球面三角实用教案.pptx

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1、第一章球面三角球面三角,主要研究(ynji)球面上由三个大圆弧相交围成的球面三角形及其性质、解算等问题,为学习航海专业课程提供必要的数学基础。第1页/共67页第一页，共67页。第一节球面几何一、球、球面 在空间与一定(ydng)点等距离的点的轨迹称为球面（spherical surface）。包围在球面中的实体称为球（sphere）,这一定(ydng)点称为球心。第2页/共67页第二页，共67页。过球心与球面相交(xingjio)的直线段称为球直径。球心与球面上任意一点间的距离(jl)称为球半径R。R同球的半径和直径(zhjng)相等。同理,半径或直径(zhjng)相等的球全等。第3页/共67

2、页第三页，共67页。二、球面(qimin)上的圆任意一平面和球面(qimin)相截的截痕是圆。平面(pngmin)通过球心时，所截成的圆称为大圆（great circle），它的一段圆周叫大圆弧。平面不通过球心的圆称为(chn wi)小圆（small circle），它的一段圆周叫小圆弧。第4页/共67页第四页，共67页。推理(tul)：在同球或等球中，与球心的距离相等的截面所截的圆也相等，与球心的距离不等的两个截面所截的圆不等，距球心较近的截面所截的圆较大，反之较小。第5页/共67页第五页，共67页。三、大圆的性质 1大圆的圆心与球心(qixn)重合。2 大圆的直径(zhjng)等于球直径(

3、zhjng)，半径等于球半径。3大圆等分球面和球体。4同球上的两个大圆平面一定相交，交线是它们的直径(zhjng)，并且两大圆互相平分。第6页/共67页第六页，共67页。5过球面上不在同一直径两端上的两个(lin)点，能作且仅能作一个大圆，却能作无数个小圆。6过在同一直径(zhjng)两端上的两个点，则能作无数个大圆而不能作小圆。第7页/共67页第七页，共67页。7小于180的大圆弧（劣弧）是球面上两点间的最短球面距离。因此，两点间的球面距离应用(yngyng)大圆弧度量。AOCAOB AOC+COD+GOB+AB AC+CD+GBBDG第8页/共67页第八页，共67页。四、轴、极、极距、极线

4、 垂直于任意(rny)圆面的球直径称为该圆（大圆或小圆）的轴（axis）。PP 垂直于同一轴可有数个平行圆，其中只有一个通过(tnggu)球心的是大圆，其余的都是小圆。轴的两个(lin)端点称为极(pole)，故每个圆均有两个(lin)极。O第9页/共67页第九页，共67页。从极到圆(大圆(d yun)或小圆)弧上任一点沿大圆(d yun)弧的球面距离叫极距(polar distance),又叫球面半径。abcdPPOABCD 极距为90的大圆弧又称为(chn wi)该极的极线。第10页/共67页第十页，共67页。球面上一点到某一大圆弧上任意两点间的球面距离都是90，则这一点就是(jish)该

5、大圆的极而这个大圆则是该点的极线。极线必定是大圆弧。abcdPPOABCD第11页/共67页第十一页，共67页。其交点(jiodin)叫球面角的顶点，两大圆弧称为球面角的边。五、球面角及其度量(dling)PPOABCD 球面(qimin)上两大圆弧相交构成的角称为球面(qimin)角(spherical angle)，第12页/共67页第十二页，共67页。球面角的三种度量方法(fngf)：1切于顶点大圆弧的切线夹角CPD；PPOABDC 2顶点(dngdin)的极线被其两边大圆弧所截的弧长AB；3大圆弧AB 所对的球心(qixn)角AOB。第13页/共67页第十三页，共67页。baoBA六、

6、圆心角相等(xingdng)的小圆弧与大圆弧之比圆心角相等的小圆弧与大圆弧之比等于(dngy)COS纬度PPO sinpa=cos（90pa）cosAa cos纬度ab/ao=AB/AO圆心角（弧度）ab/AB ao/AOao/aO sinaOo 圆心角AOBaob第14页/共67页第十四页，共67页。七、两大圆极之间的大圆弧所对的球心(qixn)角等于该两大圆面的两面角。90BODAOB90BOD DOEAOB DOE第15页/共67页第十五页，共67页。第二节球面(qimin)三角形一、球面(qimin)三角形的定义在球面(qimin)上由三个大圆弧围成的三角形称为球面(qimin)三角形

