高阶等差数列的若干性质及应用探讨.doc

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1、毕业论文题 目： 高阶等差数列的 若干性质及应用探讨 目 录摘要.3关键字.3前言.31.高阶等差数列定义.41.1 数列的差分.41.2 高阶等差数列的定义.52.高阶等差数列的性质.6 2.1 高阶等差数列的性质及其证明.6 2.2 求高阶等差数列通项及前项和.93.高阶等差数列的应用探讨.13 3.1 高阶等差数列在堆垛中的应用.133.2 高阶等差数列在求有限级数和中的应用.17总结.19致谢.20参考文献.20高阶等差数列的若干性质及应用探讨摘 要：本文研究了高阶等差数列的若干性质及其应用。主要从高阶等差数列的概念、性质、公式和应用进行分析和探讨。以期对高阶等差数列性质及其应用达到规

2、律性的认识。关键字：高阶等差数列；等差数列；差分Some qualities and application of high level gradation array inquire Department of Mathematics and Computer Science ，Huainan Normal UniversityAbstract：In this paper, a number of high-end nature of arithmetic sequence and its applications are discussed.We mainly discuss these

3、questions from the high concept of arithmetic sequence, properties, formulas and applications for analysis and discussion. We wish get higher understanding to knowledge of these laws.Key words：High level gradation array； Arithmetic progression；Difference前言在中学数学教材中, 只系统地介绍了“等差数列”“等比数列”, 而高阶等差数列是它们的延伸

4、与拓展，但教材对其介绍和讨论的很少，但解题之中经常会遇到这种数列，例如，我初次就是在公务员考试中（数量关系中数字推理部分）遇到这种数列的，当时答案上只是说了它的名称，二（三）阶等差数列，旁边只有一个阶梯做差图，当时看着就明白了，后来还多次碰到，但都只是在形式上认识了高阶等差数列，对其没有深入性的了解。不仅在题目中，在其他的一些学术杂志中也经常会有高阶等差数列的身影。但在目前中学数学教学中缺乏对它系统性的认识。故本文对高阶等差数列作一系列介绍、分析和研究，其中的一些解题方法步骤以期对中学数学解题有一定的参考价值。1. 高阶等差数列定义介绍高阶等差数列定义之前我们先简单介绍下数列的差分，数列的差分

5、是研究高阶等差数列的有效工具。1. 1 数列的差分定义1 对于给定原数列 ， （1） 称差= -（=1，2，）为数列（1）的一阶差分。 数列 ， （2） 则称为数列（1）的一阶差分数列。 再求得数列（2）的一阶差分 = -（=1，2，3，） 得到数列 ， （3） 称为数列（1）的二阶差分数列。 依次类推，对于，称 =-，（=1，2，）为数列（1）的阶差分。 数列，称为数列（1）的阶差分数列。 那么对于数列的差分这个定义并不难理解，那么我们继续给出几个差分的简单性质，帮大家更好的理解差分，也为后面引入高阶等差数列性质做个铺垫。 对于给定的两个数列，根据定义，不难得到（1）（2）（3） 对于给定的

6、数列，有 这些性质都是根据定义就可以直接推导得出。1.2 高阶等差数列定义对差分的概念了解之后，我们就可以直接引出高阶等差数列的定义。定义2 如果一个数列依次从第二项起，逐项减去它的前一项，便得到另一个数列，此数列叫做原数列的一阶差分数列。仿此对一阶差分数列再求差，得到的数列叫做原数列的二阶差分数列。依此类推，可得到原数列的阶差分数列（）。如果一个数列的阶差分数列是一个非零常数列，则称这个数列叫阶等差数列。 定义2表明，当且仅当是阶等差数列时，数列是阶等差数列。 例如：数列 1， 16， 81， 256， 625， 1296， 一阶差 15， 65， 175， 369， 671， 二阶差 50

7、 110， 194， 302， 三阶差 60， 84， 108， 四阶差 24， 24，所以，数列1， 16， 81， 256， 625， 1296，是四阶等差数列。注：零阶等差数列就是常数列；中学所学的等差数列即是一阶等差数列；二阶或二阶以上等差数列是高阶等差数列，高阶等差数列是中学所学的推广，研究高阶等差数列的性质与应用对中学数学中等差数列的学习与巩固加深有着重要的意义。 2. 高阶等差数列性质 那么高阶等差数列的性质有哪些呢，与中学的等差数列不一样，光凭观察可能很难发现它的性质和规律，此处，我查阅了资料并经过自己的研究分析得出高阶等差数列的如下几个性质。2.1 高阶等差数列的性质及其证

