全等三角形难题集锦.docx

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1、1.如图，已知等边4ABC,P在AC延长线上一点，以PA为边作等边AAPEK延长线交BP于M.连接AM.求证：BP=CE；.j!MAN(2)出2、点C为线段AB上一点，ACM.ZiCBN都是等边三角形，线段AMMC交于点E.BM.CN交于点F。求证：(1)AN=MB(2)将AACM统点C按逆时针方向旋转肯定角度,如图2所示.其他条件不变.(1)中的结论是否依旧成立？(3)AN及BM相交所夹饯角是否发生受史：5 .已知，如图1所示，在4A8。和人。E中.AB=AC,AD=AE.ZBC=ZDAE,且点8,。在一条直线上，连接AECD.M.N分别为的中点.(1)求证：HE=CD；AM=AN中的两个结

2、论是否仍旧成立.图图在图1的基理上，将AACE绕点A按顺时针方向旋转180.其他条件不变，得到图2所示的图形.请干脆写6 .如图，C为线段AE上一动点（不及点A,E至合）.在AE同僚分别作正三角形ABC和正三角形CD.AD及BE交于点O.AD及BC交于点P.BE及CD交于点Q,连结PQ.以下五个结论：AD=BE；PQ#AE；AP=BQ；DE=DP；AOB=60s6CP=CQACPQ为等边三角形.8共有2对全等三角形9（：0平分4人（1。CO平分NBCD恒成立的结论有（把你认为正确的序号都填上）.10.已知：如图，ZXABC是等边三角形.过人8边上的点。作ZX；8C.交AC于点G,在G。的延长线

3、上取点.DE=IW,连接AECD.（1）求证:AGEDAC;（2）过点E作小DC.交BC于前F,请你连接Ar.并推断aA防是怎样EQ饮的三角形.试证明你的结论./(图1(IAD=BE；2PQAE.3AP=BQ； DE=DP； ZAOB=60.恒成立的结论有（把你认为正确的序号都填上）.I1.如图1,以AViC的边AB、AC为边分别向外作正方形A8OE和正方形八CAG.连结柘，试推断4/WiC及AAEG面积之间的关系,并说明理由9如图.C为线段AE上一动点（不及点A.E重合）.在AE同傀分别作正三角形ABe和正三角形CDE.AD及BE交于点O.AD及BC交于点P,BE及CD交于点Q.连结PQ.以

4、下五个结论：如图所示,已知ZABC和ZSBDE都是等边三角形.且A、8、D三点共线.下列结论IAE=CD,2BF=BG,3HB平分乙AHD；乙AHC=60。.SBFG是等边三角形；6FGAD.其中正确的有（）A.3个B.4个C.5个D.6个1、在ZXABC中.AB=BC=2,ZABC=120.将ZkABC绕(0900)得AABG,A/交AC于点工AG分别两点如图1.视察并猜想.在旋转过程中.线段KA及“C有怎样的数量关系？并证明你的结论；2 .如图所示.AABC是等禊直角三角形.ZACB-90.AD是BC边上的中线,过C作AD的垂线.交AB于点E,交AD于点F,求证乙ADC=乙8DE3 .如图

5、1.四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D,且三角顶点E在AB边上滑动（点E不及点A.B承合）,另一条直角边及NCBM的平分线BF相交于点F.（D如图14-1,当点E在AB边的中点位置时：通过测量DE,EF的长度,转想DE及EF满意的数量关系是；连接点E及AD边的中点M猜想NE及BF满意的数量关系是；3.请证明你的上述两猜想.AB.AD=DC,BD斗分乙ABC。求证：484乙初。=180。2、如图,四边形ABCD中，AC平分Z.BAD.CE_1.AB于E,AD+AB=2AE.则乙B及乙ADC互补.为什么？3、如图4,在4A8C中.BD=CD.乙ABD=乙A

6、CD,求证AD平分乙BAC.4.如图,在AABC中/ABC./ACB的外角平分线交P.求证:AP是4BAC的角平分线P5、如图在四边形ABCD中,AC平分乙BAD.关系，并证明你的猜想，6、如图.已知在AABC中.B=6(.ZiABC的角平分线ADCE相交于点0.求证：OE=OD7.如图所示,巳知在AAEC中,4E=90.AD平分4EAC.DFJ1.Ae,垂足为F.DB=DC,求证：BE=CF8、如图1,。是乙加ON的平分线.请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称箱的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问迎：(1)如图2.在446C中,4476是五角，Z5=60,AD.CF分

