线性代数报告.docx

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1、线性代数的应用研究 矩阵在实际生活中的应用建筑环境与能源应用工程1班陈嘉威 3013214105杜澎磊 3013214106宋子旭 3013214127前言近几十年来，随着科学技术的发展， 特别是计算机技术的发展，数学的应用领域已由传统的物理领域(包括力学、电子等学科以及土木、机电等工程技术) 迅速扩展到非物理领域(人口、经济、金融、生物、医学等)。数学在发展高科技、提高生产力水平和实现现代化管理等方面的作用越来越明显。 这就要求我们如何将实际问题经过分析、简化，转化为一个数学问题，然后用一个适当的数学方法去解决。线性代数是一个数学分支，是代数的一个重要学科它对于培养学生严谨的逻辑推理和抽象思

2、维能力起着不可或缺的作用。线性代数研究最多的是矩阵。矩阵是一个数表，而这个数表可以进行变换，以形成新的数表。也就是说如果抽象出某种变化规律，就可以用代数的理论对研究的数表进行变换，并得出想要的一些结论。所以，矩阵是一种方便的计算工具，可以以简单的形式表示复杂的公式，比如数字图像处理、计算机图形学、计算几何学、人工智能、网络通信以及一般的算法设计和分析等。因此，矩阵的应用日趋广泛，很多领域都要用到矩阵的知识。本文将要探讨的，就是矩阵在实际生活中的一些应用形式。经过分析和筛选，本文将从以下三个方面展开论述：可逆矩阵在保密通信中的应用，矩阵与成本利润的计算以及矩阵与数字图像。一、可逆矩阵在保密通信中

3、的应用随着计算机与网络技术的迅猛发展，通信技术中的保密工作显得尤为重要，怎样确保通信过程中信息的安全变得至关重要，因此大量各具特色的密码体系不断涌现。矩阵作为线性代数的重要组成部分，其应用领域也从传统的物理领域迅速扩展到非物理领域，尤其是在保密通信中发挥着重要作用。（一）可逆矩阵 1、矩阵矩阵的定义：m行n列的矩形数表称为m行n列矩阵，简称mn矩阵，矩阵用大写黑体字母A，B，C，表示。如：A=a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn 这mn个数称为矩阵A的元素， aij 称为矩阵A的第i行第j列元素，一个mn矩阵A也可简记为A=(aij ) mn 或 Amn。矩阵

4、加法：设有两个mn矩阵A=(aij ) ，B=(bij )，矩阵A与B的和记作A+B，规定为A+B=（aij +bij ）mn。矩阵乘法：设A=(aij ) mn ，B=(bij ) mn。矩阵A与矩阵B的乘积记作AB，规定为AB=(cij ) mn 其中cij=ai1b1j+ai2b2j+aisbsj=k=1saikbkj (i=1，2，m ；j=1，2，n)。 2、矩阵的逆于n阶矩阵A，如果存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=1，则称矩阵A为可逆矩阵，而矩阵B称为A的逆矩阵。记作A-1，即A-1=B。（二）保密通信 1、背景自从人类有了文字书写之后， 就考虑使用一些手段来保障通信的机密，

5、防止被获取甚至被篡改。早期的古典密码，如人类最早由记载的棋盘密码、恺撒密码、维吉尼亚密码等，相对比较简单。直到第二次世界大战，关于通信的加密、解密取得了许多进展，研制成了“隐谜机”，也就是从这个时期开始， 关于通信的加密解密开始成为一门专门的学科， 包括数学家在内的许多科学家投身其中进行深入的研究。20世纪末开始， 计算机的发展带来了通信的变革，为了保证数据通信的安全，其加密解密的研究也迎来了巨大发展。尤其是21世纪初，电子商务的广泛应用，以及智能手机的介入， 对信息的传输过程中的安全性和可靠性提出了更高要求。而保密通信作为实现信息安全的有效手段， 在这其中起着举足轻重的作用。在通信过程中，基

6、本思路是通过对身份的验证、对传输信号的加密，来确保通信的保密。因此保密通信主要涉及加密、解密的理论。2、模型保密通信过程中， 存在明文和密文两个概念。想要发送的信息称为明文，通过某种方法进行伪装或隐藏的信息称为密文。通信过程中， 发送方会通过某种算法对明文数据进行加密， 通过加密后转换成密文数据再发送给接收方， 接收方再通过相应的某种算法，对密文数据进行解密转换，就变成了明文数据。这个过程就是加密解密的过程，其中的某种算法就是密钥，这也就是数据保密通信的模型，具体如下图所示: （三）保密通信中可逆矩阵的应用利用矩阵对通信信息进行编码， 即将明文转换成密文发送给接收方， 而接收方再通过相应的逆运

