期权定价公式及其应用.ppt

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1、 1.Black-Scholes公式公式 经典的经典的Black-Scholes期权定价公式是期权定价公式是 对于欧式股票期权给出的。其公式为对于欧式股票期权给出的。其公式为其中其中T是到期时间，是到期时间，S是当前股价，是当前股价，是作为当前股价和到期时间的函是作为当前股价和到期时间的函数的欧式买数的欧式买 入期权的价格入期权的价格.第九章第九章 期权定价公式及其应用期权定价公式及其应用一、引言一、引言第一节第一节Black-Scholes期权定价公式期权定价公式K是期权的执行价格，是期权的执行价格，r是无风险证券的（瞬时）是无风险证券的（瞬时）收益率，收益率，称为股价的波动率称为股价的波动

2、率volatility,这是这是一个需要测算的参数一个需要测算的参数称称为累累积正正态分布函数，定分布函数，定义为图图1 期权价格曲线随到期时间期权价格曲线随到期时间T的变化的变化 Black-Scholes公式的方便之处在于除股价的公式的方便之处在于除股价的 波动率外，其他参数都是直接在市场上可以找到的。波动率外，其他参数都是直接在市场上可以找到的。例如例如,如果这里价格以元计如果这里价格以元计,时间以年计时间以年计,从而涉从而涉 及的两个比率都指的是年率。那么（以下的等号实及的两个比率都指的是年率。那么（以下的等号实 际上都是近似等号）际上都是近似等号）把这些值代入公式，得到把这些值代入公

3、式，得到:利用累积正态函数在点利用累积正态函数在点2.8017和和2.7267处的处的 近似值，买入期权的价格是近似值，买入期权的价格是3.3749，即，即更精确的计算可得更精确的计算可得:2.金融资产的定价问题金融资产的定价问题 金融资产的定价问题金融资产的定价问题(asset valuation)(asset valuation)是现代财务是现代财务金融理论的一个基本问题。金融理论的一个基本问题。对于具有固定现金流的金融产品、如债券等金融工具，对于具有固定现金流的金融产品、如债券等金融工具，其价格都是通过净现值方法来确定的。其价格都是通过净现值方法来确定的。对于期权来讲，其风险究竟有多大对

4、于期权来讲，其风险究竟有多大?如何计算出相应如何计算出相应的风险溢价以及未来的现金流的风险溢价以及未来的现金流?这都是较为难解决的问题。这都是较为难解决的问题。3.Black-Scholes公式发展过程公式发展过程(1)巴列切尔公式巴列切尔公式(Bachelier 1900)n是标准正态分布的密度函数是标准正态分布的密度函数 法国法国 数学家数学家 BachelierBachelier Louis,Louis,在其博士论文在其博士论文The Theory of SpeculationThe Theory of Speculation中首次给出了欧式买中首次给出了欧式买 权的定价公式权的定价公式

5、 但他在建立模型时有但他在建立模型时有3 3个假设与现实不符。个假设与现实不符。第一，假设标的股票的价格服从标准正态分布。这使得第一，假设标的股票的价格服从标准正态分布。这使得 股价出现负值的概率大于零，从而与现实明显不符。股价出现负值的概率大于零，从而与现实明显不符。第二，认为在离到期日足够远的时候第二，认为在离到期日足够远的时候,买权的价值可能大买权的价值可能大 于标的股票的价值，这显然也是不可能的。于标的股票的价值，这显然也是不可能的。第三，假设股票的期望报酬第三，假设股票的期望报酬(即股价变化的平均值即股价变化的平均值)为零，为零，这也违背了股票市场的实际情况。这也违背了股票市场的实际

6、情况。(2)斯普斯普伦克莱克莱 (Sprenkle,1961)在在Bachelier的研究基础上的研究基础上,人们对期权定价问题进行人们对期权定价问题进行了长期的研究。了长期的研究。1961年年Sprenkle提出了提出了“股票价格服从对数正态分布股票价格服从对数正态分布”的基本假设，并肯定了股价发生随机漂移的可能性。的基本假设，并肯定了股价发生随机漂移的可能性。是股票价格的平均增是股票价格的平均增长率，率，A是是对应的的风险厌恶程度程度。其中其中(3)博内斯博内斯 (Boness,1964)其中，其中，19641964年，年，BonessBoness将货币时间价值的概念引入到期权将货币时间价