7、sphericaltriangle）。第16页/共67页第十六页，共67页。球面(qimin)三角形的三个角和三条边称为球面(qimin)三角形的六要素。航海上讨论的球面(qimin)三角形的六要素均大于0，而小于180，又称其为欧拉球面(qimin)三角形。第17页/共67页第十七页，共67页。二、球面(qimin)三角形分类球面三角形分为直角(zhjio)、直边、等腰、等边、初等和任意三角形。1球面直角(zhjio)三角形和球面直边三角形 至少有一个角为90的三角形称为球面直角(zhjio)三角形。至少有一个边为90的三角形称为球面直边三角形。第18页/共67页第十八页，共67页。2球面

8、qimin)等腰三角形和球面(qimin)等边三角形 有两边或两角相等的三角形称为球面(qimin)等腰三角形。若三边或三角都相等的三角形称为球面(qimin)等边三角形。第19页/共67页第十九页，共67页。3球面初等三角形 三个边相对其球半径甚小的三角形称为球面小三角形。只有(zhyu)一个角及其对边相对球半径甚小的三角形称为球面窄三角形。两者统称为球面初等三角形 第20页/共67页第二十页，共67页。4球面任意三角形 凡不具备上述(shngsh)特殊条件的球面三角形称为球面任意三角形。第21页/共67页第二十一页，共67页。三、球面(qimin)三角形的关系1.全等球面三角形在同球或等

9、球上，边角对应相等，且排列顺序(shnx)相同的三角形。全等的条件有下列四种情况：（1）二边及其夹角对应相等；（2）二角及其夹边对应相等；（3）三边对应相等；（4）三角对应相等。第22页/共67页第二十二页，共67页。2.相似球面(qimin)三角形在半径不同的球面(qimin)上，边角度数对应相等的三角形。3.对称球面(qimin)三角形4.极线球面(qimin)三角形球面(qimin)三角形的三个顶点的极线所构成的三角形。内、外第23页/共67页第二十三页，共67页。原三角形与其(yq)极线三角形有如下关系：（1）原三角形与其(yq)极线三角形的关系是相互的。即：原三角形的顶点是极线三角形

10、对应边的极，极线三角形的顶点是原三角形对应边的极。（证明）（2）原三角形的边与其(yq)极线三角形对应的角互补。原三角形的角与其(yq)极线三角形对应的边互补。（证明）第24页/共67页第二十四页，共67页。四、球面(qimin)三角形的性质1.球面三角形与三面角的关系球面三角形的角是三面角的三个二面角；球面三角形的边与所对应(duyng)的三面角的面角相等。2.球面三角形的每一边必大于0而小于180，三边之和大于0 而小于360。3.球面三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。第25页/共67页第二十五页，共67页。4.球面三角形的每一角必大于0 而小于180，三角和必大于180 而小

11、于540。5.球面三角形三角之和超出180 的部分称为球面角盈（或球面剩余），以E表示，即：EAB+C180 6.球面三角形两角之和减去第三角小于180。7.球面三角形的外角小于不相邻的两内角的和而大于它们之差。8.同一球面三角形中对等边的角相等，对等角的边也相等。9.在任意球面三角形中对大角(d jio)的边较大，对大边的角也较大。第26页/共67页第二十六页，共67页。总结上述性质，可得一个(y)球面三角形的成立条件为：1.当给定了球面三角形的三个边时：（1）任一边应大于0，小于180；（2）三边之和大于0，小于360；（3）二边之和大于第三边或二边之差小于第三边。2.当给定了球面三角形的

12、三个角时：（1）任一角应大于0，小于180；（2）三角之和大于180，小于540；（3）二角之和减去第三角小于180 。3.若给定球面三角形的两个角及其夹边或两个边及其夹角，则仅需满足每一个角和每一个边大于0，小于180 的条件，球面三角形都成立。4.若给定球面三角形的两个角及其一个角的对边，或两个边及其一边的对角(du jio)，则该三角形是否成立，情况比较复杂。第27页/共67页第二十七页，共67页。第三节球面(qimin)三角形的边角函数关系 一、任意球面三角形 1余弦公式（cosine formula）第28页/共67页第二十八页，共67页。边的余弦公式 bac 记忆(jy)口诀：一边

