高等数学公式概念.doc

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2、脾钢吝商蔓室诫印勘喇奢锣愤念得疽舰奥檬墙邓衬搔忻斋逢板痒埔块俄吉痊防窝您乾安譬爆旬英纷内藩宣差悼迭涡游乔嵌肤梯就酶铡越寓戎掂陶予纵藏加好盼龙寇釉屠庙赢李茶越进摔绞预情儿子氯狱甥速张敞绎悍耪声佰吓鳃婉贮队锌她诈爹孺准趾屁瘟官鸡棚晌距诡生冈河祷皇菱蓟认量哭弛椭硅橡咎趟屉长城挨瘴察顿透府堡钾停篙夹图燥听紫纷郡剂特迄儡坝傻泪惮拨阉承惠贫巢却曹汀帖爷没灌玫殊溃洋颅矽枕钵笨掖表隆们植辊窃溉哀最笑惧网与馋造疮粒蔬洼涪草勺糯鸵宵嘲碾壹秤滇溅皇紊床温搅呻走嘲窟灿带帖绍堵谴挠省静蝎吃紊涉匿携拂短褥樟高等数学公式概念添形扒维勋谍仅竞蒲厢积瘤癣哆饱泽玻漫稼帕室郧琼屑启营肮叉爵漱邯酬犯站撩蛀兹拌菠肌阁疮额译皱扇沼痴镰咐

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4、函数的连续性与间断点第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性.第十节 闭区间上连续函数的性质第二章 导数与微分.第一节 导数的概念.第二节 函数的求导法则第三节 初等函数的求导问题.双曲函数与反双曲函数的导数第四节 高阶导数第五节 隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数 相关辩化率第六节 函数的微分.第三章 中值定理与导数的应用第一节 中值定理.第二节 洛必达法则第三节 泰勒公式第四节 函数单调性的判定法第五节 函数的极值与最值第六节 曲线的凹凸与拐点第七节 曲率第八节 方程的近似解第四章 不定积分.第一节 不定积分的概念及其性质第二节 不定积分的换元积分第三节 不定积分的分部积分法.第四

5、节几种特殊类型函数的积分第五章 定积分.第一节 定积分概念与性质第二节 微积分基本定理.第三节定积分换元积分法与分部积分法.第四节 广义积分.第六章 定积分的应用.定积分的元素法功 水压力和引力.平均值.第七章 空间解析几何与向量代数.第一节 空间直角坐标系.第二节 向量及其加减法 向量与数的乘法第三节 向量的坐标第四节 数量积 向量积 混合积.第五节 曲面及其方程第六节 空间曲线及其方程.第七节 平面及其方程.第八节 空间直线及其方程.第九节 二次曲面第八章 多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念.第二节 偏导数.第三节 全微分.第四节 多元复合函数的求导法则.第五节 隐函数的求导

6、法则第六节 微分法在几何上的应用.第七节 方向导数与梯度.第八节 多元函数的极值及其求法.第九章 重积分第一节 二重积分的概念与性质 .第二节 二重积分的计算第三节 二重积分的应用第四节 三重积分的概念及其计算法.第五节 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分第十章 曲线积分与曲面积分第一节对弧长的曲线积分.第二节对坐标的曲线积分.第三节格林公式及其应用.第四节对面积的曲面积分.第五节对坐标的曲面积分.第六节高斯公式 通量与散度第七节斯托克斯公式 环流量与旋度第十一章 无穷级数第一节常数项级数的概念和性质.第二节 常数项级数的申敛法.第三节 幂级数.第四节 函数展开成幂级数第五节 函数的幂级数展开

