测量误差的基本知识.ppt

《测量误差的基本知识.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《测量误差的基本知识.ppt（44页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、第五章 测量误差的基本知识5-1 测量误差的概念测量误差的概念5-2 评定精度的标准评定精度的标准 5-3 误差传播定律及其应用误差传播定律及其应用 5-4 等精度观测值的平差等精度观测值的平差 5-1 测量误差的概念测量误差的概念一、一、测量误差产生的原因测量误差产生的原因 实践证明，不论仪器多么精密，观测多么仔细，对某实践证明，不论仪器多么精密，观测多么仔细，对某一量进行多次观测会发现，各观测值之间总存在差异。一量进行多次观测会发现，各观测值之间总存在差异。观测值（或其函数）与未知量的真值（或其函数的理观测值（或其函数）与未知量的真值（或其函数的理论值）之间存在差值，这种各观测值相互之间，

2、或观测值论值）之间存在差值，这种各观测值相互之间，或观测值与其理论值之间存在的某些差异现象，在测量工作中是普与其理论值之间存在的某些差异现象，在测量工作中是普遍存在的。这种差值称为测量误差。遍存在的。这种差值称为测量误差。测量误差观测值真值测量误差观测值真值 观测误差来源于仪器误差、人的感官能力和外界环境观测误差来源于仪器误差、人的感官能力和外界环境（如温度、湿度、风力、大折光等）的影响，这三方面的（如温度、湿度、风力、大折光等）的影响，这三方面的客观条件统称观测条件。客观条件统称观测条件。1.测量仪器（测量仪器（Instrumental Errors）每一种测量仪器具有一定的精确度，使测量结

3、果受到一每一种测量仪器具有一定的精确度，使测量结果受到一定的影响。另外，仪器结构的不完善，也会引起观测误差。定的影响。另外，仪器结构的不完善，也会引起观测误差。2.观测者（观测者（Personal Errors）由于观测者的感觉器官的辨别能力存在局限性，在仪器由于观测者的感觉器官的辨别能力存在局限性，在仪器对中、整平、瞄准、读数等操作时都会产生误差。对中、整平、瞄准、读数等操作时都会产生误差。3.外界环境（外界环境（Natural Errors）测量作业环境的温度、气压、湿度、风力、日光照射、测量作业环境的温度、气压、湿度、风力、日光照射、大气折光、烟雾等客观情况时刻在变化，使测量结果产生大气

4、折光、烟雾等客观情况时刻在变化，使测量结果产生误误 差。例如，温度变化使钢尺产生伸缩，差。例如，温度变化使钢尺产生伸缩，风吹和日光照风吹和日光照射使仪器的安置不稳定，射使仪器的安置不稳定，大气折光使望远镜的瞄准产生大气折光使望远镜的瞄准产生偏差等。偏差等。同精度观测同精度观测：在相同的观测条件下进行的观测。：在相同的观测条件下进行的观测。不同精度观测不同精度观测：各个观测使用不同精度的仪器，或观测：各个观测使用不同精度的仪器，或观测方法、技术水平不同，或客观环境差别较大，则是不同精方法、技术水平不同，或客观环境差别较大，则是不同精度的观测。度的观测。二、二、测量误差的分类测量误差的分类 任何测

5、量工作都离不开观测条件，所以观测误差的产生任何测量工作都离不开观测条件，所以观测误差的产生是不可避免的。根据观测误差对测量结果影响的性质，可是不可避免的。根据观测误差对测量结果影响的性质，可分为分为系统误差系统误差和和偶然误差偶然误差。1.系统误差：系统误差：在相同的观测条件下，对某量进行一系列观在相同的观测条件下，对某量进行一系列观测，若误差的出现在数值大小和符号上均相同，或按一定测，若误差的出现在数值大小和符号上均相同，或按一定的规律变化，或者为某一个常数，这种误差称为系统误差。的规律变化，或者为某一个常数，这种误差称为系统误差。系统误差具有积累性，但又有一定的规律，因而可设法加系统误差具