7、别是4历1墨乙纥4的平分线,AD.CF相交于点居请你推断并写出任及尸。之间的数量关系；(2)如图3.在448C中,假如乙4Q?不是直角，而中的其它条件不变,请问,你在(1)中所得结论是否仍旧成立？若成立，请证明；若不成立,请说明理由。9.已知：如图.BF_1.AC于点F,线上CE1.AB于点E,且BD=CD.求证：8DECDF(2)点D在乙A的平分上,rc10、如图在ABC中.ABAC.乙I=乙2.P为AD上随意一点.求证:AB-ACPB-PC11、(2007年成都)已知：如图.Z4?C中.A8C=45a.CD1.A8于D.平分乙4始且俄;14。于及。相交于点F,，是SC边的中点，连结。H及的

8、相交于点G。求证：BF=AC；(2)求证：CE;BF；(3)Cf及比的大小关系如何？试证明你的结论。12、(2009年赤峰市)如图,在四边形ABCD中,AB=BC,BF是Z1.ABC的平分线,AF/DC.连接AC、CF,求证：CA是乙DCF的平分线。1、数学课上.张老师出示了问题：如图1.四边形力比O是正方形.点F是边8C的中点.AAEF=9(),且FF交正方形外角ZDCG的平分线Cf干京F.求证.AE=EF.经过思索,小明展示了一种正确的解题思路：取48的中点M连接f1.AM=EC,易证AAME丝(?所以AE=M.在此基础上.同学们作了进一步的探讨：(1)小颖提出：如图2,假如把1点E是边8

9、C的中点改为点F是边BC上(除6C外)的随意一点二其它条件不变.那么结论“AE=EF仍旧成立.你认为小颖的观点正确吗？假如正确.写出证明过程；假如不正徜，请说明理由；(2)小华提出：如图3.点是比的延长线上(除C点外)的陶意一点，其他条件不变,结论AE=EF仍旧成立你认为小华的观点正确吗7假如正确，写出证明过程；俗如不正确.请说明理由.图33 .ABC中，乙BAC=60,乙C=40。，AP平分乙BAC交BC于P,BQ平分乙ABC交AC于Q,求证：AB+BP=BQ+AQ4 .问翅背景，如下命题：如图1.在正三角形ABC中N为BC边上任一点.CM为正三角形外角ZACK的平分线若ANM=60。.则A

10、N=NM如图2.在正方形ABCD中N为BC边上任一点，CM为正方形外角NDCK的平分线.若NANM=90。.则AN=NM如图3.在正五边形ABCDE中,N为BC边上任一点,CM力正五边形外角/DCK的平分线,若NANM=Io8。.则AN=NM任务要求：请你证明以上三个命题；请你接着完成下面的探究：如图4.在正（，叱3）边形ABCDEF中N为BC边上任一点CM为正边形外角/DCK的平分统向当/ANM等于多少度时,结论AN=NM成立（不要求证明.如图5,在梯形ABCD中,ADBCAB=BC=CDn为BC延长线上一点,CM为NDCN的平分线若NANM=NABc,话问AN=NM是否还成立？若成立,话赐

11、予证明；若不成立请说明理由.那5 .(1)如图，已知在正方形ABCD中,M是AB的中点，E是AB延长线上一点.MN1.DM且交ZCBE的平分线于N.试判定线段MD及MN的大小关系；(2)若将上述条件中的M是AB的中点改为M是AB上或AB延长线上随意一点，其余条件不变.试问(1)中的结论还成立吗？侔如成立，请证明，假如不成立.请说明理由6 .如图.在AABC中.A=90.D是AC上的一点.8D=DC.P是8C上的任一点，PEJ.BD.PF1.AC.E.F为垂足求证：PE+PF=AB.1.如图,已知AABC中,AB=AC=6cm.Z,B=C,BC=4cm,点D为AB的中点.(1)假如点P在线段BC

12、上以ICmZS的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动.1若点Q的运动速度及点P的运动速度相等,经过1秒后，ABPD及ACQP是否全等.请说明理由；2若点Q的运动速度及点P的运动速度不相等.当点Q的运动速度为多少时，能够使八8PD及ACQP全等？(2)若点Q以2中的运动速度从点C动身,点P以原来的运动速度从点B同时动身,都逆时甘沿aABC三边运动.则经过后，点P及点Q第一次在AABC的边上相遇？(在横线上干脆写出答案，不必书写胡题过程)C2 .已知在AABC中.乙ACB为锐角.点D为射线BC上一动点.连接AD.以AD为一边且在AD的左例作等腰直角ADE,解答下列各Sfi：