13、的余弦等于其它两边余弦的乘积，加上这两边正弦及其夹角余弦的乘积。cos a=cos b cos csin b sin c cosA第29页/共67页第二十九页，共67页。角的余弦公式 bac 记忆口诀：一角的余弦等于(dngy)其它两角余弦的乘积冠以负号加上这两角正弦及其夹边余弦的乘积。cosA-cosBcosCsinBsinCcosa第30页/共67页第三十页，共67页。2正弦公式（sine formula）记忆口诀：边的正弦与其(yq)对角的正弦成比例。Sina/sinA=sinb/sinB=sinc/sinC第31页/共67页第三十一页，共67页。3、正余弦公式（五联公式）将cosa=c

14、osbcosc+sinbsinccosA 代入cosc=cosacosb+sinasinbcosC中，得cosc=(cosbcosc+sinbsinccosA)cosb+sinasinbcosC展开并整理，可得sinacosC=sinbcosc-cosbsinccosA上式称为边角正余弦公式（或五联公式），表示三个边和两个角的关系。读成：相邻边角正余弦的乘积等于邻边第三(d sn)边正余弦之积减去邻边第三(d sn)边余正弦及其夹角余弦之积。第32页/共67页第三十二页，共67页。通过极线三角形原理，前式可改写为：sinAcosc=sinBcosC+cosBsinCcosa上式称为角边正余弦公

15、式。它表示一个球面三角形三个角和两个边的关系。可读成：相邻角边正余弦的乘积等于邻角第三(d sn)角正余弦之积加上邻角第三(d sn)角余正弦及其夹边余弦之积。正余弦公式一般不用来求解，而是用以导出其它球面三角形公式。第33页/共67页第三十三页，共67页。4余切公式（四联公式）根据(gnj)角边正余弦公式sinBcosa=sinCcosA+cosCsinAcosb用sinA除等式两边，得sinBcosa/sinA=sinCcosA/sinA+cosCsinAcosb/sinAsinB/sinA=sinb/sina所以sinbcosa/sina=sinCcosA/sinA+cosCsinAco

16、sb/sinA即ctgasinb=ctgAsinC+cosCcosb称为余切公式（或四联公式）第34页/共67页第三十四页，共67页。记忆(jy)口诀：外边余切内边正弦等于外角余切内角正弦加上内边内角余弦之积。外边(wi bian)内边外角(wi jio)bacACB内角ctgasinb=ctgAsinC+cosbcosC它表示在一个球面三角形中相连起来的两个边和两个角的关系。第35页/共67页第三十五页，共67页。（1）已知两边(lingbin)一夹角解球面三角形 例1-3-1：在球面三角形中，已知a11831.1，b5020.6，C10040.8求c、A。解:根据已知条件(tiojin)写

17、出边的余弦公式,利用计算器解算：cosccosacosbsinaisnbcosC c=115 28.6外边(wi bian)内边外角bacACB内角ctgasinb=ctgAsinC+cosbcosCctgA=ctgasinbcscC-cosbctgC A=106 58.6第36页/共67页第三十六页，共67页。习题一习题一1.1.1.1.已知赤道上的长度为已知赤道上的长度为200200200200海里，与其圆心角相等的海里，与其圆心角相等的45454545纬纬度等纬圈的弧长等于多少度等纬圈的弧长等于多少(dusho)(dusho)(dusho)(dusho)？2.2.2.2.设某船从赤道上某

18、点起航设某船从赤道上某点起航,沿赤道向东航行沿赤道向东航行60606060赤道里（赤道里（1 1 1 1赤道里赤道上赤道里赤道上1 1 1 1分经度的弧长）后转向沿子午线向北航分经度的弧长）后转向沿子午线向北航行行3600360036003600海里（等于纬度海里（等于纬度60606060）,再转向沿等纬圈向西航行再转向沿等纬圈向西航行60606060赤道里后转向沿子午线向南航行赤道里后转向沿子午线向南航行3600360036003600海里（等于纬度海里（等于纬度60606060），求船舶最后到达的纬度？起航点与到达点相距多，求船舶最后到达的纬度？起航点与到达点相距多少少(dusho)(du

19、sho)(dusho)(dusho)赤道里？赤道里？第37页/共67页第三十七页，共67页。3.已知球面(qimin)三角形a120 12.3，c100 53.4，B60 32.6，求b？，C？4.已知球面(qimin)三角形b71 42.6，c101 21.5，A95 12.6，求a？，B？第38页/共67页第三十八页，共67页。二、其它(qt)球面任意三角形公式1、纳比尔相似式第39页/共67页第三十九页，共67页。若已知两边及其夹角求另外(ln wi)两个角或已知两角及其夹边求另外(ln wi)两个边时，可利用上面四个公式。求地球上两点的子午线收敛差就需要用到纳比尔相似式。第40页/共6

