经济数学微积分期末考试试卷与答案.doc

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1、经济数学-微积分期末测试第一学期期末考试试题 ( B )试题号一二三四总分考分阅卷人一.选择题（每小题只有一个正确答案，请把正确答案前的字母填入括号，每题2分，共30分） 1. 函数的定义域是（A）；(A) (B) (C) (D) 2. 函数的渐近线有（）；3. 设函数,则该函数是(A)(A) 奇函数 (B) 偶函数 (C) 非奇非偶函数 (D) 既奇又偶函数4. 下列函数中，与关于直线对称的函数是（A）； 5. 若，则点是函数的（）；左连续点右连续点驻点极值点6. 已知点（1，3）是曲线的驻点，则的值是（B）（A） （B） （C） （D） 7. 当时，下列函数极限不存在的是（C）；8. 极限

2、 （C）；不存在9.下列函数中在，上满足罗尔定理条件的是（C）；10若函数在点处可导，则极限（C）；11. 时，下列函数中，与不是等价无穷小量的函数是（C）(A) (B) (c) (D) 12.下列极限中，极限值为的是（）；13. 若，则（D）；14.函数，在区间，内，满足拉格朗日中值定理的条件，其中（）；15.若函数在内连续，则（）二.计算题（每小题7分，共56分）1.，求分解：7分 2. 求极限 7分5分分解：3. 求曲线 在对应的点处的切线方程解：时，代入方程得 ；方程两边对求导得 分，将代入，得分，故所求的切线方程为分，即4. 设函数在处可导，求常数和解：由已知在连续，且分可得又因在处

3、可导，且分又得代入得分故5. 求函数的上凸区间、下凸区间与拐点2分解：列表讨论如下：x _0 + -0_ y 拐点 拐点7分 6. 求 7分4分2分解： 7. 求 2分解：5分移项可得7分 分分分7分6分8. 已知是的一个原函数，求 三.证明题（本题6分）设函数在区间上连续，其导数在内存在且单调减少，又，证明不等式：（其中是常数且满足：）证明：时，时，在区间和上，满足拉格朗日定理条件，3分又在上单调减少，而即6分故有（其中是常数且满足：）四应用题（本题8分）设生产个产品的边际成本为，其固定成本（即时的成本）为100元，产品单价规定为元，假定生产出的产品都能完全销售，求生产量为多少时利润最大？最

4、大利润是多少？2分解：由已知，边际成本由固定成本为100，可得 于是有： 成本函数： 收入函数：4分利润函数：7分由，得唯一驻点，又由，可知，驻点是极大值点，同时也是最大值点。因此，当生产量为200时，总利润最大。8分最大利润为。三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名 .答 题 不 要 超 过 密 封 线.20082009学年第一学期高等数学I(上)期末考试试卷A 注意：1、本试卷共 3 页； 2、考试时间120分钟 3、姓名、学号必须写在指定地方 阅卷负责人签名： 题号一二三四五六七总分得分阅卷人得分一、填空题（共5个小题，每小题2分，共10分）.1、函数内零点的个数为 .2、设函数由

5、方程所确定，则= .3、 .4、物体在力的作用下从沿直线移动到，且力的方向指向轴正向，则力在物体移动过程中所做的功为 .5、微分方程的通解为 .阅卷人得分二、单项选择题（共10个小题，每小题2分，共20分）将每题的正确答案的代号A、B、C或D填入下表中.题号12345678910答案1、下列各项中函数相同的是（ ） A. ； B. ；C. ； D. .2、下列极限中不正确的是（ ）A. ；B. ；C. ；D. . 3、=（ ）A. 1； B. 2； C. 3； D. 4.4、设，则在处的（ ）A. 左、右导数都存在； B. 左导数存在、右导数不存在；C. 左导数不存在、右导数存在； D. 左、