13、假如AB=AC8AC=90.当点D在线段BC上时（及点B不承合）,如图甲,线段BD,CE之间的位置关系为（ii）当点D在线段BC的延长线上时,如图乙,i）中的结论是否还成立7为什么？3 .（2012内江）已知AABC为等边三角形.点D为直线BC上的一动点（点。不及B、C重合）,以AD为边作菱形ADEF（A、。、E、F按逆时针排列）,使4DAF=60）连接CF.（1）如图1,当点D在边BC上时,求证：BD=CF；2AC=CF+CD；（2）如图2,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时.结论AC=CFCD是否成立？若不成立.请写出AC、CF.C。之间存在的数量关系.并说明理由；（3）如图3.当点

14、D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形,并干脆写出AC、CF,CD之间存在的敌量关系1.在aABC中，ADBC.BE_1.AC.D、E为垂足,AD及BE交及点H.BD=AD求证：BH=ACHDBE1.AD2. （08河北中考第24题）如图14-1,在比中,HC边在直线/上，AC1.BC.且AC=8CAEFP的边？也在宜线/上，边及边ZC更合，且/=Q.（1）在图14-1中，请你通过视察、测母，猜想并写出力8及力P所满意的数量关系和位置关系；（2）将中汨直线/向左平移到图14-2的位置时，EP交/IC于点Q连结AP.BQ.猜想并写出8Q及49所满意的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（

15、3）将印沿直线/向左平移到图14-3的位置时，。的延长线交4C的延长线于点Q连结42约.你认为（2）中所猜想的8。及ZP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立.给出证明；若不成立，请说明理由.图14-3Q3. （2006年辽宁沈阳25题）.如图1,在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G,则可得结论：AF=DE；AF_1.DE.（不须要证明）（1）如图2,若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点,但满意CE=DF.则上面的结论、是否仍旧成立？（请干脆回答“成立”或“不成立”）如图3,若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上,且CE=

16、DF,此时上面的结论、是否仍旧成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.第25篦4. 如图1,A、E、F、C在同一条直线上，AE=CF.过E、F分别作DE_1.AC,BF1.AC1若AB=CD,试说明BD平分EF；若将ADEC的边EC沿AC方向移动变为图2时，其余条件不变.BD是否还平分EF.请说明理由。5如图，ZxX1.B。中，1.ACB=,AC=BC,是纪边上的中线.过C作。1.4F,垂足为E过8作纺J.8C交CF的延长线干求证：4=8；若4C=12cm,求8。的长6.如图两个全等的含30、60。角的三角板ADE和三角板ABC放置在一起，NDEA=4ACB=90,NDAE=KAB

17、C=3CTE、A、C三点在一条直线上，连接BD.取BD中点M,连接ME、MC.试推断AEMC的形态，并说明理由.7 .已知BE.CF是CABC的高且8P=AC,CQ=AB.试确定AP及AQ的数量关系和位置关系8 .在RtAABC中,AC=BC1NACB=90。.D是AC的中点.DG1.AC交AB于点G.(1)如图1.E为线段DC上随意一点，点F在线段DG上，且。E=DF,连结EF及CF.过点F作FHIFC,交直线AB于点H.(T求证:DG=DC2推断FH及FC的数量关系并加以证明.(2)若E为线段DC的延长线上随意一点,点F在射线DG上，(1)中的其他条件不变,偌助图2画出图形,在你所画图形中

18、找出一对全等三角形，并推断你在中得出的结论是否发生变更.(本小遨干脆写出结论.不必证明)C30s如图,ADBC.AD=BC.AEAD.AF1.AB,AE=AD1AF=AB,求证：AC=EF1.直线CO经过/8。的顶点CCA=CB.E5分别是直线Co上两点,且/用TC=C7=Na(1)若直线。经过/8C/1的内部,且&尸在射线8上，请解决下面两个问题：如图1.若NBCA=90,Na=90,则E产BE-AF(填或-=号)；2如图2,若()ZC18(),若使1冲的结论仍旧成立，则Za及NBCA应满意的关系是；(2)如图3,若直线CO经过NBCA的外部.N=Z?G4.请探究乐及8F.4尸三条线段的数I