8、明 定理1 若数列是阶等差数列，则可表示为的次多项式，即。 证明：利用数学归纳法。 1.必要性（1）当=1时，=，且则有 即的一阶差分数列为，所以为一阶等差数列。 （2）现设当时，命题成立，即当时，为阶等差数列。给定次多项式 则有是一个关于的次多项式，故是一个阶等差数列，即命题当时也成立。故对于一切自然数命题都成立。2.充分性设数列为 其一阶差数列为 其二阶差数列为 其三阶差数列为 对高阶等差数列的公差作如下规定：令称为一阶公差； 称为二阶公差； 称为三阶公差； 可见，一阶公差就是一阶差分数列的首项，二阶公差就是二阶差分数列的首项设为阶等差数列的各阶项差数列之首项，则。考察的一阶项差数列：又当

9、时，当时，所以上式可写为：将上述各式左右分别相加，且两边同时加即得：利用公式即得与之前差分定义中的相对应，上式又可表示为这个性质是高阶等差数列中很重要的一个性质，它概括了高阶等差数列的结构特点，通项公式的由来，证明的过程比较长，但思路是非常清晰的，主要就是利用差分的性质，再通过裂项相消就很容易得出证明。接下来再看高阶等差数列的前n项和有什么规律。 定理2 若数列是阶等差数列，它的前项和为，则是阶等差数列，且 =+证明 构造数列显然，此数列的第项就是数列的前项和且其一阶差分数列为，故此数列为阶等差数列，根据定理1，易证出=+。这个性质比较简单，主要由前一个性质引来的，只是稍微的推导下就可以得到，

10、但这个性质也很重要，在例题中会经常用到。定理3 数列为阶等差数列。其中。证明：因为 其中为阶等差数列，由高阶等差数列的定义知为 阶等差数列。那么根据这个定理，可求得（1） 的前项之和 因 故 （2） 的前项之和 故 以此类推，任何一个自然数乘方类数列都可以利用这种方法求和。 高阶等差数列中最重要也最常见的问题是求通项和前项和，更深层次的问题是差分方程的求解，解决问题的基本方法有： (1)逐差法：其出发点是。(2)待定系数法：在已知阶数的等差数列中，其通项与前项和是确定次数的多项式(关于的)，先设出多项式的系数，再代入已知条件解方程组即得。 (3)裂项相消法：其出发点是能写成。 (4)化归法：把

11、高阶等差数列的问题转化为易求的同阶等差数列或低阶等差数列的问题，达到简化的目的。2.2 求高阶等差数列通项及前项和 以下我们引用几道例题加深对高阶等差数列性质的认识。 例1 求数列1，4，12，27，51，86，的通项公式。 解 先作出阶差表 1， 4， 12， 27， 51， 86， 3， 8， 15， 24， 35， 5， 7， 9， 11， 2， 2 ， 2，显然，原数列是三阶等差数列，此时有=3，=5，=2直接代入公式得=+1 点评：这是一道计算出各阶差分，再直接待入公式得出通项的题目。这个对于巩固差数列的性质有重要作用，且对高阶等差数列有着直观的认识。 例2 求数列-1，-3，3，2

12、3，63，129，的通项公式及前几项和。 解 作出此数列的各阶差分数列，不难求出 ： -1， -3， 3， 23， 63， 129， ： -2， 6， 20， 40， 66， ： 8， 14， 20， 26， ： 6， 6， 6， 所以数列是3阶等差数列，根据定理1、2 以上都是直接代入公式计算即可得出结果，我们再来看一种根据性质采用代数法再解方程的求出结果的例子。例3 求出三阶等差数列1，4，12，27，51，的通项公式及前项和。解 已知数列为三阶等差数列，由定理1，其通项公式必为一个关于的三次多项式.设，并分别取有解此线性方程组得.故由推论可知，以该数列的前项和为第项的数列为四阶等差数列，