6、有积累性，但又有一定的规律，因而可设法加以消除或减弱。以消除或减弱。计算改正数。计算改正数。采用一定的观测方法。采用一定的观测方法。将系统误差限制在允许范围内。将系统误差限制在允许范围内。2.偶然误差：偶然误差：在相同的观测条件下，对某量作一系列观在相同的观测条件下，对某量作一系列观测，若误差出现的符号和数值大小均不一致，从表面上测，若误差出现的符号和数值大小均不一致，从表面上看无任何规律性，但就大量误差的整体而言具有统计规看无任何规律性，但就大量误差的整体而言具有统计规律，这种误差称为偶然误差。律，这种误差称为偶然误差。例如用刻至例如用刻至1mm的钢尺量的钢尺量距，最多能估读距，最多能估读0

7、1毫米。且每次估读又不能绝对正确，毫米。且每次估读又不能绝对正确，也不会绝对相等，其差异纯属偶然性。也不会绝对相等，其差异纯属偶然性。偶然误差是不可避免的，不可能通过测量的访求加以偶然误差是不可避免的，不可能通过测量的访求加以消除，但具有统计规律性，可应用数理统计的方法加以消除，但具有统计规律性，可应用数理统计的方法加以处理。处理。3.粗差粗差：观测数据中存在的：观测数据中存在的错误错误，称为粗差。是由于作，称为粗差。是由于作业人员的粗心大意或各种因素的干扰造成的，如瞄错目业人员的粗心大意或各种因素的干扰造成的，如瞄错目标、读错大数，光电测距、标、读错大数，光电测距、GPS测量中对载波信号的

8、干测量中对载波信号的干扰等。扰等。粗差必须剔除，而且也是可以剔除的。粗差必须剔除，而且也是可以剔除的。4.多余观测多余观测 偶然误差产生的原因十分复杂，又找不到完全消除偶然误差产生的原因十分复杂，又找不到完全消除其影响的办法，观测结果中就不可避免存在着偶然误其影响的办法，观测结果中就不可避免存在着偶然误差的影响。差的影响。因此，在实际测量工作中，为了检核观测值中有无因此，在实际测量工作中，为了检核观测值中有无错误，提高成果的质量，必须进行多余观测，错误，提高成果的质量，必须进行多余观测，即观测即观测值的个数多于未知量的个数。值的个数多于未知量的个数。对带有偶然误差的观测结果进行处理的工作，称为

9、对带有偶然误差的观测结果进行处理的工作，称为测量平差。测量平差。三、三、偶然误差的特性偶然误差的特性 从单个偶然误差来看，其符号的正、负和数值的大小没从单个偶然误差来看，其符号的正、负和数值的大小没有任何规律性。但是，如果观测的次数很多，观察其大量有任何规律性。但是，如果观测的次数很多，观察其大量的偶然误差，就能发现隐藏在偶然性下面的必然规律。进的偶然误差，就能发现隐藏在偶然性下面的必然规律。进行统计的数量越大，规律性也越明显。下面结合某观测实行统计的数量越大，规律性也越明显。下面结合某观测实例，用统计方法进行说明和分析。例，用统计方法进行说明和分析。在某一测区，在相同的观测条件下共观测了在某

10、一测区，在相同的观测条件下共观测了358个三角个三角形的全部内角，由于每个三角形内角之和的真值（形的全部内角，由于每个三角形内角之和的真值（180）为已知，因此，可以上式计算每个三角形内角之和的真误为已知，因此，可以上式计算每个三角形内角之和的真误差差i，将它们分为负误差和正误差，按误差绝对值由小到，将它们分为负误差和正误差，按误差绝对值由小到大排列次序。以误差区间大排列次序。以误差区间d=3进行误差个数进行误差个数k的统计，的统计，并计算其相对个数并计算其相对个数kn（n358），），kn称为误差出现称为误差出现的频率。的频率。误误差区差区间间 dd 负误负误差差正正误误差差误误差差绝对值绝

11、对值K KK/nK/nK KK/nK/nK KK/nK/n0 03 345450.1260.12646460.1280.12891910.2540.2543 36 640400.1120.11241410.1150.11581810.2260.2266 69 933330.0920.09233330.0920.09266660.1840.1849 9121223230.0640.06421210.0590.05944440.1230.1231212151517170.0470.04716160.0450.04533330.0920.0921515181813130.0360.03613130.