7、值的概念引入到期权 定价过程，但他没有考虑期权和标的股票之间风险水平定价过程，但他没有考虑期权和标的股票之间风险水平 的差异。的差异。(4)塞塞缪尔尔森森 (Samuelson,1965)其中其中 是期是期权价格的平均增价格的平均增长率。率。1965年，著名经济学家萨缪尔森年，著名经济学家萨缪尔森(Samuelson)把上把上述述 成果统一在一个模型中。成果统一在一个模型中。在在19731973年年BlackBlack和和ScholesScholes提出提出BlackBlackScholesScholes期权期权 定价模型定价模型.我们可以看到，所有这些公式都与后来的我们可以看到，所有这些公式

8、都与后来的Black-Scholes公式有许多相似的地方。公式有许多相似的地方。1969年，他又与其研究生年，他又与其研究生Merton合作，提出了把合作，提出了把期期 权价格作为标的股票价格的函数的思想。权价格作为标的股票价格的函数的思想。2020世纪世纪6060年代末，两人开始合作研究期权的定价问年代末，两人开始合作研究期权的定价问题题,并找到了建立期权定价模型的关键突破点并找到了建立期权定价模型的关键突破点,即构造一即构造一个由标的股票和无风险债券的适当组合个由标的股票和无风险债券的适当组合(买入适当数量的买入适当数量的标的股票标的股票,同时按无风险利率借入适当金额的现金同时按无风险利率

9、借入适当金额的现金)。该。该组合具有这样的特点组合具有这样的特点,即无论未来标的资产价格如何变化即无论未来标的资产价格如何变化,其损益特征都能够完全再现期权在到期日的损益特征。其损益特征都能够完全再现期权在到期日的损益特征。BlackBlack和和ScholesScholes得到了描述期权价格变化所满足的得到了描述期权价格变化所满足的随机偏微分方程，即所谓的随机偏微分方程，即所谓的B BS S方程。方程。从而得出了期权定价模型的解析解从而得出了期权定价模型的解析解,这就是这就是B BS S模型。模型。MertonMerton也对期权定价理论和实践的发展做出了独立的也对期权定价理论和实践的发展做

10、出了独立的和开创性的贡献和开创性的贡献,他几乎在与他几乎在与BlackBlack和和ScholesScholes同一时间同一时间,得得到了期权定价模型及其他一些重要的成果。到了期权定价模型及其他一些重要的成果。19761976年，年，MertonMerton把把B BS S期权定价模型推广到股票价格变化期权定价模型推广到股票价格变化可能存在跳跃点的场合可能存在跳跃点的场合,并包含了标的股票连续支付股利并包含了标的股票连续支付股利的情况，从而把该模型的实用性又大大推进了一步，学术的情况，从而把该模型的实用性又大大推进了一步，学术界将其称为界将其称为MertonMerton模型。模型。另外另外Co

11、xCox，RossRoss和和RubinsteinRubinstein等人还提出了二项式期权定等人还提出了二项式期权定价模型。他们最初的动机是以该模型为基础，从而为推导价模型。他们最初的动机是以该模型为基础，从而为推导B-SB-S模型提供一种比较简单和直观的方法。模型提供一种比较简单和直观的方法。但是但是,随着研究的不断深入，二项式模型不再是仅仅作为随着研究的不断深入，二项式模型不再是仅仅作为解释解释B-SB-S模型的一种辅助性工具模型的一种辅助性工具,它已经成为建立复杂期它已经成为建立复杂期权（如美式期权和非标准的变异期权）定价模型的基本权（如美式期权和非标准的变异期权）定价模型的基本手段。

12、手段。二、二、Black-Black-ScholesScholes期权定价公式期权定价公式 （一）基本假设：（一）基本假设：1.1.股票价格满足的随机微分方程中股票价格满足的随机微分方程中,为常数为常数;2.2.股票市场允许卖空股票市场允许卖空;3.3.没有交易费用或税收没有交易费用或税收;4.4.所有证券都是无限可分的所有证券都是无限可分的;5.5.证券在有效期内没有红利支付证券在有效期内没有红利支付;6.6.不存在无风险套利机会不存在无风险套利机会;7.7.交易是连续的交易是连续的;8.8.无风险利率为常数无风险利率为常数.(二二)股票价格的轨道股票价格的轨道在通常情况下，假设股票价格在通