19、i关系.并赐予证明.2.已知：如图，四边形ABCD中,AC平分，BAD.CE1.ABTE,fiB+D=1800,求证：AE=A。+BE3.操作如图1.八/18C是正三角形.及?EF.旋转已知，如图.三角形ABC是等履直角三角形，ZACB=90o,F是AB的中点，直线I经过点C,分别过点A、B作I的京线，即ADJ.CE,BE1CE,（1）如图1,当CE位于点F的右侧时，求证：ZiADCNZiCEB;（2）如图2,当CE位于点F的左侧时,求证：ED=BE-AD;（3）如图3.当CE在AABC的外部时，试猜想ED、AD、BE之间的数量关系，并证明你的猜想.考点：全等三角形的判定及性质.专题：证明题；

20、探究型.分析：（1）利用同角的余角相等得出乙CAD=乙BCE,进而依据AAS证明aADCBACEB.（2）依据AAS证明ADC经ACEB后，得其对应边相等，进而得到ED=BE-AD.（3）依据AAS证明AADCgACEB后，得DC=BE,AD=CE,又有ED=CE+DC,进而得到ED=AD+BE.解答：（1）证明：AD-CE,BE1.CE1二乙ADC=乙CEB=90.ZACD+ZECB=90o,ZCAD+Z1ACD=9O0,.CAD=/BCE（同角的余角相等）.在ADC及CCEB中ZADC=ZCEbZCAd=ZBCEAC=BC,ADCCEB（AAS）.证明：JADCE,BE1.CE,二乙ADC

21、乙CEB=90.VZACD+Z.ECB=901Z.CADtz1.ACD=M*.乙CAD=乙BCE(同角的余角相等).在&ADC及CEB中Z1ADC=ZCEBZCAD=/BCEAC=BC,ADCCEB(AAS).ADC=BE,AD=CE.X-ED=CD-CE,.-ED=BE-AD.(3)ED=AD+BE.证明：VAD-CE.BE1.CE./ADC=/CEB=90.ACD+EC8=90o,CAD+ACD=9O0,.,(CAD=NBCE(同角的余角相等).在&ADC及ACEB中Z.ADC=1.CEBzCAD=/BCEAC=BC,.ADCs三CEB(AAS).,DC=BE.AD=CE.X.ED=CE

22、DC,ED=AD+BE.点评：本题考查了全等三角形的判定和性质；利用全等三角形的对应边相等进行等交换,证明线段之间的数量关系，这是一种很重要的方法，留意驾驭3.如图1、图2、图3,AOB,COD均是等腰直角三角形，乙AOB=Z.COD=90*,（1）在图1中，AC及BD相等吗.有怎样的位置关系？谙说明理由，还具还具（2）若ACOD绕点O顺时针旋转肯定角度后，到达图2的位置，请问AC及BD还相等吗.有那种位置关系吗？为什么？（3）若aCOD绕点。期时价旋打肯定角度后，到达图3的位置，请问AC及BD还相等吗？有上问中的位置关系吗？为什么？B/ACo考点：旋转的性质；全等三角形的判定及性质；等腰直

23、角三角形.分析：（1）依据等腰三角形的两腰相等进行解答.（2）证明DOBACOA,依据全等三角形的对应边相等进行说明.解答：解：（1）相等.在图1中，ZAOB,ACOD均是等腰直角三角形，Z_AOB=4CoD=90。.OA=OB1OC=OD,.,OA-OC=OB-OD,AC=BD;（2）相等.在图2中，OD=OC,ZDOb=ZCOA,OB=OA1.D0BC0A,BD=AC.点评：本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质以及旋转问题，在旋转的过程中要留意哪些是不变的，找出图形中的对应边及对应角.4. （2008河南）.（9分）复习“全等三角形”的学问时，老师布置了一道作业联：“如图，已知在A

24、48C中，AB=AC,是448C内部Ia意一点，将4。绕4顺时针旋转至Q,使乙勿P=484C,连接8Q、CP.J1JBQ=CP小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图的分析,证明白A48Q二CR从而证得BQ=CP之后,将点移到等腰三角形48C之外，朦默中的条件不变，发觉B0CP仍旧成立，请你就图给出证明.考点全等三角形的判定及性质，等腹三角形的性质专施：证明题；探究型.分析:此题的两个小题思路是一样的；已知乙QAP=4BAC那么这两个等角同时就去同一个角（2迎是加上同一个角），来证将Z_QAB=乙PAC；而依据旋转的性质知：AP=AQ.且已知AB=Aa即可由SAS证得CABQ式AACP,进而得出BQ