6、右导数都不存在.5、设，则是的（ ）A. 可去间断点； B. 第二类间断点； C. 跳跃间断点； D. 连续点.6、设在上，则下面正确的为（ ）.A； B；C； D.7、下列等式中不正确的是（ ）A. ； B. ；C. ； D. .8、下列计算正确的是（ ）A. ；B. ，；C. ；D. 9、（ ）A. 0； B. ； C. ； D. .10、已知是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为（ ）A. ； B. ；C. ； D. .阅卷人得分三、计算下列各题（每小题6分，共18分）. 1、已知，求. 三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名 .答 题 不 要 超 过 密 封 线.2

7、计算极限.3、计算极限.阅卷人得分四、计算下列各题（每小题6分，共18分）1、； 2、已知，求；3、求微分方程的通解.阅卷人得分三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名 .答 题 不 要 超 过 密 封 线.五、解下列各题（每小题6分，共18分）1、求函数的极值. 2、证明：当时，.3、已知是的一个原函数，求.阅卷人得分六、（8分）设由曲线，直线及轴所围图形为T. （1）求T的面积； （2）求T绕轴旋转而成的旋转体的体积. 阅卷人得分七、（8分）设光滑曲线过原点，且当时，对应于一段曲线的弧长为，求.习题4-2 1. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数, 使等式成立(例如: : (1

8、) dx= d(ax); 解dx= d(ax). (2) dx= d(7x-3); 解dx= d(7x-3). (3) xdx= d(x2); 解xdx= d(x2). (4) xdx= d(5x2); 解xdx= d(5x2). (5); 解 . (6)x3dx= d(3x4-2); 解x3dx= d(3x4-2). (7)e 2x dx= d(e2x); 解e 2x dx= d(e2x). (8); 解 . (9); 解 . (10); 解 . (11); 解 . (12); 解 . (13); 解 . (14). 解 . 2. 求下列不定积分(其中a, b, w, j均为常数): (1)

9、 解 . (2); 解 . (3); 解 . (4); 解 . (5); 解 . (6); 解 . (7); 解 . (8); 解 . (9); 解 . (10); 解 . (11); 解 . (12); 解 (13); 解 . (14); 解 . (15); 解 . (16); 解 . (17); 解 . (18); 解 . (19); 解 . (20); 解 . (21); 解 . (22); 解 . (23); 解 . (24); 解 . (25); 解 . (26); 解 . (27); 解 . (28); 解 . (29); 解 . (30); 解 . (31); 解 . (32)

10、 解 . (33); 解 . (34)(0); 解 , . (35); 解 . 或 . (36); 解 . (37); 解 . (38); 解 . (39); 解 . (40). 解 . 习题5-1 1. 利用定积分定义计算由抛物线y=x2+1, 两直线x=a、x=b(ba)及横轴所围成的图形的面积. 解 第一步: 在区间a, b内插入n-1个分点(i=1, 2, , n-1), 把区间a, b分成n个长度相等的小区间, 各个小区间的长度为: (i=1, 2, , n). 第二步: 在第i个小区间xi-1, xi (i=1, 2, , n)上取右端点, 作和 . 第三步: 令l=maxDx1

11、 Dx2, , Dxn, 取极限得所求面积 . 2. 利用定积分定义计算下列积分: (1)(a0, 所以函数f(x)=x arctan x在区间上单调增加. 于是 , . 因此 , 即 . (4)先求函数在区间0, 2上的最大值M与最小值m. , 驻点为. 比较f(0)=1, f(2)=e 2, ,得, M=e 2. 于是 , 即 . 7. 设f(x)及g(x)在a, b上连续, 证明: (1)若在a, b上, f(x)0, 且, 则在a, b上f(x)0; (2)若在a, b上, f(x)0, 且f(x)0, 则; (3)若在a, b上, f(x)g(x), 且, 则在a, b上f(x)g

12、x). 证明 (1)假如f(x)0, 则必有f(x)0. 根据f(x)在a, b上的连续性, 在a, b上存在一点x0, 使f(x0)0, 且f(x0)为f(x)在a, b上的最大值. 再由连续性, 存在c, da, b, 且x0c, d, 使当xc, d时, . 于是 . 这与条件相矛盾. 因此在a, b上f(x)0. (2)证法一 因为f(x)在a, b上连续, 所以在a, b上存在一点x0, 使f(x0)0, 且f(x0)为f(x)在a, b上的最大值. 再由连续性, 存在c, da, b, 且x0c, d, 使当xc, d时, . 于是 . 证法二 因为f(x)0, 所以. 假如不成