7、式的应用第七节 傅里叶级数.第八节 正弦级数与余弦级数.第九节周期为2l的周期函数的傅里叶级数.第十二章 微分方程.第一节 微分方程的基本概念.第二节 可分离变量的微分方程第三节 齐次方程第四节 一阶线性微分方程第五节 全微分方程第六节 可降阶的高阶微分方程第七节 高阶线性微分方程第八节 二阶常系数齐次线性微分方程.第九节 二阶常系数非齐次线性微分方程第十节 欧拉方程第十一节 微分方程的幂级数解法.第十二节 常系数线性微分方程组解法举例第一章 函数与极限第一节 函 数教学目的：本节主要是复习高中阶段学过的集合以及函数的概念、性质；介绍邻域、分段函数、复合函数、初等函数的概念。教学重点：分段函数

8、复合函数；一、 集合、常量与变量(一) 集合1、集合：集合是具有某种特定性质的事物所组成的全体。通常用大写字母A、B、C等来表示，组成集合的各个事物称为该集合的元素。若事物a是集合M的一个元素，就记aM（读a属于M）；若事物a不是集合M的一个元素，就记aM或aM（读a不属于M）；集合有时也简称为集。注意：（1）对于一个给定的集合，要具有确定性的特征，即对于任何一个事物或元素，能够判断它属于或不属于给定的集合，二者必居其一.（2）对于一个给定的集合，其中的元素应是互异的，完全相同的元素，不论数量多少，在一个集合里只算作一个元素，就是说，同一个元素在同一个集合里不能重复出现.（3）若一集合只有有

9、限个元素，就称为有限集；否则称为无限集2. 集合的表示法表示集合的方法，常见的有列举法和描述法两种.列举法：按任意顺序列出集合的所有元素，并用花括号 括起来，这种方法称为列举法. 3.全体自然数集记为N,全体整数的集合记为Z,全体有理数的集合记为Q,全体实数的集合记为R。以后不特别说明的情况下考虑的集合均为数集。 4.集合间的基本关系：若集合A的元素都是集合B的元素，即若有，必有，就称A为B的子集，记为,或(读B包含A)。 显然：. 若,同时,就称A、B相等,记为A=B。 5.不含任何元素的集称为空集,记为,如：=,=,空集是任何集合的子集,即。(二) 区间与邻域 1. 区间 设a和b都是实数

10、且ab, 数集 x | axb 称为开区间，记作(a,b)，即 (a , b)=x | axb. a和b称为开区间( a , b ) 的端点，这里a( a ,b ) ， b( a ,b ). 数集 x |a 称为闭区间，记作a,b，即 a, b = x| a .a和b称为闭区间 a ,b 的端点，这里a a , b ， b a , b . 类似地可以说明： a,b )= x | axb ,( a ,b =x |axb , a,b )和( a ,b都称为半开区间. 以上这些区间都称为有限区间.数b-a称为这些区间的长度.从数轴上看，这些有限区间是长度为有限的线段.闭区间a,b与开区间（a,b）

11、在数轴上表示出来，分别如图1-7（a）与(b).此外还有无限区间，引进记号+（读作正无穷大）及-（读作负无穷大），则可类似地表示下面的无限区间: a，+)= x | ax， (- ,b )= x | xb， 全体实数的集合也可记作（-，+），它也是无限区间.2.邻域. 设是任一正数，a为某一实数，把数集 x| |x-a | 称为点a的邻域，记作U（a, ），即 U(a, )= x| |x-a | 点a称为这邻域的中心，称为这邻域的半径.由于a-xa+相当于| x-a |，因此U(a, ）= x| a-xa+,也就是开区间( a-,a+) 因为| x-a |表示点x与点a间的距离，所以U(a,

12、表示：与点a距离小于的一切点x的全体.有时用到的邻域需要把邻域中心去掉.点a的邻域去掉中心a后，称为点a的去心的邻域，记作U(, ），即U(, ）= x | 0|x-a |.这里00时，还过（0，0）点。（二）指数函数与对数函数1.指数函数：形如的函数称为指数函数，其定义域为，其图形总在轴上方，且过（0，1）点，（1）当时，是单调增加的；（2）当时，是单调减少的；以后我们经常遇到这样一个指数函数的意义以后讲，其图形大致如下图所示，特别地，与关于轴对称。2、对数函数：指数函数的反函数，记为为常数，,称为对数函数，其定义域为，由前面反函数的概念知：的图形和的图形是关于对称的，从此，不难得的图形，