20、7页第四十页，共67页。子午线收敛差是指船舶沿着大圆弧航行时，在起航(qhng)点时的航向为A1，沿着大圆弧航行到B点时则其航向为A2，航向变动量（A2A1）就是A、B两点的子午线收敛差。子午线收敛差产生的原因是因地面上各点的子午线相交于极点所致。第41页/共67页第四十一页，共67页。2、半角公式(gngsh)式中上式为半角正弦(zhngxin)公式第42页/共67页第四十二页，共67页。半角余弦公式(gngsh)、正切公式(gngsh)如下：第43页/共67页第四十三页，共67页。三、球面(qimin)直角三角形1、球面直角三角形定义2、球面直角三角形公式设在球面三角形ABC中，C90，则

21、sinC1，cosC0。将这样的关系代入球面任意三角形基本(jbn)公式（正弦公式、余弦公式、四联公式），可导出10个球面直角三角形基本(jbn)公式：sinasinAsinc 第44页/共67页第四十四页，共67页。3、球面(qimin)直角三角形公式的记忆法则bacC ABb a 90A90B 90c C90纳比尔法则(fz)（又称 大字法则(fz)）：任一要素的正弦，等于相邻二要素正切的乘积或等于相对二要素余弦的乘积。第45页/共67页第四十五页，共67页。4、球面(qimin)直角三角形解法球面(qimin)直角三角形的特有性质边角性质证明公式若直角边（a，b）在同一象限则斜边（c）小

22、于90，若两直角边不在同一象限则斜边大于90Cosc=cosacosb若斜边两邻角（A，B）在同一象限则斜边（c）小于90，若斜边两邻角不在同一象限则斜边大于90Cosc=ctgActgB直角边与其对角（a和A或b和B）在同一象限CosA=sinBcosaCosB=sinAcosb第46页/共67页第四十六页，共67页。球面直角三角形解的判定（1）当所求未知要素的函数是余弦、正切和余切时，可直接根据三角函数值的正或负决定所求未知要素是大于还是小于90。（2）当所求未知要素的函数是正弦时，可能只有(zhyu)一解，也可能有两解，所以必须选择适合于问题的解。选择解的原则可根据球面直角三角形的特有性

23、质来判定。第47页/共67页第四十七页，共67页。四、球面(qimin)直边三角形1、球面直边三角形定义2、球面直边三角形公式设在球面三角形ABC中，c90，则sinc1，cosc0。将这样的关系(gun x)代入球面任意三角形基本公式（正弦公式、余弦公式、四联公式），可导出10个球面直边三角形基本公式：sinAsinasinC 第48页/共67页第四十八页，共67页。3、球面(qimin)直边三角形公式的记忆法则BA90a90b90Cc90bacCAB纳比尔法则（又称 大字法则）：任一要素的正弦，等于相邻二要素正切(zhngqi)的乘积或等于相对二要素余弦的乘积，若等式右边为相同要素（均为边

24、或均为角）时冠以负号。第49页/共67页第四十九页，共67页。l4、球面(qimin)直边三角形解法l球面(qimin)直边三角形的特有性质边角性质证明公式若直边的两个邻角（A，B）在同一象限则直边的对角（C）大于90，若直边的两个邻角不在同一象限则直边的对角小于90CosC=cosAcosB若其它两边（a,b）在同一象限则直边的对角（C）大于90，若其它两边不在同一象限则直边的对角小于90CosC=ctgactgb直边的邻角（A或B）与它的对边（a或b）必在同一象限Cosa=sinbcosACosb=sinacosB第50页/共67页第五十页，共67页。球面(qimin)直边三角形解的判定（

25、1）当所求未知要素的函数是余弦、正切和余切时，可直接根据三角函数值的正或负决定所求未知要素是大于还是小于90。（2）当所求未知要素的函数是正弦时，可能只有一解，也可能有两解，所以必须选择适合于问题的解。选择解的原则可根据球面(qimin)直边三角形的特有性质来判定。第51页/共67页第五十一页，共67页。五、球面(qimin)初等三角形（一）、球面小三角形虽然三个边甚小，但三个角不会很小，其和接近180，且大于180。如果不要求过高的精度，在误差的允许范围内，球面小三角形可视为平面三角形而进行近似计算。在球面几何中已知，一个球面三角形三角之和大于180而小于540。平面三角形三角之和等于(dn

