特征值和特征向量的性质与求法.docx

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1、特征值和特征向量的性质与求法方磊（陕理工理工学院（数学系）数学与应用数学专业071 班级，陕西 汉中 723000）指导老师：周亚兰摘要 ：本文主要给出了矩阵特征值与特征向量的几个性质及特征值、特征向量的几种简单求法。关键词：矩阵 线性变换 特征值 特征向量1 特征值与特征向量的定义及性质定义1： (i)设A是数域p上的n阶矩阵，贝多项式|入E-A |称A的特征多项式，贝它在c 上的根称为A的特征值。(ii)若入是A的特征值，则齐次线性方程组(入E-A) X=0的非零解，称为A的属于特征值 入的特征向量。定义2：设a是数域P上线性空间v的一个线性变换，如果对于数域P中的一数几0存在一 个非零向

2、量使得aE=九0 那么20成为a的一个特征值而E称为a的属于特征值几。的一 个特征向量。性质1:若入为A的特征值，且A可逆，则九鼻0、则九-1为A-1的特征知值。证明：设九九九为A的特征值，则A | =九九九ho12n12n:入i H0(i=l、2n)设A的属于入的特征向量为E则AE=hE则入A-1 口 即有 A-1 e= X-1 ei2-1为A-1的特征值，由于A最多只有n个特征值2-1为A-1 E的特征值性质2：若入为A的特征值，则f (九)为f (A)的特征值=a % n + a xn-1 + + a x 1 + a 0x 1 nn - 11证明：设E为A的属于入的特征向量，贝JAE =

3、入EE =(a An + a An-1 + + a A + a E ) Enn - 110= a An E+ a An-1 E+.+ a E Enn -10=a 2n e+a2n-1+nn -1心是f(A)的特征值性质3： n阶矩阵A的每一行元素之和为a，则a定是A的特征值aaa 11121naa a21222n.an1an2 a /nn证明：设 A=则由题设条件知：aaa a 11121n11aa aa21222n:=-=a:i an1an2 a /nn1a J1a是A的特征值推论：若入为A的特征值，且A可逆，则芈 为A*的特征值（A*为A的伴随矩阵）。证明：因为A* = |A|A-1而A-

4、1的特征值为入-1再由性质2知：芈是A*的特征值性质4：一个矩阵与其伴随矩阵具有相同的特征值。Xe-a|证明：因为Re-a*（XE所以A*与A具有相同的特征多项式，则它们具有相同的特征值。性质5：如果入是正交矩阵A的特征值，那么入j也是A的特征值。证明：设入是a的特征值，那么存在非零向量E使得Ag =入g用A-1作用之后得，入a-1 E又A的特征值一定不为零，所以入工0 2是A-1的特征值，又A是正交矩阵A* = a-1X-1为a-1的特征值A * A *_又 A与A相似， 与A有相同的特征根 入一1人1也是A特征根性质6：设x是A对应于特征值九的特征向量，y是A的对应与九的特征向量。i i

5、i j若 A x =九 x 则 A=九 x. x. (1)i i i i i i并有A y =九y i i i给(i)右乘以y、(2)左乘以x相减得ii0=九 x y 九.x y 则x y =0i i i j i ii i性质7：设A、B均为n阶矩阵，则AB与BA的特征向量相同。证明：若入是AB的特征值，x是相应的特征向量若 BXH 0则 BABX=入BX若BX=0B不是可逆矩阵(否则x=0)BA也不是可逆矩阵故必有特征值0同样AB也有特征值0由此AB与BA有相同的特征值。2 特征值与特征向量的求法2.1 矩阵特征值与特征向量的求法基本计算法(i) 求出矩阵A的特征多项式fA(X)= |XE

