梁的位移与挠曲线近似微分方程.ppt

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1、9.5 梁的位移与挠曲线近似微分方程梁的位移与挠曲线近似微分方程1.1.基本概念基本概念:挠曲线方程：挠曲线方程：1、弯曲变形的表示方法：、弯曲变形的表示方法：（1）挠度挠度y y：截面形心在截面形心在y y方向的位移方向的位移;（2）转角）转角:某横截面绕某横截面绕自己的中性轴转动的角度。自己的中性轴转动的角度。转角方程：转角方程：由于小变形，截面形心在由于小变形，截面形心在x方向的方向的位移忽略不计挠度转角关系为：位移忽略不计挠度转角关系为：挠曲线挠曲线挠度挠度转角转角表明：挠曲线上某点切线的斜率等于该点横截面的转角。表明：挠曲线上某点切线的斜率等于该点横截面的转角。2.2.挠曲线的近似微

2、分方程：挠曲线的近似微分方程：推导弯曲正应力时，得到：推导弯曲正应力时，得到：忽略剪力对变形的影响忽略剪力对变形的影响由数学知识可知：由数学知识可知：略去高阶小量，得略去高阶小量，得所以所以 由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。挠度。由弯矩的正负号规定可得，当由弯矩的正负号规定可得，当y y坐标向下时，弯坐标向下时，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数异号，所以挠曲线的近矩的符号与挠曲线的二阶导数异号，所以挠曲线的近似微分方程为：似微分方程为：EIZ抗弯刚度挠曲线的近似微分方程为：挠曲线的近似微分方程为：积分一次得转角方程为：积分一次得转角方程为：

3、再积分一次得挠度方程为：再积分一次得挠度方程为：9.6 积分法求弯曲变形积分法求弯曲变形积分常数利用梁的边界条件及连续光滑条件来求得。边界条件边界条件：梁横截面的已知位移条件或约束条件。连续光滑条件连续光滑条件：在相邻梁段的交接处即分段处，相连两截面应具有相同的转角与挠度。确定积分常数举例：边界条件：连续条件：确定积分常数举例：边界条件：连续条件：例例1 1 求梁的求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的转角和最大挠度，梁的EIEI已知。已知。解解:1 1）由梁的整体平衡分析可得：）由梁的整体平衡分析可得：2 2）写出）写出x x截面的弯矩方程截面的弯

4、矩方程3 3）列挠曲线近似微分方程并积分）列挠曲线近似微分方程并积分积分一次积分一次再积分一次再积分一次A AB BF F4 4）由位移边界条件确定积分常数）由位移边界条件确定积分常数代入求解代入求解5 5）确定转角方程和挠度方程）确定转角方程和挠度方程6 6）确定最大转角和最大挠度）确定最大转角和最大挠度讨讨 论论积分法求变形有什么优缺点？积分法求变形有什么优缺点？9.79.7 叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形 梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是计算弯曲

5、变形的这就是计算弯曲变形的叠加法叠加法。即叠加法是：即叠加法是：分别求出各载荷单独作用时的变形，然后把各载荷在同一处引起的变形变形进行叠加(代数叠加)。由叠加法得：由叠加法得：直接查表：直接查表：例例 已知已知：悬臂梁受力如悬臂梁受力如图示，图示，q q、l、EIEI均为已知。均为已知。求求C C截面的挠度截面的挠度y yC C和和转角转角 C C1 1）首先，将梁上的载荷变成）首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形有表可查的情形 为了利用梁全长承受均为了利用梁全长承受均布载荷的已知结果，先将均布载荷的已知结果，先将均布载荷延长至梁的全长，为布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效了不改

6、变原来载荷作用的效果，在果，在AB AB 段还需再加上集段还需再加上集度相同、方向相反的均布载度相同、方向相反的均布载荷。荷。解解解解:3 3）将结果叠加）将结果叠加 2 2）再将处理后的梁分解为简单）再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各自载荷作用的情形，计算各自C C截截面面的挠度和转角。的挠度和转角。讨讨 论论叠加法求变形有什么优缺点？叠加法求变形有什么优缺点？9.89.8 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施梁的刚度条件及提高梁刚度的措施1.1.刚度条件刚度条件 解：1）外力分析：2）内力分析：(M方程)3）挠曲线方程和转角方程：，试校核刚度。例、已知EIZ，M0，L，求A，B，及中

7、点的挠度；若4）确定积分常数：得：所以5）求A，B。（）（）6）刚度校核：刚度满足要求。刚度满足要求。中点的挠度：中点的挠度：2.2.提高梁刚度的措施：提高梁刚度的措施：1 1）选择合理的截面形状增大截面惯性矩）选择合理的截面形状增大截面惯性矩2 2）改善结构形式，减小弯矩数值）改善结构形式，减小弯矩数值3 3）采用超静定结构）采用超静定结构小小 结结基本要求：基本要求：掌掌握握弯弯曲曲的的概概念念和和实实例例，梁梁的的计计算算简简图图，掌掌握握纯纯弯弯曲曲的的正正应应力力公公式式，弯弯矩矩与与挠挠曲曲线线曲曲率率间间的的关关系系，抗抗弯弯刚刚度度，抗抗弯弯截截面面模模量量，纯弯曲理论的推广，

8、熟练掌握梁按正应力的强度计算。纯弯曲理论的推广，熟练掌握梁按正应力的强度计算。掌掌握握矩矩形形截截面面梁梁的的剪剪应应力力，工工字字形形截截面面梁梁的的剪剪应应力力，梁梁按按剪剪应应力的强度校核，提高弯曲强度的措施。力的强度校核，提高弯曲强度的措施。掌掌握握梁梁的的变变形形和和位位移移，挠挠度度和和转转角角，梁梁的的挠挠曲曲线线及及其其近近似似微微分分方方程程，用用积积分分法法求求梁梁的的挠挠度度转转角角，根根据据叠叠加加法法求求梁梁的的挠挠度度转转角角，梁的刚度校核，提高梁的刚度措施。梁的刚度校核，提高梁的刚度措施。重点：重点：梁按正应力的强度计算，梁按剪应力的强度校核。梁按正应力的强度计算，梁按剪应力的强度校核。难点：难点：梁的刚度校核。梁的刚度校核。