26、gy)180。它们之间的差值（A+B+C180）称为球面角盈E。第52页/共67页第五十二页，共67页。式中：S球面三角形的面积；a、b、c分别为三边的边长；R球半径。根据上式，当地面上的球面小三角形各边长均为15海里时，球面角盈近似为2；当各边长均为60海里时，球面角盈近似为27。航海上，在视野范围内观测(gunc)路标定位时，完全可将球面三角形视为平面三角形来对待。在精度要求较高的大地测量等专业中，忽视球面角盈是不许可的。第53页/共67页第五十三页，共67页。（二）、球面窄三角形ABC为球面窄三角形，其a边、A角甚小，显然，该三角形中，bcB Ce（Ce表示C的外角(wi jio)）C

27、Be （Be表示B的外角(wi jio)）所以可以用较简单的近似公式解球面窄三角形。A BC c b a第54页/共67页第五十四页，共67页。1、求角A的第一近似(jn s)公式 2、求b的第一近似公式直接求b是困难的，只能(zh nn)先求（cb），然后换算出b。第55页/共67页第五十五页，共67页。3、求角A的第二近似公式第一(dy)近似值往往不能满足要求，所以需要求第二近似值。4、求边b的第二近似(jn s)公式第56页/共67页第五十六页，共67页。5、球面窄三角形在航海(hnghi)上的应用在天文上，观测北极星高度求测者纬度改正量和观测北极星方位求罗经差时，就需要用到球面窄三角形

28、公式。在研究球面三角形误差时，也要用到球面窄三角形的近似公式。第57页/共67页第五十七页，共67页。六、球面(qimin)三角形的解法1、已知两角夹边解该三角形例题：在球面三角形中，已知a5044.0，B6912.0，C11555.4，求c。应用四联公式：边的外余切内正弦等于(dngy)角的外余切内正弦加上双内余弦之积ctgcsina=ctgCsinB+cosacosb第58页/共67页第五十八页，共67页。2、已知两边及其一对角解该三角形例题：在球面三角形中，已知a80，b60，A40，求B。应用(yngyng)正弦公式第59页/共67页第五十九页，共67页。3、已知三边解该三角形例题：在

29、球面(qimin)三角形中，已知a11240，b5827，c12227，求A。应用边的余弦公式第60页/共67页第六十页，共67页。航海(hnghi)实际应用求大圆航向和航程(hngchng)公式：(如图所示）第61页/共67页第六十一页，共67页。注意事项起始点纬度，无论南或北，一律(yl)取正值；到达点纬度，与起始点纬度同名时取正值，与起航点纬度异名时取负值；经差无论东或西，一律(yl)取正值；若按上述取值解算的cosS为正值，则航程S为小于5400nmile（90o）的值；若cosS为负值，则航程S为大于5400nmile（900）的值。第62页/共67页第六十二页，共67页。按上述取值

30、求取始航向时，求得的航向为用半圆周法表示的值（0o180o），其命名的第一个字母与起点纬度同名，第二个字母与经差同名。如果求得的函数(hnsh)值为负，则求出的CI为负值，应加上180o后再命名，将用半圆周法表示的航向换算为用圆周法表示即可。第63页/共67页第六十三页，共67页。拟由32o02.0S,115o10.0E到06o39.0N,79o30.0E驶大圆航线(hngxin)，求大圆始航向和大圆航程。第64页/共67页第六十四页，共67页。某轮由 13o24.6 13o24.6,1,1o o.E E航行(hngxng)(hngxng)到 6o6o.N,N,o3o3.E E驶大圆航线，求大圆航程、大圆始航向和到达航向。第65页/共67页第六十五页，共67页。求大圆航线求大圆航线(hngxin)顶点坐标顶点坐标大大圆圆航航线线顶顶点点（vertex）是是大大圆圆航航线线上上纬纬度度达达到到的的最最高高 点点，在在 该该 点点，大大 圆圆 弧弧 与与 子子 午午 线线 相相 交交 成成 直直 角角(zhjio),大大圆圆航航向向为为090o或或270o。顶顶点点坐坐标标可可按以下公式求取：按以下公式求取：第66页/共67页第六十六页，共67页。感谢您的观看(gunkn)！第67页/共67页第六十七页，共67页。