7、算将密文编译成明文，就完成了信息的传递。1、保密通讯中可逆矩阵的编码过程设矩阵A为明文矩阵， 矩阵B为加密矩阵（密钥）， 用明文矩阵与加密矩阵的乘积来实施对所发消息的加密，这样就得出密文矩阵C=AB。如果矩阵B是可逆矩阵，则矩阵方程C=AB有唯一解C=AB-1，其中B-1是B的逆矩阵。这样，发送方将信息通过可逆矩阵进行加密编码成密文矩阵C=AB发出，接收方接收后再右逆矩阵B-1 ，就可得到明文矩阵A 。2、加密矩阵（密钥）的生成如何快速而有效地构造一个可逆矩阵作为加密矩阵和求出其逆矩阵作为解密矩阵是利用可逆矩阵实现保密通信的关键。我们知道，初等矩阵都是可逆的，而且初等矩阵的乘积仍然是可逆的。因

8、此，我们可以考虑利用若干个初等矩阵的乘积作为加密密钥。这种做法的好处是，我们可以自由地选择初等矩阵的数量和每个初等矩阵的类型，以及由单位矩阵得到初等矩阵的具体初等变换。在实际应用中，可以通过对单位矩阵连续施加一序列所选择的初等变换得到加密矩阵。生成解密矩阵也只需要再次利用生成加密矩阵时的变换矩阵对单位矩阵做一序列的初等逆变换即可。3、应用举例利用矩阵对“Welcome！Tianjindaxue”进行编码。先将英文的26 个字母用数字1-26代替，叹号用27代替，构成一个对照表。此时，“Welcome！Tianjindaxue”可译为:23 5 12 3 15 13 5 27 20 9 1 14

9、 10 9 14 4 1 24 21 5 将发送数字排成54的明文矩阵，即A=235 12 3 1513 5 27 20 9 1 14 10 9 14 41 24 21 5。此时，对于矩阵阶数的选择是随意的，阶数越高，保密性越好。为了增加破译难度， 收发双方可约定一个加密矩阵， 如B=12 0 513 2 01 0 0 50 2 1 3，可求出B的逆矩阵B-1。发送者将加密后的密文矩阵C=AB=40 67 13 18433 123 5318130 95 32 14733 55 22 13246 84 53 125发送给接收方。接收方接受信息后， 就再右乘B-1 ， 可得ABB-1=A然后根据文

10、字对照表就可以还原成原来的信息“Welcome！Tianjindaxue”。在编码的过程中， 将英文信息进行转化时，没有区分大小写字符，也可以区分大小写，那么编码的对照表变成54个数字，信息排成矩阵的阶数也是任意选择的， 矩阵的阶数越高，破译的难度越大。可逆矩阵的选择必须保证与信息矩阵可乘。（四）结语利用可逆矩阵进行加密是信息编码的一种技巧，虽然较为简单，但由此可见矩阵作为数学中一个很小的分支， 其应用范围却非常广泛。相信随着信息技术的不断更新，保密技术的不断发展，包括像矩阵在内的许多数学知识作为工具将在其中发挥越来越大的作用。二、矩阵与成本利润的计算矩阵在计算成本利润中有广泛的应用，利用矩阵

11、可以将复杂的问题或计算过程简化成矩阵运算，结合计算机程序语言能够快速的解决实际问题。下面从以下两个方面简单介绍矩阵在成本利润计算中的应用。（一）生产成本生产成本：在社会生产管理中经常要对生产过程中产生的很多数据进行统计、处理、分析， 以此来对生产过程进行了解和监控，进而对生产进行管理和调控，保证正常平稳的生产以达到最好的经济效益。但是得到的原始数据往往纷繁复杂，这就需要用一些方法对数据进行处理，得到直接明了的结果。在计算中引入矩阵可以对数据进行大量的处理，这种方法非常方便。引例：已知某服装加工厂生产甲、乙、丙、丁四种产品， 每种产品的单件各类成本及四季度生产件数如表1 及表2 所示， 提供该厂