13、所以可设,分别取，有解之得，因此.这个就是利用待定系数法的典型例题，方法很容易掌握，思路也比较简单。就是解方程时稍有点繁琐。这种方法一般使用于任何给出4、5项的高阶等差数列求通项及前项的题目。例4 求和： 解 是数列的前项和， 因为是关于的四次多项式，所以是四阶等差数列，根据定理知，是关于的五次多项式。 故求可转化为 和 分别求得从而例5 求数列1,3+5+7,9+11+13+15+17,的通项。解 问题等价于： 将正奇数1,3,5,按照“第个组含有个数”的规则分组：(1)、(3,5,7)、(9,11,13,15,17), 然后求第组中各数之和 依分组规则，第n组中的数恰好构成以2为公差的项数

14、为的等差数列，因而确定了第组中正中央这一项，然后乘以即得 将每一组的正中央一项依次写出得数列：1,5,13,25,这个数列恰为一个二阶等差数列，不难求其通项为，故第组正中央的那一项为从而最后介绍一种用多种方法解题的例子，大家可以比较其中的差别。例6 已知，求数列的前项和。解法1 （利用公式求和） 由于是的3次多项式，知为三阶等差数列。 又 由定理2有 解法2 （构造辅助数列求和） 令，则 ， 即是由确定的查分数列。 所以 解法3 （待定系数法） 由定理2知，是四阶等差数列，可令 把分别代人上式，并计算出，即可得关于的线性方程组，解得方程组可得故 总的来说高阶等差数列的通项公式为关于的次多项式，

15、在求解时可以根据题目中所给的条件利用不同的方法法求解，而它的前项和是关于的次多项式，而且前项和公式的常数项为零，也可以利用待定系数法求得。3. 高阶等差数列的应用探讨至于高阶等差数列的应用，古今数学书上屡见不鲜，诸如宋代数学家提出的酒罐堆垛问题，此是底层是长方体的堆垛问题，每上一层，长宽各减一个，这是一个典型的高阶等差数列求和问题，我国著名数学家华罗庚教授在从杨辉三角谈起一文中举了一些堆垛问题说明高阶等差数列的应用，其余如三角垛，圆形垛之类也都属于高阶等差数列求和问题。3.1 高阶等差数列在堆垛中的应用我们利用上面的高阶等差数列性质及求和公式，可以解决每一个堆垛问题，现引用几例说明。例1 仓库

16、中堆积酒坛成矩形层，已积压最高层为只，问堆积9层，它的中间一层可堆积多少只酒坛？堆积总数为多少只？解 根据题意，先列出数列6，12，20，30，42， 6， 8， 10，12， 2， 2， 2，这是个二阶等差数列，。直接代入公式得 答：中间一层可堆积42只酒坛，9层共堆积438只酒坛。仓库中堆积不能用重叠法堆积的物品如空缸，圆球，弹药等，一般有3种方法：1.三角形积层，即 例如： 1，3，6，10， 2.矩形积层，即 例如：；15，24，35，48， 3.正方形积层，即，1，4，9，16，计算方法就是求二阶等差数列的某一项及其和。例2 仓库中，将不能用重叠法堆积的物件堆成矩形积层。已知第一层为

17、3件，问堆积10层共有多少件？如果第一层为6件时，堆积5层共有多少件？ 解：1 因为3， 8， 15， 24， 35， 5， 7， 9， 11， 2， 2 ， 2，代入公式计算得(件）2 因为即 6， 12， 20， 30， 42， 56， 6， 8， 10， 12， 14， 2， 2， 2， 2，代入公式计算得(件） 例3 酒店里把酒坛层层堆积，底层排成一个长方形，以后每上一层，长和宽两边的坛子各少一个，这样堆成一个长方形，求坛的总数。解 设底层的长和宽两边分别摆和个坛子，又设一共堆了层，显然 . 则酒坛总数为 特别地，当时，有 例4 食品罐头若干个，堆成六角垛：顶层一个，以下各层都是正六角