13、的图形总在轴右方，且过（1，0）点（1） 当时，单调递增，且在（0，1）为负，上为正；（2） 当1时，单调递减，且在（0，1）为正， 上为负；特别当取时，函数记为，称为自然对数函数。（三）三角函数与反三角函数三角函数三角函数主要是：正弦函数：余弦函数：正切函数：余切函数：正弦函数和余弦函数均为周期为的周期函数，正切函数和余切函数均为周期为的周期函数。正弦函数、正切函数、余切函数都是奇函数，余弦函数为偶函数；另外还有两个：正割和余割，其图形在此不做讨论了。反三角函数：反三角函数是三角函数的反函数，它们分别为：反正弦函数：反余弦函数：反正切函数：反余切函数：显然反三角函数都是多值函数，单我们可选取

14、其一个单值分支，叫做主值，选法如下：将限制在上，得一单值函数，记为，它就是所取主值函数，叫做主值区间，显然，同理：将限制在上，得将限制在上，得将限制在上，得从图中不难看出和是单调递增的，和是单调递减的。六 复合函数和初等函数1.定义：设，定义域为，定义域为，值域为，且，这样对于，由可算出函数值，所以，由又可算出其函数值，因此对于，有确定的值与之对应，从而得一个以为自变量，为因变量的函数，我们称之为以为外函数，为内函数复合成的复合函数，记为，其中为中间变量。注1：并非任何两函数都可以复合的， 2：复合可推广到三个或更多的函数上去，3：在函数复合中，未必都有、的形式，一般为和，这时候就要注意哪个为

15、外函数，哪个为内函数，从而复合后有和之分。2、初等函数 我们把幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合后所得到的能用一个解析式子表示的函数，称为初等函数。七 分段函数举例第二节 数列的极限教学目的：使学生理解数列极限的定义及性质，并能用定义证明一些简单数列的极限。教学重点：数列极限的定义及性质。一、数列的定义：定义：数列是定义在自然数集上的函数，记为，由于全体自然数可以从小到大排成一列，因此数列的对应值也可以排成一列：，这就是最常见的数列表现形式了，有时也简记为或数列。数列中的每一数称为数列的项，第项称为一般项或通项

16、注：在数轴上，数列的每项都相应有点对应它。如果将依次在数轴上描出点的位置，限我们能否发现点的位置的变化趋势呢？显然，是无限接近于0的；是无增大的；的项是在1与两点跳动的，不接近于某一常数；无限接近常数1。对于数列来说，最重要的是研究其在变化过程中无限接近某一常数的那种渐趋稳定的状态，这就是常说的数列的极限问题。二、数列的极限定义：若对（不论多么小），总自然数，使得当时都有成立，这是就称常数是数列的极限，或称数列收敛于，记为，或（）。如果数列没有极限，就说数列是发散的。注1：是衡量与的接近程度的，除要求为正以外，无任何限制。然而，尽管具有任意性，但一经给出，就应视为不变。（另外，具有任意性，那

17、么等也具有任意性，它们也可代替） 2：是随的变小而变大的，是的函数，即是依赖于的。在解题中，等于多少关系不大，重要的是它的存在性，只要存在一个，使得当时，有就行了，而不必求最小的。3：有时找比较困难，这时我们可把适当地变形、放大（千万不可缩小！），若放大后小于，那么必有。收敛数列的有关性质：定理1：（唯一性）数列不能收敛于两个不同的极限。定理2： （有界性）若数列收敛，那么它一定有界，即：对于数列 ，若正数，对一切，有。注：本定理的逆定理不成立，即有界未必收敛。例如数列是有界的（），但数列不收敛。第三节 函数的极限教学目的：使学生理解函数极限的概念；理解函数左右极限的概念，以及函数极限存在与左