13、立. 则只有, 根据结论(1), f(x)0, 矛盾. 因此. (3)令F(x)=g(x)-f(x), 则在a, b上F(x)0且 , 由结论(1), 在a, b上F(x)0, 即f(x)g(x). 4. 根据定积分的性质及第7题的结论, 说明下列积分哪一个的值较大: (1)还是？ (2)还是？ (3)还是？ (4)还是？ (5)还是？ 解 (1)因为当0x1时, x2x3, 所以. 又当0xx3, 所以. (2)因为当1x2时, x2x3, 所以. 又因为当1x2时, x2x3, 所以. (3)因为当1x2时, 0ln x1, ln x(ln x)2, 所以. 又因为当1x2时, 0ln x

14、ln x)2, 所以. (4)因为当0x1时, xln(1+x), 所以. 又因为当0ln(1+x), 所以. (5)设f(x)=ex-1-x, 则当0x1时f (x) =ex-10, f(x)=ex-1-x是单调增加的. 因此当0x1时, f(x)f(0)=0, 即ex1+x, 所以. 又因为当01+x, 所以. 习题4-2 1. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数, 使等式成立(例如: : (1) dx= d(ax); 解dx= d(ax). (2) dx= d(7x-3); 解dx= d(7x-3). (3) xdx= d(x2); 解xdx= d(x2). (4) xdx= d

15、5x2); 解xdx= d(5x2). (5); 解 . (6)x3dx= d(3x4-2); 解x3dx= d(3x4-2). (7)e 2x dx= d(e2x); 解e 2x dx= d(e2x). (8); 解 . (9); 解 . (10); 解 . (11); 解 . (12); 解 . (13); 解 . (14). 解 . 2. 求下列不定积分(其中a, b, w, j均为常数): (1); 解 . (2); 解 . (3); 解 . (4); 解 . (5); 解 . (6); 解 . (7); 解 . (8); 解 . (9); 解 . (10); 解 . (11); 解

16、 . (12); 解 (13); 解 . (14); 解 . (15); 解 . (16); 解 . (17); 解 . (18); 解 . (19); 解 . (20); 解 . (21); 解 . (22); 解 . (23); 解 . (24); 解 . (25); 解 . (26); 解 . (27); 解 . (28); 解 . (29); 解 . (30); 解 . (31); 解 . (32); 解 . (33); 解 . (34)(0); 解 , . (35); 解 . 或 . (36); 解 . (37); 解 . (38); 解 . (39); 解 . (40). 解 .

17、习题5-1 1. 利用定积分定义计算由抛物线y=x2+1, 两直线x=a、x=b(ba)及横轴所围成的图形的面积. 解 第一步: 在区间a, b内插入n-1个分点(i=1, 2, , n-1), 把区间a, b分成n个长度相等的小区间, 各个小区间的长度为: (i=1, 2, , n). 第二步: 在第i个小区间xi-1, xi (i=1, 2, , n)上取右端点, 作和 . 第三步: 令l=maxDx1, Dx2, , Dxn, 取极限得所求面积 . 2. 利用定积分定义计算下列积分: (1)(a0, 所以函数f(x)=x arctan x在区间上单调增加. 于是 , . 因此 , 即 .

18、 (4)先求函数在区间0, 2上的最大值M与最小值m. , 驻点为. 比较f(0)=1, f(2)=e 2, ,得, M=e 2. 于是 , 即 . 7. 设f(x)及g(x)在a, b上连续, 证明: (1)若在a, b上, f(x)0, 且, 则在a, b上f(x)0; (2)若在a, b上, f(x)0, 且f(x)0, 则; (3)若在a, b上, f(x)g(x), 且, 则在a, b上f(x)g(x). 证明 (1)假如f(x)0, 则必有f(x)0. 根据f(x)在a, b上的连续性, 在a, b上存在一点x0, 使f(x0)0, 且f(x0)为f(x)在a, b上的最大值. 再