12、每季度的各类产品总成本表。成本（元）甲乙丙丁原材料15203025劳动力成本20103020企业管理费用5101010运输成本2334表一：每种产品的单件各类成本 季度产品一季度二季度三季度四季度甲4000300020005000乙1000600040002000丙2000200020002000丁3000200050001000表二：四季度各类产品产量如果利用传统方法计算，我们发现需要计算的条目非常多且调理性不好，费时费力。让我们来用矩阵的方法来描述此问题，：设 A为每种产品的单件各类成本矩阵，即：A= 设B为四季度各类产品产量矩阵， 即：: B=则四个季度的原材料、劳动力成本、企业管理费用

13、运输成本的总成本为矩阵A与B的乘积 X， 即 :X=根据矩阵X， 可以得到各类产品总成本分类表， 如表三。成本（元）春夏秋冬合计原材料205000275000295000200000975000劳动力成本210000220000240000200000870000企业管理费用8000011500012000075000390000运输成本29000500004200026000147000合计5240006600006970005010002382000表三：各类产品总成本分类表可见，应用矩阵计算成本一目了然，省时省力。又如：某工厂每批次投料生产中，获得4种不同产量的产品，同时测量出各批次的

14、生产总成本， 如表四所示：生产批次产品/kg总成本（元）ABCD120010010050290025002502001007050310040402013604400180160605500表四试求每种产品的单位成本。解：设A、B、C、D 4 种产品的单位成本分别为a，b，c，d可以得到得方程组：化简得：增广矩阵为： 化为行最简形矩阵：因为系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，所以方程组有唯一解，即：a=10，b=5，c=3，d=2从而直观地反映了工厂生产的产品的单位成本。（二）生产利润生产利润的计算对于企业生产和策略制定具有指导性作用，利用矩阵能够直观的计算利润问题。如：一个工厂生产甲、乙两种产品。

15、需用A、B、C三种原料。给出产品的单价向量P(单位：千元件)，原材料成本的向量C(单位：千元吨)，订单向量X(单位：件）P=，C=，X=设甲、乙产品的单位成本向量Y=，于是 Y=CT=可得：售出甲、乙产品所获的利润为：PTXYX=(PT-Y)X=99001800=8100（千元）三、矩阵与数字图像在自然形式下，图像不能由计算机直接进行分析。因为计算机只能处理数字而不是图片，所以一幅图像在用计算机处理前必须先转化为数字形式。左图表明了如何用一个数字矩阵来表示一个物理图像。物理图像被划分为称作图像元素的小区域，图像元素简称为像素，最常见的划分方案是图中所示的方形采样网格，图像被分割成由相邻像素组成

16、的许多水平线，赋予每个像素位置的数值反映了物理图像上对应点的亮度。图像转化的过程称为数字化，常见的形式如下图。在每个像素位置，图像的亮度被采样和量化，从而得到图像对应点上表示其亮暗程度的一个整数值。对所有的像素都完成上述转化后，图就被表示成一个整数矩阵。每个像素具有两个属性：位置和灰度。位置（或称地址）由扫描线内的采样点两个坐标决定，它们又称为行和列。表示该像素位置上亮暗程度的整数称为灰度。此数字矩阵就作为计算机处理的对象了。由此，每一幅灰度格式的图像（我们平常称为黑白图片），都可用一个元素值介于0255之间的矩阵来表示，元素值的大小对应着点的亮度，0对应黑色，255对应白色。元素的位置对应图

17、像中各像素的位置。彩色图像（即RGB图像）可用三个这样的矩阵来表示，每一个矩阵代表一个颜色分量，即就是我们平常所说的红（R），绿（G），蓝（B）分量。通过对矩阵进行一些数据处理就可以将图片改变。比如将图片所对应的矩阵进行转置，就能得到原图片沿主对角线对称的图片。 前 后接下来介绍如何从图像的矩阵表示出发，通过矩阵的乘法进行矩阵的正交变换、求矩阵转置进行正交逆变换最终实现数据图像的压缩。（一）均值与差分的定义设a，b为介于0255之间的数，则称c=12a+12b=1212ab (1)为a与b的均值。d=12a-12b=12-12ab (2)为a与b的差分。从定义中可看出，均值是a，b的近似，差分

18、度量了a与b的差别。（二）均值差分变换矩阵的构造矩阵Ann0=aj0nn表示大小为nn的灰度图像，其中n=2m,n,m为自然数，i,j1，2，n.通过(1)和(2)计算矩阵Ann0的行相邻元素（不重叠）的均值与差分，按均值在前差分在后的顺序得到矩阵Ann1=aij1nn，即 a,j+121=12a,j0+12ai,j+10=1212a,j0a,j+10，a,n+j+121=12a,j0-12ai,j+10=12-12a,j0a,j+10，j=1,3,5,7,n-1;i=1,2,3,n.易得 Anxn1=Ann0M1 (3) 其中 M1= 120 0120 0120 0-120 0012 001