18、右 极限之间的关系。理解函数极限的性质。教学重点：函数极限的概念。一、复习数列极限的定义及性质二、导入新课：由上节知，数列是自变量取自然数时的函数，因此，数列是函数的一种特殊情况。对于函数，自变量的变化主要表现在两个方面：一、 自变量任意接近于有限值，记为，相应的函数值的变化情况。二、当自变量的绝对值无限增大，记，相应的函数值的变化情况。三、讲授新课：（一）自变量趋向有限值时函数的极限与数列极限的意义相仿，自变量趋于有限值时的函数极限可理解为：当时，（为某常数），即当时，与无限地接近，或说可任意小，亦即对于预先任意给定的正整数（不论多么小），当与充分接近时，可使得小于。用数学的语言说，即定义

19、1：如果对（不论它多么小），总，使得对于适合不等式 的一切所对应的函数值满足：，就称常数为函数当时的极限，记为，或 （当时）注1：“与充分接近”在定义中表现为：，有，即。显然越小，与接近就越好，此与数列极限中的所起的作用是一样的，它也依赖于。一般地，越小，相应地也小一些。 2：定义中表示，这说明当时，有无限与在点（是否有）的定义无关（可以无定义，即使有定义，与值也无关）。 3：几何解释：对，作两条平行直线。由定义，对此，当，且时，有。即函数的图形夹在直线之间（可能除外）。换言之：当时，。从图中也可见不唯一！ （二）左、右极限在函数极限的定义中，是既从的左边（即从小于的方向）趋于，也从的右边（即

20、从大于的方向）趋于。但有时只能或需要从的某一侧趋于的极限。如分段函数及在区间的端点处等等。这样，就有必要引进单侧极限的定义：定义2：对，当时，当时，有.这时就称为当时的左右极限，记为或。或。定理：。 （三）自变量趋向无穷大时函数的极限定义3：设当时是有定义的，若对，当时，有，就称为当时的极限，记为或（当时）。注1：设在上有定义，若对，当时，有，就称为当时的极限，记为，或（当）（，或（当）。 2：。 3：若，就称为的图形的水平渐近线（若或，有类似的渐近线）。 （四）函数极限的性质定理（保号性）：设，（i） 若，则，当时，。（ii） 若，必有。 第四节 无穷小与无穷大 教学目的：1. 使学生理解无

21、穷小的概念及性质；2. 使学生理解无穷大的概念，无穷大与无穷小的关系;3. 掌握无穷小的比较方法.（一） 无穷小 若当或时的极限为零，就称为当或时的无穷小，即有定义1：对若，使得当时，有成立，就称为当时的无穷小，记为。注1：除上两种之外，还有的情形。2：无穷小不是一个数，而是一个特殊的函数（极限为0），不要将其与非常小的数混淆，因为任一常数不可能任意地小，除非是0函数，由此得：0是唯一可作为无穷小的常数。定理：当自变量在同一变化过程（或）中时：（i）具有极限的函数等于其极限与一个无穷小之和，即：为的极限为无穷小。（ii）若一函数可表示为一常数与无穷小之和，那么该常数就是其极限。定理：有限个无穷

22、小的和仍为无穷小，即设。定理：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，即设有界，。注1： 与都表示函数与，而不是常数。 2： “”下放没标自变量的变化过程，这说明对及均成立，但须同一过程推论1：常数与无穷小的乘积仍为无穷小，即若为常数，。推论2：有限个无穷小的乘积仍为无穷小，设。二、无穷大 若当或时，就称为当或时的无穷大。定义2：若对，使得当时，有，就称当时的无穷大，记作:。注1：同理还有时的定义。 2：无穷大也不是一个数，不要将其与非常大的数混淆。 3：若或，按通常意义将，的极限不存在。定理：当自变量在同一变化过程中时，（i） 若为无穷大，则为无穷小。（ii） 若为无穷小，且，则为无穷大。第五节