12、0360.03626260.0730.073181821216 60.0170.0175 50.0140.01411110.0310.031212124244 40.0110.0112 20.0060.0066 60.0170.0172424以上以上0 00 00 00 00 00 01811810 05055051771770 04954953583581.0001.000 由此，可以归纳出偶然误差的特性如下：由此，可以归纳出偶然误差的特性如下：界限性：界限性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值的限值。聚中性：聚中性：绝对值

13、较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现的频率小。现的频率小。对称性：对称性：绝对值相等的正、负误差具有大致相等的出现频率绝对值相等的正、负误差具有大致相等的出现频率。抵偿性：抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平均值趋近于当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平均值趋近于零，即：零，即：5-2评定精度的标准评定精度的标准 一、一、精度（精度（Precision）测量值与其真值的接近程度测量值与其真值的接近程度准确度（准确度（Accuracy）：）：表示测量结果与其真值接近程度表示测量结果与其真值接近程度的量。反映系统误差的大小。的量。

14、反映系统误差的大小。精密度（精密度（Precision）：）：表示测量结果的离散程度。反映表示测量结果的离散程度。反映偶然误差的大小量。偶然误差的大小量。二、二、衡量精度的指标衡量精度的指标1.中误差中误差 在一定的观测条件下，观测值在一定的观测条件下，观测值l与其真值与其真值X之差称为真之差称为真误差误差D D，即，即 D D=li X (i=1，2,n)这些独立误差平方和的平均值的极限称为中误差的平这些独立误差平方和的平均值的极限称为中误差的平方方，即，即 上式是理论上的数值，实际测量中观测次数不可能无上式是理论上的数值，实际测量中观测次数不可能无限多，因此在实际应用中取以下公式限多，因此

15、在实际应用中取以下公式：m2 =limn n DD DD m=D D2 2np两组观测值的误差绝对值相等两组观测值的误差绝对值相等pm1 m2，第一组的观测成果的精度高于第二组观测成第一组的观测成果的精度高于第二组观测成果的精度果的精度次序次序第一第一组观测组观测第二第二组观测组观测 观测值观测值真真误误差差观测值观测值真真误误差差18018000030003+3+39 9180180000000000 00 018018000020002+2+24 417917959595959-1-11 117917959585958-2-24 418018000070007+7+749491791795

16、9565956-4-4161618018000020002+2+24 418018000010001+1+11 118018000010001+1+11 1180180000000000 00 017917959595959-1-11 118018000040004+4+4161617917959525952-8-8646417917959575957-3-39 9180180000000000 00 017917959585958-2-24 417917959575957-3-39 918018000030003+3+39 918018000010001+1+11 1|24247272242

17、4130130中中误误差差 2.容许误差容许误差 容许误差又称极限误差。容许误差又称极限误差。根据误差理论及实践证明，根据误差理论及实践证明，在大量同精度观测的一组误差中，绝对值大于两倍中误差在大量同精度观测的一组误差中，绝对值大于两倍中误差的偶然误差，其出现的可能性约为的偶然误差，其出现的可能性约为5%；大于三倍中误差；大于三倍中误差的偶然误差，其出现的可能性仅有的偶然误差，其出现的可能性仅有3，且认为是不大可，且认为是不大可能出现的。因此一般取三倍中误差作为偶然误差的极限误能出现的。因此一般取三倍中误差作为偶然误差的极限误差。差。D D容容=3m 有时对精度要求较严，也可采用有时对精度要求