13、常情况下，假设股票价格S St t满足下列随机微分方程：满足下列随机微分方程：为概率空间为概率空间 上的上的BrownianBrownian运动运动 （1)(三三)期权套期保值期权套期保值 寻找期权定价公式（函数）的主要思想：寻找期权定价公式（函数）的主要思想：构造以某一种股票以及以该股票为标的的期权的一个证构造以某一种股票以及以该股票为标的的期权的一个证券组合，所构造的证券组合正好是一个无风险资产的复制。券组合，所构造的证券组合正好是一个无风险资产的复制。命题命题 1 1 设设 函数函数 关于关于t t一阶连续偏导数一阶连续偏导数,关于关于x x二阶连续有界偏二阶连续有界偏导数导数,且满足终

14、值条件：且满足终值条件：为期权现价格为期权现价格(t(t时刻的价格时刻的价格),),则则 是下列偏微分方程的解：是下列偏微分方程的解：为要套期保值此期权为要套期保值此期权,投资者必须卖空投资者必须卖空 股此股票股此股票 （7）下面求复制期权的证券组合下面求复制期权的证券组合期权价格的分解：期权价格的分解：由此可知证券组合（由此可知证券组合（portfolioportfolio）是自融资证券组合是自融资证券组合 (四四)方程（方程（7 7）解的概率表示）解的概率表示命命题 2 2 设是下列随机微分方程的解：是下列随机微分方程的解：其中其中 是定义在是定义在 上的上的P-BrownianP-Bro

15、wnian运动。运动。又设又设 是方程（是方程（7 7）式具有有界偏导数的解，）式具有有界偏导数的解，则则Feynman-Feynman-KacKac公式成立：公式成立：(五五)Black-)Black-ScholesScholes 公式公式定理定理 1 1 a)a)股票价格设所满足的方程（股票价格设所满足的方程（1 1）中的系数均为常数）中的系数均为常数,则期权价格由下式给出：则期权价格由下式给出：证明：证明：a)a)由于由于 所满足的方程所满足的方程(1)中中的系数为常数，的系数为常数，由由 所满足的随机微分方程可得到所满足的随机微分方程可得到,的显示表达式：的显示表达式：由条件期望性质可

16、得由条件期望性质可得a)a)的结果。的结果。对看涨期权（对看涨期权（Call optionCall option）由于）由于 可令可令 为执行集（为执行集（exercise setexercise set）：）：(1)(1)(2)(2)(3)(3)注注 Black-Black-ScholesScholes公式不公式不仅告告诉我我们Call optionCall option的的 价格价格,且以且以证券券组合的形式合的形式给出：出：债券的套期保券的套期保值证券券组合或者合或者说复制复制Call optionCall option的的证券券组合。合。股股票，股股票，需购买需购买注注 设Call o

17、ptionCall option和和Put optionPut option的价格分的价格分别为和和，则有有 第二节第二节 期权价值的敏感性因素分析期权价值的敏感性因素分析 影响期权价值的因素一共有五个，影响期权价值的因素一共有五个，即标的资产市场价格即标的资产市场价格S St t、执行价格、执行价格X X、无风险利率、无风险利率r r、距离到期日时间距离到期日时间T-tT-t和标的资产价格的波动率和标的资产价格的波动率。一、一、标的资产价格变化对期权价值的一阶影响标的资产价格变化对期权价值的一阶影响通常用通常用DeltaDelta来表示期权价值对标的资产价格来表示期权价值对标的资产价格S S

18、t t变动变动的敏感性。的敏感性。从而从而 可以近似地表示为：可以近似地表示为：期权组合而言，其期权组合而言，其DeltaDelta值为：值为：二、二、标的资产价格对期权价值的二阶影响标的资产价格对期权价值的二阶影响GammaGamma指的是期权指的是期权DeltaDelta对于对于股票价格股票价格的一阶偏导数的一阶偏导数,也就也就是期权价值对于股票价格的二阶偏导数。买权是期权价值对于股票价格的二阶偏导数。买权GammaGamma的计的计算公式为：算公式为：另一方面，由卖权另一方面，由卖权GammaGamma的计算公式，我们可以知道的计算公式，我们可以知道卖权的卖权的GammaGamma值等于