25、CP的结论.解答：证明：（1）VZQAP=ZBAC.乙QAP-4BAP=乙8AC-乙BAP.即NQAB=乙CAP；在ABQA和ACPA中.AQ=APZQAB=ZCApAB=AC.BQACPA（SAS）；ABQ=CP.（2） BQ=CP仍旧成立,理由如下：.,ZQAP=ZBAC.，乙QAP+乙PAB=1.BAC+1.PAB1即NQAB=乙PAC；在AQAB和APAC中，AQ=APZQAB=Z1PACAB=AC.QABPAC（SAS）,-BQ=CP.点评：此遨主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质；选择并利用三角形全等是正确解答本地的关键.5. (2009山西太原)将一张透亮的平行

26、四边形胶片沿对角线剪开，得到图中的两张三角形胶片AABC和ADEF.且人HCN将这两张三角形胶片的顶点8及I8点E重合,把。上下绕点8顺时针方向旋转,这时AC及相交于点。.当)旋转至如图位置.点8(E),C,。在同始终线上时，/A/7)及NDG4的数量关系是.当AOE“接着旋转至如图位置时，(1)中的结论还成立吗？AO及Do存在怎样的数关系？请说明理由.点旋转的性质；全等三角形的判定及性质专题：探究型.分析(1)依据外角的性质.得/AFD=/D+4ABC.1.DCA=A+ABC,从而得出乙AFD=4DCA；(2)成立.由AABCqADEF,可证明乙ABF=Z.DEC.则AABFADEC,从而证

27、出乙AFD=4DCA;(3)BO1.AD.ABCDEF,可证得点B在AD的垂直平分线上,进而证得点。在AD的垂直平分线上，则直线BO是AD的垂直平分线,即BoIAD解答解：ZAFD=ZDCA(或相等).(2)Z.AFD=Z.DCA(或成立),理由如下：方法一：由AABC=2DEF,AB=DE.BC=EF(或BF=EC),Z1.ABC=Z.DEF.Z-BAC=Z.EDF.ZABC-Z1.FBC=Z.DEF-21CBF1：，ZABf=ZDEC.在aABF和ADEC中.AB=DE乙ABF=乙DECBF=ECABFDEC,Z.BAf=Z1.EDC.ZBAC-ZBAF=ZEDF-1.EDC.NFAC=Z

28、CDF.VZAOD=Z.FAC*I.AFD=1.CDF+1.DCA1zCAFD=Z.DCA.方法二：连接AD.同方法一ZiABFrADEC.AF=DC.由AABCiSCDEF,得FD=CA.在ZiAFDeaDCA.AF=DCFD=CAAD=DAAFDDCA.ZAFD=Z.DCA.(3)如图.BO1.AD.方法一：由ZXABCNdDEF,点B及点E重合.得NBAC=4BOF,BA=BD.点B在AD的垂直平分线上，ZBAD=ZBDA.-乙OAD=BAD-Z.BAC.4ODA=BDA-Z.BDF.ZIOAD=Z.ODa.-OA=OD,点。在AD的垂直平分线上.直线B。是AD的垂直平分线，BO1.AD

29、方法二：延长Bo交AD于点G,同方法一，OA=OD.在AABO和ADBO中,AB=DBBO=BOOA=OD.AB0i三DB0.4ABO=Z.DBO.在aABG和aDBG中,AB=DB乙ABG=乙DBGBG=8G.-.A8GDBG.Z-AGB=ZDGB=90o.BO1AD,点评：本题考查了三角形全等的判定和性质以及旋转的性质,是基础学问要娴熟驾驭.例1正方膨ABCD中.E为BC上的一点.F为CD上的一点,BE，DF=EF.求/EAF的度效计算题分析(1)连CD,依ACD=DA,则4BCD=45.1.考点旋转的性廉；全等三角形的判定及性质；正方形的性BEC廉分析：8长EB使得BG=DF,易证AA

30、BG=AADF(SAS)JiJAF=AG,进而求证AAEGnAAEF可得乙EAG=Z.EAF,再求出乙EAG+Z.EAF=9。K)可解解答便.延长EB使得BG=DF.在AABG和AADF中.由AB=AD/.ABG=Z.ADF=90,BG=DF,可得AABG=AADF(SAS).Z.DAF=Z.BAG.AF=AG.又.EF=DF8E=EB-BG=EG,AE=AE1.AEG1CAEF(SSS).4EAG=ZEAF.1.DM+4EAF+4BA=90.EAG=EAF=SO4EAF=45,答/EAF的角度为45。点评本默考笠了正方形各内角均为直角考道了全等三角形的判定.考查了全等三角彩对应边.对应用相等