18、较严，也可采用D D容容=2m作为容许误作为容许误差差。在测量工作中，如某个误差超过了容许误差，则相应在测量工作中，如某个误差超过了容许误差，则相应观测值应舍去重测。观测值应舍去重测。3.相对误差相对误差 绝对误差值与观测值之比，称为相对误差。绝对误差值与观测值之比，称为相对误差。在某些在某些测量工作中，有时用中误差还不能完全反映测量精度，测量工作中，有时用中误差还不能完全反映测量精度，例如测量某两段距离，一段长例如测量某两段距离，一段长200m，另一段长另一段长100m，它们的测量中误差均为它们的测量中误差均为0.2m，为此用观测值的中误差为此用观测值的中误差与观测值之比，并将其分子化为与观

19、测值之比，并将其分子化为1，即用，即用1/K表示，称为表示，称为相对误差。相对误差。本例本例 前者为前者为 0.2/200=1/1 000，后者为后者为 0.2/100=1/5 00，明显明显前前者的精度高于后者。者的精度高于后者。5-3误差传播定律及其应用误差传播定律及其应用 一、一、误差传播定律误差传播定律 测量工作中某些未知量需要由若干独立观测值测量工作中某些未知量需要由若干独立观测值按一定的函数关系间接计算出来的。按一定的函数关系间接计算出来的。阐述观测值的中误差与观测值函数的中误差之阐述观测值的中误差与观测值函数的中误差之间关系的定律称为间关系的定律称为误差传播定律误差传播定律。测量

20、中，有些未知量不能直接观测测定，需由直接观测量计算求出。水准仪一站观测的高差h=a-b三角高程测量初算高差h=Ssin直接观测量的误差导致它们的函数也存在误差，函数的误差由直接观测量的误差传播过来。二二.一般函数的中误差一般函数的中误差令 的系数为 ，(c)式为：由于 和 是一个很小的量，可代替代替上式中的 和 ：(c)代入(b)得对(a)全微分：(b)设有函数：为独立独立观测值设 有真误差 ，函数 也产生真误差(a)对Z观测了k次，有k个式(d)对(d)式中的一个式子取平方：（i，j=1n且ij）(e)对K个(e)式取总和：(f)(f)(f)式两边除以K，得(g)式：(g)由偶然误差的抵偿性

21、知：(g)式最后一项极小于前面各项，可忽略不计，则：则：前面各项即即(h)(h)考虑考虑 ，代入上式，得中误差关系式：，代入上式，得中误差关系式：(5-10)上式为上式为一般函数的中误差公式一般函数的中误差公式，也称为，也称为误差传播定律误差传播定律。通过以上误差传播定律的推导，我们通过以上误差传播定律的推导，我们可以总结出可以总结出求观测值函数中误差的步骤求观测值函数中误差的步骤：1.列出函数式；列出函数式；2.对函数式求全微分；对函数式求全微分；3.套用误差传播定律，写出中误差式。套用误差传播定律，写出中误差式。1.倍数函数的中误差 设有函数式 (x为观测值，K为x的系数)全微分 得中误差

22、式例：例：量得 地形图上两点间长度 =168.5mm0.2mm,计算该两点实地距离S及其中误差ms：解：解：列函数式 求全微分 中误差式三三.几种常用函数的中误差几种常用函数的中误差 2.线性函数的中误差线性函数的中误差 设有函数式 全微分 中误差式例：例：设有某线性函数设有某线性函数 其中其中 、分别为独立观测值，它们的中误差分分别为独立观测值，它们的中误差分 别为别为 求Z的中误差 。解：解：对上式全微分：由中误差式得：函数式 全微分 中误差式 3.算术平均值的中误差式算术平均值的中误差式 由于等精度观测时，代入上式：得 由此可知，算术平均值的中误差比观测值的中误差缩小了缩小了 倍。对某观