19、2 0012 00-12 000000000000000 1200 1200 1200 -12nn设 MK0=120 0120 0120 0-120 0012 0012 0012 00-12 000000000000000 1200 1200 1200 -12KKK为自然数，则M1=Mn0。显然，MK0是正交矩阵，故从(3)式知，上面的过程实质上是对矩阵Ann0进行了一次正交变换，得到矩阵Ann1。称该变换为正交均值差分变换。继续对Ann1中元素ai,j1，j=1,2,n2;i=1,2,n，计算行相邻元素（不重叠）的均值与差分，按均值在前差分在后的顺序放置，其它元素即ai,j1，j=n2+1,

20、n2+2,n;i=1,2,n保持不动，得到矩阵记为Ann2，则Ann2=Ann1M2=Ann0M1M2， (4)其中 M2=Mn/20OOEn/2继续对Ann2做同样的处理，直到不能再计算为止（均值元素为一个），此时得到矩阵记为Arow，则有 Arow=Ann0M1M2MpMm， (5)其中 Mp=M2n/2p0OOEn-2n/2p，p=1,2,m.同理，对矩阵Ann0的列相邻元素（不重叠）计算均值与差分，直至不能计算为止，则可得 Acolum=MmTMpTM2TM1TAnn0. (6)因此对矩阵Ann0的行和列同时计算相邻元素（不重叠）均值与差分，结果记为B，则 B=MmTMpTM2TM1T

21、Ann0M1M2MpMm=MTAnn0M， (7)其中 M=M1M2MpMm (8)（三）阈值的选取从(1)，(2)均值和差分的定义不难看出，矩阵经过均值差分变换后元素被分成两大部分，一部分是原矩阵的近似（均值部分），一部分代表原矩阵元素的变化细节（差分部分），图像的绝大部分信息集中在近似部分。同时对细节部分而言，元素绝对值表示原矩阵中元素与均值的差异，绝对值越大，意味着它包含越多的细节信息，绝对值越小，说明它与均值越接近，意味它包含非常少的细节信息。因此，可以设置阈值，只保留绝对值大于阈值的细节部分元素。关于阈值的选取，本文简单选取阈值为5，30，80，观察压缩效果的变化。（四）编解码算法A

22、表示大小为nn的图像（矩阵），正交均值差分变换矩阵为M，分别对A 的行和列进行正交均值差分变换，得到原图像的近似与细节信息，选取阈值，舍去小于或等于阈值的信息，达到数据压缩的目的。最后通过逆变换获得解码图像。具体算法步骤如下：Step1：由式(8)计算均值差分变换矩阵M。Step2：由式(7)对A进行均值差分变换，得B矩阵。Step3：对于矩阵B，设置阈值e，大于阈值的像素保留，否则置零，获得更稀疏的矩阵B，仅存储其非零元素。Step4：计算A=(MT)-1BM-1=MBMT，即对B进行逆均值差分变换，获得解码图像A。以上算法同样适用于彩色图像，但需对三个颜色分量分别施行该算法。例子：灰度图像

23、压缩对256256的小猫图像进行编码压缩和解码下图为小猫原图像与e=5，e=30及e=80时的解码图像压缩比CR及峰值信噪比PSNR计算公式如下：CR=nnnumB， (9)PSNR=10log25521nni=1nj=1nAi,j-Ai,j2 (10)其中numB为B中非零元素的个数，CR是压缩效率的度量，CR越大，压缩效率越高；PSNR是压缩图像质量的度量，PSNR越大，压缩图像质量越好。线性代数在图像处理领域的应用不可胜数，本文就不一一赘述了。结语其实，矩阵在实际生活中的应用还有很多。诸如，城市交通问题，城乡人口流动问题，动物繁殖问题等方面均有所涉及。而纵观整个线性代数学科，其可应用之处也远不止矩阵这一个内容。所以，线性代数之一工科基础学科，与我们的生活可谓息息相关。然而在实际问题的计算与解决中，均有着极为繁杂的过程，大部分计算都由数学软件 matlab处理完成。由此可见，随着计算机的迅速发展，线性代数的应用会越来越广泛，越来越简单。