X,Y)关于X的边缘分布函数Fx(X)=PXx,Y=F(x,).(X,Y)关于Y的边缘分布函数F(y)=PXO,那么称PX=iJ=yjpiip=s=R=Pf=石:为在Y=为条件下随机变量X的条件分布律.同样,对于固定的i,假设PX=Xi0,那么称PY=yjX=xi=PX=x,y=K二%PX=xp,为在X=Xi条件下随机爰量Y的条件分黜律.第四章随机变量的数字特征一 .数学期望和方差的定义随机变量X离散型随

14、机变量连续型随机变量分布律 PX=xi= pi (i =1,2,)概率密度f (X)数学期望(均值)E(X)敛)方差 D(X)=EX-E(X)2=E(X2)-E(X)2收敛) UPi (级数绝对收敛)R Mx也(积分绝对收 I=Ixi-E(X)Y pi Ox-(X)f/(X)t z=l(级数绝对收敛)(积分绝对函数数学期望 E(Y)=Eg(X)文g(x,)Pi (级数绝对收敛)I=I口g(x)f(x)dx(积分绝对收敛)标准差(X)=J而。.二 .数学期望与方差的性质1. c为为任意常数时,E(c)=c,E(cX)=cE(X),D(c)=0,D(cX)=C2D(X).2. X,Y为任意随机变量

15、时,E(XiY)=E(X)+E(Y).3. X与Y相互独立时，E(XY)=E(X)E(Y),D(XY)=D(X)+D(Y).4. D(X)=OPXC=1,C为常数.三.六种重要分布的数学期望和方差E(X)D(X)1.X(01)分布PX=1=p(0pl)PP(I-P)2.Xb(n,p)(0pl)nPnp(l-p)3.X()4.XU(a,b)(a+b)2(b-a)7125.X服从参数为。的指数分布6.XN(,2)2四.矩的概念随机变量X的k阶(原点)矩E(Xk)k=l,2,随机变量X的k阶中心矩EX-E(X)k随机变量X和Y的k+1阶混合矩E(XkY,)1=1,2,-随机变量X和Y的k+1阶混合中

16、心矩EX-E(X)kY-E(Y),)第六章样本和抽样分布一.根本概念总体X即随机变量X；样本Xl,X2,Xn是与总体同分布且相互独立的随机变量;样本值Xi,X2,X为实数;n是样本容量.统计量是指样本的不含任何未知参数的连续函数.如：样本均值又=-Xi样本方差S2=-(xi-X)2样本标准差Sn=n-l=1n,样本k阶矩Ak=-Xik(k=l,2,)样本k阶中心矩nZ=IBk=-(Xi-X)k(k=U29-)ni=二.抽样分布即统计量的分布1 .X的分布不管总体X服从什么分布，E(X)=E(X),D(X)=D(X)/特别,假设X-N(,2),那么XN(,2n).22分布定义假设XN(OJ),那

17、么Y=NXi22(g自由度为。的2Z=I分布.(2)性质假设Ydm),那么E(Y)=n,D(Y)=2n.假设Y2(n)Y2-2(n2),那么Y1+Y22(11+n2).假设XN(,2),那么比？S一2(nl),且又与S2相互独立.分位点假设Y2(n),01,那么满足的点必5),力：.晨),/2()和分别称为妙分布的上、下、双侧a分位点.3 .t分布X定义假设X-N(Oj),Y2(n),且X,Y相互独立,那么t=t(n)自由际度为n的t分布.(2)性质n-8时,t分布的极限为标准正态分布.XN(,2)时，/t(nl).S7l两个正态总体相互独立的样本样本均值样本方差XN(,2)且0=22=2X1

18、X2,x11XSi2YN(2,22)Y1,Y2%Yn2yS22那么(X-G)-(4-2)t(n,+n2-2),其中SwJ+W1n2Wnl+n2-2(3)分位点假设tt(n),0l,那么满足的点口()广，0()9，&/25)分别称1分布的上、下、双侧a分位点.注意：ti a m aaaaa lai IA=如(4,2,4)a iat laataaBaBaBaaaBaaIA = 43,42,mQ仇=仇(4，&,4)以样本矩A1取代总体矩(l=l,2,k)得到矩估计量他=62(4,&，,4)，A。，4)假设代入样本值那么得到矩估计值.2 .最大似然估计法假设总体分布形式(可以是分布律或概率密度)为P

19、X向,。2,8),称样本Xl,X2,Xn的联合分布用怎，4)=IP(Xi,q,e2,，A)为似然函数=lA取使似然函数到达最大值的4,%，仇,称为参数仇6,Qk的最大似然估计值,代入样本得到最大似然估计量.假设L。,M)关于a,a,M可微,那么一般可由似然方程组经=o或对数似然方程组=o(i=i%k)求出最大ii似然估计.3 .估计量的标准AA(1)无偏性假设E(O)=&那么估计量e称为参数e的无偏估计量.不管总体X服从什么分布，E(X)=E(X),E(S2)=D(X),E(Ak)=k=E(Xk),即样本均值又，样本方差S?,样本k阶矩Ak分别是总体均值E(X),方差D(X),总体k阶矩k的

20、无偏估计，AAAA(2)有效性假设E(1)=E(2)=,而D(01)D(2),那么称估计量/比32有效.PA(3)一致性(相合性)假设n-8时e,那么称估计量。是参数e的相合估计量.二.区间估计1.求参数的置信水平为Irx的双侧置信区间的步骤(1)寻找样本函数w=w(x1,Xz,xn,e),其中只有一个待估参数。未知,且其分布完全确定.(2)利用双侧分位点找出W的区间(a,b),使PaWb=l-.由不等式aWb解出6那么区间A)为所求.2.单个正态总体待估参数其它参数W及其分布2* U N (OJ)ynJlCy2 未知/，t (n-l)Syn22 未知-2(n-l)3.两个正态总体(1)均值差-z其它参数W及其分布置信区间(X=Za)W(X士-，。/2(-1)(n-i)S2(n-l)S2)Za22(w-D-2(w-1)其中SW等符号的意义见第六章二.3.t(n+n2-2)置信区间（2）,2未知,W=黑号81111,1121）,方差比6262的置信区间为b;/O*;1/注意:对于单侧置信区间,只需将以上所列的双侧置信区间中的上（下）限中的下标2改为另外的下（上）限取为-8（8）即可.