6、 A|(ii) 求出卜E - A|的全部根(iii) 把特征值九 逐个代入齐次线性方程组d.E-A)X= 0并求它的基础解系，即为A的属ii于特征根九的线性无关的特征向量。i用初等变换法利用矩阵初等变换在求得矩阵特征值的同时，同步求得特征值所属的全部的线性无关的特征向量，而且它们都巧妙的隐含在同一矩阵中。定理1：设F 6 )=九1 A厂7? 、(a仏列初等变换一 lB(%)ll丿V艰)丿其中B加为下三角矩阵，则B的主对角线上的全部元素的乘积的入多项式的全部根恰为矩阵A的全部特征根，且对于矩阵A的每一特征根，若矩阵B陶)中非零解向量的列构成列满秩矩阵，那么矩阵P%)中和B仇”中零向令所对应的列

7、向量是属于特征根九的全部线性无关的特征向量，否则继续进行列变化到B *(九.) ii中飞零向量的列构成列满秩矩阵，那么P *(坷)中和B *)中零向量所对应的列向量是属于特征根X的全部线向无关的特征向量。i证明：F(X)设A = ( J且 j nxn( f (X)11(X)21(X) 12 (X) 221m (X)2n，其中 (X)=nnI gn1 (X)则秩 F (X) n 与秩 F (X)=n 矛盾。0、G(X)丿-a(i 主 j)X a(i = jijG匕)中第一行元素不可能全为0,否可任取其中次数最低的一多项式，设为g 1(x),再对G(x)施以列初等变换，可使该行期于元素都化 为零多

8、项式或次数低于g 1 (x)的入多项式，在这些次数低于g匕)的多项式元素中，再任取其中 一个次数最低的多项式，继续进行列变化，最终使G 6)化为如此下去，可将F匕)化为F三角矩阵B(X)=(0 f(X)0J 2 .0、0丿丿l*f d),n2.2线性变换的特征值与特征向量的求法2.2.1利用定义求解：(1)在线性空间V中取一组基1n写出在此基下的矩阵A。(2)求出A的特征多项式|九I A|在数域P中的全部根。把所有不同的特征值代入仏0 A(X )1X2=0，对每一个特征值九/解方程组(A - Ai(X、1X2=0 求其基础解系，解的一组属于勺的线性无关的特征向量，从而求得A的全部特征向量。2.

9、2.2 利用相似性求解同一个线性变换在不同基下矩阵相似而相似矩阵有相同的特征多项式，进而有相同的特征值，这样可利用相似性求解。3 例子(1例1求矩阵A= 2I 011 的特征根与特征向量1丿解：(九100、(九100、(九100、2九+1121九+121000九-1T0九-10T0九-1九2 1100100100010001001 001丿010丿01九+1丿所以 A 的（二重）2特征根九=1当几1=1时，因的非零向量的列构成非满秩矩阵因此进行列初等变换0 0 0、0 0 02 1 00 1 0（B（X）0 0 00 0 0B*（X叫=1 0 0T0 0 0、P*（X）10 0 10 0 1、

10、21 1 2 丿B * 6 ）九由 1 的非零解向量构成列满秩矩阵，且第一，三列为零向量，故第一，三列向量为 1 的全（10 2 ） （0 12 ）部线性无关的特征向量为 和。九=1（0 10）属 2 的线性无关的特征向量为例2：设 是四维线性空间v的一组基，线性变换A在这组基下的矩阵为(53A= - 3厂10-2 -4-1 -33112，求A的特征值和特征向量。解：A的特征多项式为|九【-B | =X0650X547300X 22005X + 2二九 2（X 1）f 九一 2丿所以A的特征值为：九=九2二0九3 = 1九4 = 2所以A的属于特征值0的线性无关特征向量为勺=2气+ 382 + 3属于1的特征向量为：g = 38 + 8 + 8 2831234属于 12 的特征向量为：g4 = 481 28 2 +83 + 684参考文献：1 北京大学数学系 高等代数 高教出版社 1988.2月第二版176-1782 王向东、周士谨 高等代数的常用方法科学出版社 1989.5月第二版105页3 威尔全集 代数特征值问题科学出版社 2001.4月第三版53-594 张贤科、许莆华高等代数学清华出版社 1998.2月第二版 121-124