19、买权的值等于买权的GammaGamma值，即：值，即：Gamma Gamma具有非负性。也就是说具有非负性。也就是说,无论对于买权还是卖权，无论对于买权还是卖权，在其他因素不变时在其他因素不变时,其其DeltaDelta值都随值都随着股票价格着股票价格的上升而上的上升而上升，随着升，随着股票价格股票价格的下降而下降。的下降而下降。Gamma Gamma与与s st t的关系。当期权处于平价状态附近（也就的关系。当期权处于平价状态附近（也就是在附近），其是在附近），其GammaGamma相对比较大；当期权处于较深的相对比较大；当期权处于较深的亏价或盈价状态时亏价或盈价状态时,其其GammaGam

20、ma接近于零。接近于零。Gamma Gamma与时间变量与时间变量T-tT-t的关系。如果期权处于平价状的关系。如果期权处于平价状态态,在其他因素不变的情况下在其他因素不变的情况下,其其GammaGamma值随着到期日的值随着到期日的临近而变大。临近而变大。三、三、无风险利率对期权价值的影响无风险利率对期权价值的影响买权价格对无风险利率变化的敏感度由买权价格对无风险利率变化的敏感度由RhoRho值来衡量，值来衡量，其公式为：其公式为：由上面的计算公式，可得到由上面的计算公式，可得到RhoRho的如下特点：的如下特点：RhoRhoc c一般大于零，而一般大于零，而RhoRhop p一般小于零。只

21、有在到一般小于零。只有在到（T=tT=t），），RhoRhoc c和和RhoRhoP P才会等于零。才会等于零。相对于影响期权价值的其他因素而言，相对于影响期权价值的其他因素而言，r r的影响要的影响要小得多。小得多。因为因为RhoRho的绝对值与的绝对值与T-tT-t成正比，因此对于距到期日时成正比，因此对于距到期日时间较长的期权，间较长的期权，r r对于其价值的影响不容忽视。对于其价值的影响不容忽视。四、四、标的资产价格波动率对期权价值的影响标的资产价格波动率对期权价值的影响 方差或标准差是布莱克方差或标准差是布莱克-斯科尔斯模型中的重要变量斯科尔斯模型中的重要变量,也称也称波动率，是股票

22、连续计息收益率的标准差，它也是公式中波动率，是股票连续计息收益率的标准差，它也是公式中唯一不可直接观测的变量买权价格对很小的波动率变化的唯一不可直接观测的变量买权价格对很小的波动率变化的反映被称为反映被称为VegaVega，即：，即：由买权价值与卖权价值可知卖权由买权价值与卖权价值可知卖权VegaVega与买权与买权VegaVega完全相同完全相同 当期权处于平价状态时，其当期权处于平价状态时，其VegaVega值较大；值较大；当期权处于较深的盈价或亏价状态时，当期权处于较深的盈价或亏价状态时，相应的相应的VegaVega值较小。值较小。因此，期权因此，期权VegaVega随变化的曲线是一个倒

23、随变化的曲线是一个倒U U形。形。五、到期时间长短对期权价值的影响五、到期时间长短对期权价值的影响 由于到期时间的临近由于到期时间的临近,期权的时间价值下降期权的时间价值下降,这就造成这就造成期权的价格下降。期权的价格下降。时间价值的消耗用时间价值的消耗用ThetaTheta表示，买权表示，买权ThetaTheta的定义为的定义为 始终是一个小于零的数始终是一个小于零的数 则有可能大于零，则有可能大于零，第三节第三节 期权套期保值的基本原理期权套期保值的基本原理 一、有关期权套期保值的一个例子一、有关期权套期保值的一个例子 综上所述综上所述,甲所采取的上述套期策略具有以下两个特点：甲所采取的上

24、述套期策略具有以下两个特点：第一是自融资性第一是自融资性(self(selffinancing)financing)，即套期所需的资，即套期所需的资金只需期初一次性投人金只需期初一次性投人,此后，在套期的整个过程中不需此后，在套期的整个过程中不需要增加新的外部融资。或者说，套期策略只需要期初投入，要增加新的外部融资。或者说，套期策略只需要期初投入，不需要维持成本。不需要维持成本。第二是精确复制性第二是精确复制性(replicating),(replicating),即套期策略能够精即套期策略能够精确地复制受险资产的收益和风险特征，从而将面对的风险确地复制受险资产的收益和风险特征，从而将面对的风

