微分几何复习学生用.doc

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1、 微分几何复习题 一、填空题1. 向量具有固定方向，则= 。2. 非零向量满足的充要条件是 。3. 若向量函数满足，则具有固定 。4. 曲线的正常点是指满足 的点.5. 曲线在任意点的切向量为 。6. 曲线在点的切向量为 。7. 曲线在点的切向量为 。 8. 设曲线在P点的切向量为，主法向量为，则过P由确定的平面是曲线在P点的 。9. 若是曲线的正则点，则曲线在的密切平面方程是 。10. 曲线在点的单位切向量是，则曲线在点的法平面方程是 。11. 一曲线的副法向量是常向量，则这曲线的挠率 。 12. 曲线在t = 1点处有，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率= 。13. 曲线x=cost，y

2、sint, z=t在t=0处的切线方程是 。14. 曲线的主法向量的正向总是指向 。15. 空间曲线为一般螺线的充要条件是它的副法向量 。16. 曲线的曲率是 。17. 曲线的挠率是 。18. 一般螺线的曲率和挠率的关系是 。19. 曲率为0的曲线是 , 挠率为0的曲线是 。20. 设有曲线，当时的切线方程为 。21. 设有曲线，当时的切线方程为 。22. 曲线在点的单位切向量是，则曲线在点的向量式法平面方程是 。23. 曲线在点的主法向量是，则曲线在P点的从切平面方程是 。24. 设曲线，其中s为曲线的自然参数，则 。25. 半径为1的圆的挠率= 。26. 曲线在P点的挠率0 时，表明曲线

3、由下往上经过P点时成右旋曲线.27. 向量函数=(t)对任意t有(t)(t)的充要条件是 。28. 已知曲线=(t)在P点的单位切向量为=(0,1,0)，单位主法向量=(0,0,1)，则曲线在P点的单位副法向量= 。29. 曲面上曲线的弧长，交角，曲面域的面积等都是的 的不变量。31. 若点(u0, v0)为曲面的正则点，则在(u0, v0)满足 。32. 曲面在点的法线方程是 。33. 如果曲线族和曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为 。34. 已知曲面的第一类基本量为E、F、G，则两方向du:dv与垂直的充要条件是 。35. 对曲面有,则曲面上曲线u=u(t),v=v(t)从到t (t )

4、的弧长s = 。36. 若曲面在(0，1)点处的第二基本形式，则在(0，1)点处， 。其中为曲面的单位法向量。37. 已知曲面的第二类基本量L、M、N，则曲面上渐近曲线的微分方程是 。38. 挠率 的曲线其副法向量是常向量。 39. 曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是40. 曲面上一曲线，如果它每一点的切方向都是主方向，则称该曲线为 。41. 半径为R的球面的高斯曲率K= 。42在曲面上圆点，其第一、第二类基本量满足关系 。43曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件是 。44曲面上的曲纹坐标网为正交网的充要条件是 。45极小曲面是指 的曲面。46曲面上一点的主曲率是曲面在这点所有方向的 的最

5、大值和最小值.47两个曲面之间的变换是保角变换的充要条件是 。48设曲面在点P处有两个同号的主曲率，则按高斯曲率的符号分类，此点是曲面的 。49法曲率的最大值和最小值正好是曲面的 曲率, 使法曲率达到最大值和最小值的方向是曲面的 方向.50距离单位球面球心距离为d (0d0； B. 0； C. = 0； D. 符号不确定。34. 曲面是其单位法向量，下列第二类基本量的计算中，不正确的是 ( )A. ； B. ； C. ；D. 。35. 下列选项中不是曲面的内蕴量的是 ( ) A. 两曲线的夹角； B.曲线的弧长；C. 曲面域的面积； D.在一点沿一方向的法曲率。36. 若在曲面上某点处有EFG