19、由连续性, 存在c, da, b, 且x0c, d, 使当xc, d时, . 于是 . 这与条件相矛盾. 因此在a, b上f(x)0. (2)证法一 因为f(x)在a, b上连续, 所以在a, b上存在一点x0, 使f(x0)0, 且f(x0)为f(x)在a, b上的最大值. 再由连续性, 存在c, da, b, 且x0c, d, 使当xc, d时, . 于是 . 证法二 因为f(x)0, 所以. 假如不成立. 则只有, 根据结论(1), f(x)0, 矛盾. 因此. (3)令F(x)=g(x)-f(x), 则在a, b上F(x)0且 , 由结论(1), 在a, b上F(x)0, 即f(x)g

20、x). 4. 根据定积分的性质及第7题的结论, 说明下列积分哪一个的值较大: (1)还是？ (2)还是？ (3)还是？ (4)还是？ (5)还是？ 解 (1)因为当0x1时, x2x3, 所以. 又当0xx3, 所以. (2)因为当1x2时, x2x3, 所以. 又因为当1x2时, x2x3, 所以. (3)因为当1x2时, 0ln x1, ln x(ln x)2, 所以. 又因为当1x2时, 0ln x(ln x)2, 所以. (4)因为当0x1时, xln(1+x), 所以. 又因为当0ln(1+x), 所以. (5)设f(x)=ex-1-x, 则当0x1时f (x) =ex-10, f

21、x)=ex-1-x是单调增加的. 因此当0x1时, f(x)f(0)=0, 即ex1+x, 所以. 又因为当01+x, 所以. 0304浙江工商大学高等数学（上）参考答案一、 1、 2、 3、 4、1 5、-1二、 1、C 2、D 3、D 4、A 5、A 三、1、6， 2、， 3、， 4、单调增加，单调减少， 5、，6、， 7、1， 8、。四、五、0304浙江工商大学高等数学（上）参考答案一、1、(0, 2), 2、0, 3、ln2, 4、 ， 5、 ， 6、7、， 8、4， 9、10. 2/e二、A B D B B三、1、1/2， 2、1， 3、4、 5、 6、 四、1、 2、 五、a=2

22、 b=3, c=00506浙江工商大学高等数学（上）参考答案一、 1； 2.； 3. 2；4. ； 5.； 6.； 7.； 8. ； 9.； 10.二、1. A 2. C 3. D 4. B 5. B.三、1.原式= （6分）2. （2分） （5分） 联立解得 a = 7， b = 6. （6分）3. ， （3分） （6分）4. 方程两边对x求导得 （4分） (6分) 6. 原式= （4分）= （6分）7. 四、1. 抛物线在点（0，3）的切线为y = 4x3，在点（3，0）的切线为y = 2x+6，两切线的交点为。 （5分） 所求面积A= = （9分）2. 圆柱体体积V= （3分） 由，得

23、驻点， （7分）由，知当， （9分）五、证 ，； （2分）， . （3分）因为 ,（5分）所以具有连续的一阶导数。0607浙江工商大学高等数学（上）参考答案一、； 2.； 3. ；4. ； 5.； 6.； 7.； 8. ； 9.； 10.二、1. D 2. B 3. A 4. C 5. B.三、1. 2； 2. ； 3.在不可导， ；4. ； 5. ； 6. 7. 四、1. (1)时面积 最大 (2) 2. 建立x轴向下的坐标系，取x为积分变量0708浙江工商大学高等数学（上）参考答案一、 1.； 2.0； 3.；4.； 5. 二、1. B 2. A 3. B 4. D 5. B.三、1. ； 2. ； 3. ；4. 凸区间，凹区间，拐点凸区间； 5. ； 6. 7. 四、1. 2. 五、应用罗尔定理。08/09高等数学（上）(A)参考答案一填空：1. 2. 3. 4 5二选择：1. D 2. D 3. B 4. C 5. B三. 计算题(一)(,每小题6分,共24分)1解：原式 (3