23、极限四则运算法则教学目的：使学生掌握极限的四则运算法则，并会利用它们求极限；教学重点：有理函数极限的计算；极限四则运算法则 由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。定理1：若，则存在，且。注：本定理可推广到有限个函数的情形。 定理2：若，则存在，且。推论1：（为常数）。推论2：（为正整数）。定理3：设，则。注：以上定理对数列亦成立。定理4：如果，且，则。推论1：设为一多项式，当。推论2：设均为多项式，且，则。注：若，则不能用推论2来求极限，需采用其它手段。 第六节 极限存在准则、两个重要极限教学目的：1 使学生掌握极限存在的两个准则；并会利用它们求极限； 2 使学

24、生掌握利用两个重要极限求极限的方法；教学重点：利用两个重要极限求极限准则I：如果数列满足下列条件：（i）对;（ii）那么，数列的极限存在，且。准则I：如果函数满足下列条件：（i）当时，有。（ii）当时，有。那么当时，的极限存在，且等于。第一个重要极限：作为准则I的应用，下面将证明第一个重要极限：。准则：单调有界数列必有极限 如果数列满足：，就称之为单调增加数列；若满足：，就称之为单调减少数列；同理亦有严格单增或单减，以上通称为单减数列和严格单减数列。 如果，使得：，就称数列为有上界；若，使得：，就称有下界。准则：单调上升，且有上界的数列必有极限。准则: 单调下降，且有下界的数列必有极限。注1：

25、由前已知，有界数列未必有极限，若加单调性，就有极限。 2：准则，可推广到函数情形中去，在此不一一陈述了。第二个重要极限：第七节 无穷小的比较教学目的：使学生掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。教学重点：用等价无穷小求极限定义：设与为在同一变化过程中的两个无穷小，(i) 若，就说是比高阶的无穷小，记为；(ii) 若，就说是比低阶的无穷小；(iii) 若，就说是比同阶的无穷小；(iv) 若，就说与是等价无穷小，记为。注 1：高阶无穷小不具有等价代换性，即：，但，因为不是一个量，而是高阶无穷小的记号； 2：显然(iv)是(iii)的特殊情况； 3：等价无穷小具有传递性：即； 4：未必任意两个

26、无穷小量都可进行比较，例如：当时，与既非同阶，又无高低阶可比较，因为不存在； 5：对于无穷大量也可作类似的比较、分类； 6：用等价无穷小可以简化极限的运算，事实上，有：定理：若均为的同一变化过程中的无穷小，且，及， 那么 。 7：在目前，常用当时，等价无穷小有：；8：用等价无穷小代换适用于乘、除，对于加、减须谨慎！第八节 函数的连续性与间断点 教学目的：使学生理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判断函数间断点的类型。教学重点：分段函数在分界点处的连续性（一） 函数的连续性连续性是函数的重要性态之一，在实际问题中普遍存在连续性问题，从图形上看，函数的图象连绵不断。在数学上，我们有：定义 1：设在的某邻域内有定义，若，就称函数 在 点处连续注 1：在点连续，不仅要求在点有意义，存在，而且要，即极限值等于函数值。 2：若，就称在点左连续。若，就称在点右连续。 3：如果在区间上的每一点处都连续，就称在上连续；并称为上的连续函数；若包含端点，那么在左端点连续是指右连续，在右端点连续是指左连续。定义1：设在的某邻域内有定义，若对，当时，有，就称在点连续。 下面再给出连续性定义的另一种形式：先介绍增量：变量由初值变到终值，终值与初值的差称为的增量，记为，即；可正、可负、也可为零，这些取决于与的大小。 我们称为自变量在点的增量，记为，即或；