18、形，每边递增一个，设底层每边n个，求总数.解 先算出底层罐头的个数. 于是罐头总数为： .例5 球形物体堆放成底边是矩形，最顶上一层仅一排，有球体个，共层，求堆放物体总数。解 从上到下，各层球形物体数，构成数列 此数列的各阶差分数列分别为 2, 2, 2, 可见各层球形物体数构成一个二阶等差数列，且 故堆放球形的物体总数为 以上都是高阶等差数列求和在实际中的应用，其实都比较简单，直接利用给出的数据代人公式就能求得。下面再利用数列差分法及高阶等差数列的一些性质来计算一个特殊的有限项级数的和。 3.2 高阶等差数列在求有限级数和中的应用例6 设数列是公差为的等差数列，试求： 解 令 则有 再令 （

19、1） 则有 （2） 由（2）-（1）得 而 代人上式得 从而 将上面个等式相加，得 所以 其中是一个与无关的常数（通常由待定系数法确定），在上式中令，得 由于，代人可得 这道题也利用高阶等差数列的性质，核心是用裂项相消法。以下几题与本题都有异曲同工之处。例7 求解 数列的通项为.因此 .例8 求数列： 的和S解 注意到此数列的第m项（通项）为 以上就是高阶等差数列在数学中及生活中的应用，主要都是利用其通项或前n项和公式进行的一些计算，具体要记住其解题模型。另外在解关于有限项级数求和的题目时，要善于利用高阶等差数列的差分性质以及套用高阶等差数列的解题方法进行解题。关于高阶等差数列的应用还有很多很

20、多，例如古代曾使用2次内差法来推算日月五星的经行度数，后来还出现了高次内差法。这些都是高阶等差数列的性质被归纳而利用的例子。随着科技的不断发展，越来越多的行业都需要一些专业性的知识来作为指导，因而高阶等差数列的性质也正被广泛的发掘和利用。例如在现代的计算机数学领域中，某些数据库的建立就会涉及到它。不仅在数学领域，在其他各领域都有高阶等差数列的作用。因此，我撰写本文，为了使高阶等差数列更广泛的被了解认识而得到应用。总结 高阶等差数列是中学等差数列的推广，掌握它的性质和应用对数学解题有很重要的意义和作用。本文通过对高阶等差数列基础知识的阐述，再通过例题的讲解与分析，总结了一些高阶等差数列的性质，一

21、般解题思路和规律，以及一些数学思想方法，对中学数学解题有一定的理论指导意义。致谢 本论文是在老师的悉心指导下完成的。从毕业设计题目的选择、到选到课题的研究和论证，开题报告的撰写，再到本本论文正题设计的编写、修改，每一步都有平老师的细心指导和认真的解析，对此我一直心怀感激。同时感谢所有教育过我的专业老师，你们传授的专业知识是我不断成长的源泉也是完成本论文的基础。也感谢我同一组的组员和班里的同学是你们在我遇到难题是帮我解决了一些难题。再次真诚感谢所有帮助过我的老师同学。通过这次毕业设计不仅提高了我独立思考问题解决问题的能力而且培养了认真严谨，一丝不苟的学习态度。由于经验匮乏，能力有限，设计中难免有

22、许多考虑不周全的地方，希望各位老师多加指教。 参考文献1李长荣,彭晓东. 高阶等差数列及其应用J. 同煤科技, 1998, (01)2明知白. 等差数列与高阶等差数列J. 中学数学, 2007, (07) 3邓勇. 高阶等差数列的一个性质J. 数学通讯, 2005, (21)4郭要红,戴普庆.中学教学研究M . 合肥：安徽大学出版社,1998,(11) 3283355张教森 ,董吕云. 高阶等差数列J. 宁夏大学学报(自然科学版), 1982, (01)6陶家元.高阶等差数列的前n项求和J. 成都大学学报, 1999, (03)7陈传理,张同君. 竞赛数学教程M. 北京：高等教育出版社,2005,(04) 1001038高巧玲. 高阶等差数列的分析J. 忻州师范学院学报, 2009, (05)9韩世忠. 关于高阶等差数列的问题从等差数列谈起J. 开封教育学院学报, 1992, (04)10吴强. 阶差数列的几个性质及应用J. 河西学院学报,2008,(02)11张建波. M阶等差数列的前N项和J. 科教文汇(下旬刊), 2007, (09)12吴洪生. 高阶等差数列的简易求和法J .数学教学,1983,(03) 20