25、险完全抵消。完全抵消。套期策略所具有的这两个特点具有十分重要的意义。套期策略所具有的这两个特点具有十分重要的意义。首先，自融资性说明套期策略的成本可以在事先确定，首先，自融资性说明套期策略的成本可以在事先确定，即为期初所需的投入。即为期初所需的投入。其次，精确复制性说明套期策略组合应当与受险资产其次，精确复制性说明套期策略组合应当与受险资产具有相同的价值，这是由无套利定价原则所决定的。具有相同的价值，这是由无套利定价原则所决定的。最后，既然风险已经完全抵消，甲所要求的报酬率就最后，既然风险已经完全抵消，甲所要求的报酬率就应该是无风险报酬率。应该是无风险报酬率。二、二、期权套期保值的基本原理期权

26、套期保值的基本原理考虑一个由考虑一个由m m种期权种期权 组成的投资组合，组成的投资组合，v vi i,i i=1,2,=1,2,m m表示第表示第i i种资产的价格种资产的价格,该投资组合的价值该投资组合的价值V V可以表示为：可以表示为：其中，其中，是组合中第是组合中第j j种期权的权重。种期权的权重。期权套期保值的基本思想是构造一个头寸期权套期保值的基本思想是构造一个头寸,使其风险使其风险暴露与原组合的风险暴露相反暴露与原组合的风险暴露相反,从而部分或者全部对冲掉从而部分或者全部对冲掉风险。如果所构造的头寸风险。如果所构造的头寸,其风险性质与原组合的风险性其风险性质与原组合的风险性质呈完

27、全相反的状态，则原组合的风险可以被全部消除。质呈完全相反的状态，则原组合的风险可以被全部消除。这称为完全对冲。这称为完全对冲。在构造对冲时，就是通过选择合适的在构造对冲时，就是通过选择合适的n nj j,使得当风险因素使得当风险因素变动时，组合价值变动时，组合价值V V能够保持不变。对于一阶风险，就是能够保持不变。对于一阶风险，就是选择选择n nj j，使得：，使得：这样，当这样，当x x发生微小变化发生微小变化 x x时，组合的价值变化为：时，组合的价值变化为：这里，风险因素可以是标的股票价格的变化、无风险利这里，风险因素可以是标的股票价格的变化、无风险利率的变化、时间的变化或者是波动率的变

28、化。率的变化、时间的变化或者是波动率的变化。第四节第四节 连续调整的期权套期策略连续调整的期权套期策略 一、一、DeltaDelta套期（套期（DeltaDelta中性组合）中性组合）通过适当地调整不同期权及其标的资产的比例，通过适当地调整不同期权及其标的资产的比例，我们可以将风险暴露程度降低到所愿意的任何程度，我们可以将风险暴露程度降低到所愿意的任何程度，甚至可以将该资产组合对于标的资产价格变动的风险甚至可以将该资产组合对于标的资产价格变动的风险降低到零。这样的一个资产组合降低到零。这样的一个资产组合,我们称之为我们称之为“DeltaDelta中性组合中性组合”。我们可以用公式来表示上述这一

29、概念。我们可以用公式来表示上述这一概念。假设构造这样一个投资组合：做空一个买权，其价格为假设构造这样一个投资组合：做空一个买权，其价格为C Ct t，DeltaDelta值为值为N(dN(d1 1)；同时买入数量为；同时买入数量为N(dN(d1 1)的标的资产，的标的资产，其价格为其价格为S St t。不难证明，该组合为一个。不难证明，该组合为一个DeltaDelta中性买权组中性买权组合。事实上，这个组合当前的价值为：合。事实上，这个组合当前的价值为：显然，显然，V V关于关于S St t的偏导数为的偏导数为0 0，即该组合是一个，即该组合是一个DeltaDelta中性中性组合，组合的价值不