6、LMN，且L、M、N不全为零，则这点叫曲面的 ( )A. 抛物点； B. 平点； C. 圆点； D. 双曲点。37. F=M=0的充要条件是曲纹坐标网为 ( )A. 正交网； B. 共轭网； C. 曲率线网； D. 渐近网。38. 若在曲面上一点处有，则这点是曲面的 ( )A. 椭圆点； B. 平点； C. 圆点； D. 脐点。三、判断下列各题，正确的在题后括号内打“”，错的打“”。1. 曲线上的正常点是指曲率不为零的点。 ( )2. 空间曲线的曲率与挠率完全确定了空间曲线的形状. ( )3. 向量函数平行于固定平面的充要条件是 ( )4. 在几何上副法向量总是指向曲线的凹侧. ( )5.

7、曲线的主法向量正向总是指向曲线的凹侧. ( )6. 曲线=(s)为一般螺线的充要条件为. ( )7. 一般螺线的主法线与固定直线一定垂直. ( )8. 空间曲线穿过密切平面和从切平面, 不穿过法平面. ( )9. 空间曲线总穿过法平面和密切平面, 但从不穿过从切平面. ( )10. 空间曲线穿过法平面和从切平面, 不穿过密切平面. ( )11. 圆柱螺线的曲率和挠率都是常数. ( )12. 平面曲线的曲率一定为零. ( )13. 圆的曲率和挠率特征是k=常数，=0. ( )14. 球面曲线的法平面通过球的中心. ( )15. 平面曲线的密切平面一定存在唯一. ( )16. 在光滑曲线的正常点处

8、切线存在而且唯一. ( )17. 若曲线的主法线与固定方向成定角,则该曲线为一般螺线. ( )18. 只有一个密切平面的曲线是挠率等于零的曲线. ( )19. 密切面固定的曲线是挠率等于零的曲线. ( )20. 在空间曲线的非逗留点处，密切平面存在且唯一. ( )21. 空间曲线的曲率与挠率完全确定了空间曲线的形状. ( )22. 平面曲线挠率特征为=0。 ( )23. 一般螺线的主法线与固定直线一定垂直. ( )24. 在光滑曲线的正常点处，切线存在而且唯一. ( )25. 曲面上的曲纹坐标网为曲率线网的充要条件为F=M=0. ( )26. 曲面上的曲纹坐标网为渐进网的充要条件为L=N=0

9、 ( )27. 在曲面的非脐点处，最多有二个渐近方向. ( )28. 在曲面的非脐点处，恰有二个渐近方向. ( )29. 在曲面的脐点处，最多有二个主方向. ( )30. 在曲面的非脐点处，有且仅有二个主方向. ( )31. 曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件为L=N=0. ( )32. 如果曲面上有直线，则它一定是曲面的渐近线. ( )33. 如果曲面上有直线，则它一定是曲面的曲率线. ( )34. 曲面的第一基本型是正定的. ( ) 33. 设曲面的第一基本形式为I=Edu2+Gdv2，则u曲线和v曲线的位置关系为正交. ( )34. I=2du2+6dudv+3dv2可以作为曲面的第

10、一基本形式. ( )35. 设曲面的第一基本形式为I=2du2+5dv2，则曲纹坐标网为共轭网. ( )36. 设曲面, 如果，则曲面上的所有曲线都是曲率线. ( ) 四、解答题1. 求圆柱螺线,在(1,0,0)的切线和法平面。2. 将圆柱螺线化为自然参数表示.3. 求圆柱螺线=a, =a,= b在任意点的密切平面的方程。4. 计算正螺面的第一、第二基本量 6.设曲面的第二基本形式为, 求此曲面上的渐近曲线。 7. 确定螺旋面=u, u, bv上的曲率线.五、计算题1. 求旋轮线的一段的弧长 2. 求圆柱螺线，的曲率与挠率。六、证明题1. 证明圆柱螺线的切线和z轴作固定角。2. 证明曲线x=1+3t+2,y=2-2t+5,z=1-为平面曲线，并求出它所在的平面方程 。3. 证明曲面的所有点为抛物点