单因素方差分析的计算步骤.doc

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1、单因素方差分析的计算步骤假定实验或观察中只有一个因素（因子）A,且A有m个水平，分别记为Ai,A2,Am,在每一种水平下，做 n次实验，在每一次试验后可得一实验值，记做 xy表示在第j个水平下 的第i个试验值i（ =l,2；n;j #,2,m）结果如下表3.1：表3.1单因素方差分析数据结构表观测值水平AiA2Ani1X11X12Xlm2X22X22X2 monXnlXn2Xnm为了考察因素 A对实验结果是否有显著性影响，我们把因素 A的m个水平Ai , AT； Am看 成是个正态总体，而ij（ = 1,2厂;=1,2；）mx in jm看成是取自第j总体的第i个样品，因此，可设 xy j?2

2、 ）i = 1,2/ n;j =1,2m。=P + 严可以认为a jJ? j是因素A的第j个水平Aj所引起的差异。因此检验因素 A的各水平之间是否有显著的差异，就相当于检验：H o ： ai = J2二=am 二卩或者H 0 ：勺=& 2二 = 0具体的分析检验步骤是：（一）计算水平均值令Xj表示第j种水平的样本均值,njz XJ 】Ji I_n j(二)计算离差平方和在单因素方差分析中，离差平方和有三个，它们分别是总离差平方和，组内离差平方和以及组间平方和。首先，总离差平方和，戶n sst代表，贝ij,SSTZ (Xij -_ X)2式中，xij是第j种水平下的第i个观察值,nj表示第j种水

3、平的观察值次数其中;=Z X1,它反映了离差平方和的总体情况。n其次，组内离差平方和，用 SSE表示，其计算公式为:其中门反映的是水平内部或组内观察值的离散状况，即反映了随机因素带來的影响。最后，组间平方和，用 SSA表示,SSA的计算公式为：2 rS S A= 22 X (X j _ x) X n j Qj _ x)用各组均值减去总均值的离差的平方，乘以各组观察值个数， 然后加总，即得到SSAo可以看出，它所表现的是组间差异。其屮既包括随机因素，也包括系统因素。根据证明，SST, SSE, SSA之间存在着一定的联系，这种联系表现在：SST二SSE+SSA因为：SS(X -=5(X - )+

4、Lij X9 Xj_ Xj X_=ZZ (x - )2+ZZ(- C EZ ( - J-=)ij Xjx j x2Xij Xj Xj X在各组同为正态分布，等方差的条件下，等式右边最后一项为零，故有，Z Z (Xij -X)2 = Z S (Xij -Xj)2 +1 I (X. -X)2(三) 计算平均平方用离差平方和除以各自自由度即可得到平均平方。对SST来说，其自由度为n1,因为它只有一个约束条件，即I I (xy -x) =0 o对SSA来说，其自由度是 m-l,这里m表示水平的个数，SSA反映的是组间的差异，它也有一个约束条件，即要求：E n j(xj-x) =0对SSE来说，其自由度

5、为nm,因为对每一种水平而言，其观察值个数为 nj,该水平下的自由度为nj 1 ,总共有二m个水平，因此拥有自由度的个数为m(nj 1) n rr= -与离差平方和一样，SST, SSA, SSE之间的自由度也存在着关系，即n -1 =(m -1) +(n -m)这样对SSA,其平均平方 MSA为:SSAMSA =m 一 1对于SSE ,平均平方MSE为：SSEMSE =n m(四) 方差分析表由F分布知，F值的计算公式为：组间方差MS AF =组内方差MSE为了将方差分析的主要过程表现的更加清楚，通常把有关计算结果列成方差分析表如下表 3.2：表3.2方差分析表方差来源离差平方和(SS)自由度(df)平均平方(MS )F值组间SSAm 一1MSAMSA/MSE组内SSEn mMSE总差异SSTn 1（五）作出统计判断对于给定的显著性水平a，由F分布表查出自由度为 （m_l,n_ m）的临界值F ,如果F 尸口，则拒绝原假设，说明因素对指标起显著影响；如果F Fa，则接受原假设，说明因素的不同水平对试验结果影响不显著。