30、受组合，组合的价值不受S St t变化的影响。变化的影响。更一般地，对于任意一个资产组合而言，总能通过适当地更一般地，对于任意一个资产组合而言，总能通过适当地选择选择n n1,1,n n2 2，使得整个组合的，使得整个组合的DeltayDeltay等于等于0 0，也就是：，也就是：很容易就可以解得：很容易就可以解得：二、二、Delta-GammaDelta-Gamma套期策略套期策略Delta-GammaDelta-Gamma套期策略是套期策略是DeltaDelta套期策略的推广套期策略的推广,它指的是构造一个它指的是构造一个DeltaDelta和和GammaGamma值都为值都为0 0的组合

31、的组合,即通过构造一个即通过构造一个Delta-GammaDelta-Gamma中性的组合，从根中性的组合，从根本上回避价格风险。本上回避价格风险。构成了以下组合构成了以下组合 关于关于S St t求一、二阶偏导数求一、二阶偏导数 令组合的令组合的 同时等于零，可得到：同时等于零，可得到：投资者只要根据计算出来的投资者只要根据计算出来的n n2 2和和n n3 3的值买卖相应的资产的值买卖相应的资产就可以完全回避手中资产的价格风险。就可以完全回避手中资产的价格风险。三、三、Delta-Gamma-VegaDelta-Gamma-Vega套期策略套期策略如果投资者不愿意承担波动率如果投资者不愿意

32、承担波动率 的变化对套期结果的的变化对套期结果的影响影响,可以在可以在Delta-GammaDelta-Gamma中性组合的基础上中性组合的基础上,构造一构造一个个Delta-Gamma-VegaDelta-Gamma-Vega中性组合中性组合,我们需要引进第三种我们需要引进第三种期权的交易，记该期权的价格为期权的交易，记该期权的价格为 4 4，交易数量为，交易数量为n n4 4 新的组合为新的组合为 对上式两端分别关于对上式两端分别关于S St t求一、二阶偏导，求一、二阶偏导，并且关于并且关于 求一阶偏导求一阶偏导实现完全的连续性套期会受到一些限制实现完全的连续性套期会受到一些限制,这是因

33、为：这是因为：第一，市场不具备充分的多样性。第一，市场不具备充分的多样性。第二，交易费用的存在。第二，交易费用的存在。第五节第五节 组合套期策略组合套期策略一、一、90901010策略策略90901010策略又称为保证报酬基金策略又称为保证报酬基金(guaranteed return(guaranteed return funds)funds)，它有狭义和广义之分。，它有狭义和广义之分。广义的广义的90901010策略则不限于上述对投资比例的机械划策略则不限于上述对投资比例的机械划分，而是允许根据情况适当进行调整。分，而是允许根据情况适当进行调整。狭义的狭义的90901010策略是指机构投资者

34、将暂时闲置资金的策略是指机构投资者将暂时闲置资金的9090用来购买无风险的货币市场工具用来购买无风险的货币市场工具,剩余的剩余的10%10%用来购买期用来购买期权。权。为保证为保证90901010策略的两个基本目标策略的两个基本目标(保证资本安全和保证资本安全和得到足够的杠杆得到足够的杠杆)得以实现，以下两个条件是必要的，得以实现，以下两个条件是必要的，即：即：第一，货币市场利率越高越好；第一，货币市场利率越高越好；第二，买权的价格越低越好。这样，既可以减少第二，买权的价格越低越好。这样，既可以减少 套期成本，又可以增加杠杆程度。套期成本，又可以增加杠杆程度。二、二、无成本期权套期无成本期权套

35、期所谓无成本期权是指两个期权的特殊组合，其中一个所谓无成本期权是指两个期权的特殊组合，其中一个期权为做多，需要支付相应的权利金，另一个期权则期权为做多，需要支付相应的权利金，另一个期权则为做空，并因此得到相应的权利金。如果两个期权的为做空，并因此得到相应的权利金。如果两个期权的权利金大致相同，则该组合的净成本就近似等于零权利金大致相同，则该组合的净成本就近似等于零 无成本套期策略一方面避免了出现巨大损失的风险，无成本套期策略一方面避免了出现巨大损失的风险，另一方面也失去了获得巨大收益的可能性，因此这是另一方面也失去了获得巨大收益的可能性，因此这是一种比较保守的选择。根据这一性质，该套期策一种比较保守的选择。根据这一性质，该套期策略比较适合投资者预期市场会出现暴跌或缓升，且略比较适合投资者预期市场会出现暴跌或缓升，且缓升的可能性更大的场合。缓升的可能性更大的场合。