23、测量进行多次观测(多余观测)取平均，是提高观测成果精度最有效的方法。4.和或差函数的中误差和或差函数的中误差 函数式：全微分：中误差式：当等精度观测时：上式可写成：例：例：测定A、B间的高差 ，共连续测了9站。设测量 每站高差的中误差 ，求总高差 的中 误差 。解：解：观测值函数中误差公式汇总 观测值函数中误差公式汇总观测值函数中误差公式汇总 函数式 函数的中误差一般函数倍数函数 和差函数 线性函数 算术平均值 应用举例应用举例例例1 1：用尺长为：用尺长为l l的钢尺丈量距离的钢尺丈量距离S S，共丈量，共丈量4 4个尺段，个尺段，设丈量一个尺段的中误差为设丈量一个尺段的中误差为m m，试求

24、试求S S的中误差。的中误差。解：解：应用误差传播定律得：应用误差传播定律得：例例2 2 自自水水准准点点向向水水准准点点进进行行水水准准测测量量(图图7-3)7-3)，设设各各段段所所测测高高差差分分别为别为求求、两点间的高差及其中误差。两点间的高差及其中误差。解：解：、之间的高差之间的高差h=h1+h2+h3=7.811m;h=h1+h2+h3=7.811m;高差中误差高差中误差例例3x=3x=DcosDcos，测得测得D=63.210.04m,=20300012,D=63.210.04m,=20300012,试求的中误差。试求的中误差。解：解：x=x=DcosDcos在计算中，在计算中

25、206265 。1弧度弧度=180*3600/=206264.806 试用中误差传播定律分析视距测量的精度。解:(1)测量水平距离的精度 基本公式：求全微分：水平距离中误差：其中：同精度观测：同精度观测：在相同的观测条件下进行的观测。在相同的观测条件下进行的观测。观测值的算术平均值观测值的算术平均值(最或是值)用观测值的改正数用观测值的改正数v v计算观测值的计算观测值的 中误差中误差 (即:白塞尔公式)5.4 5.4 同（等）精度直接观测平差同（等）精度直接观测平差 一一.观测值的观测值的算术平均值算术平均值(最或是值、最可靠值)证明算术平均值为该量的最或是值：设该量的真值为X，则各观测

26、值的真误差为 1=1-X 2=2-X n=n-X对某未知量未知量进行了n 次观测，得n个观测值1,2,n,则该量的算术平均值为：x=1+2+nnn上式等号两边分别相加得和：L=当观测无限多次时：得两边除以n：由当观测次数无限多时，观测值的算术平均值就是该 量的真值；当观测次数有限时，观测值的算术平均 值最接近真值。所以，算术平均值是最或是值。L X观测值改正数特点二二.观测值的改正数观测值的改正数v v ：以算术平均值为最或是值，并据此计算各观测值的改正数 v，符合vv=min 的“最小二乘原则”。Vi=L-i(i=1,2,n)特点特点1 改正数总和为零：改正数总和为零：对上式取和：以 代入：

27、通常用于计算检核L=nv=nL-nv=n -=0v=0特点特点2 vv符合符合“最小二乘原则最小二乘原则”：则即vv=(x-)2=min=2(x-)=0dvv dx(x-)=0nx-=0 x=n精度评定 比较前面的公式，可以证明，两式根号内的部分是相等的，即在 与 中：精度评定精度评定用观测值的改正数v计算中误差一.计算公式(即白塞尔公式)：证明如下：证明如下：真误差：真误差：改正数：改正数：证明两式根号内相等对上式取n项的平方和由上两式得其中:证明两式根号内相等中误差定义:白塞尔公式:解：解：该水平角该水平角真值未知真值未知，可用，可用算术平均值的改正数算术平均值的改正数V V计计 算其中误差：算其中误差：例：例：对某水平角等精度观测了5次，观测数据如下表，求其算术平均值及观测值的中误差。算例1:次数观测值VV V备注1764249-4162764240+5253764242+394764246-115764248-39平均764245 V=0VV=60 7642451.74 距离丈量精度计算例算例算例2：对某距离用精密量距方法丈量五次，求对某距离用精密量距方法丈量五次，求该距离的算术该距离的算术 平均值平均值 ；观测值的中误差观测值的中误差 ；算术平均值的中误算术平均值的中误 差差 ；算术平均值的相对中误差算术平均值的相对中误差 ：凡是相对中误差，都必须用分子为1的分数表示。