31、的性质,本麴中求证乙EAG=4EAF是鳏翅的关铤例2D为等腰心A/W/C斜iAB的中点,DM1DMDM.DN分别交BQCA于点BE.F.(1)当NMDN烧启D蕤动时,JSiIDE=DF.2)若AB=2,求四边形DEcF的面积，考点旋转的竹松；全等三角形的判定及仕质：等找方用三角形专痂据等想直角三角形的性质得到CD平分乙ACB.CDiAB.4A=45CDA=90a.由4DM1.DN福4EDF=90.侬据等角的余角相等得到4CDE=4ADF.依据全等三角形的别定舄HADCEWAADF.可得到结论；(2)由ODCEJfiAADF.即JSADCE=SAADF.于是四边形DeCF的面积=SAACD,由而

32、AB=2可得nCD=DA=I.侬据三角形的积公式易求得SAACD.从而得到四边形DECF的面枳解答解：(1)连CO.如国.为等猿RtABC斜边AB的中点.8平分4ACB.CDxA.Z.A=45CD=DA.ZBCD=45,.ZCDA=90o.Z.DM1DN.,.Z.EDF=SOa.-.Z.CDE=ZADF.在ADCE和AADF中.A4DCE=4DAFDC=DAZ.CDE;乙ADFxp.DCEADF,rDE=DF；(2).DCEADF.-SDCE=SADF.四边形DECF的面积=SAACD,而AB=2.-.CD=DA=I.BDECFfiK=SACD=I2CD-OA=I2.点评：木题考出了拉抬的性质

33、找共前后两图形全等,即财应角相等,对应妓段相等.对应点及旋转中心的连妓段的夹角等于旋抬角也才杳了等便立角三角形的性质以及全等三角形的狗定及性质，、已知四边形ABCQ中,AB1.ADBC1.CD.AB=BCZC=I20.ZMBN=60,NMBN坡BE旋蚣.它的两边分别交1.).IX：(或它们的延长线)于,F当NAR5N绕B点旋转到AE=C时(如图1),易证AE+C7r=E当N3N绕8点旋统到AEB时.在m2和图3这两种状况下，上述结论是否成立，著成立,请赐予证明；若不成立，线段AE,CF.7又有怎样的数量关系？请写出你的播JS,不需证明峰：图IO-2成立，图Io-3不BJ1.立.证明图10-2.

34、S10-4.过长DC至点K,ttCK=AK.连接8K,地ASAEgdBCK,BBBK.ABBKBC,FBE6。，NASC=2ff，FBC+ZABE三6CT4FBC+ZKBC=60,，4KBF=Z.FBE=耶，4KBF9堤BF，：.KF=EF,KC+CF=EF，WAE+CF=EF-四10-3不成立，AE,CP.EF的关系是AE-CF=EF.2、(西城09年一榭已知PA=,PB=4以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在支扶AB的两例(I)JDff1.,当4AP=4卜的来AB及PD的长当ZAPB变更且R它条件不变时,求PD的最大慎,及相应NAPB的大小3、在等边AABC的西边AB、AC所在A

35、线上分别有两点M.N.。为_A8C外一成.且NAZDN=6。.N80C=120.BD=DC探究：当M、N分别在直线ABAC上移动时.BM.NC.MZ之向的数量关系及AAN的周长Q及等边AABC的周长1.的关系CBC0)如图1,当点M、N边AB、AC上,且DM=DN时,BMsNC,MN之间的数量关系是Q此时:=1.OO如图2,点M、N边AB、AC,且当DMWDN时,猜想问的莉个结论还成立吗？写出你的指册并加以证明；OIO如图1当M、N分别在边AB、CA的延长线上时.若AN=X.BIQ=(用X、I表示).考点等边三角形的竹质；全等三角形的判定及性质分析(1)由DM=DN.ZMDN=609.可证得A

36、MDN是等边三角形,又由AABC是等边三角形.CD=BD.SiiEWRtBOMRtCDN,然后由百角三角形的性质,即可求得8M.NC.MN之间的数关系BMNC=MN.此时Q1.=：23,(2)在CN的延长妓上被取CM1.=BM.连接DMI.可近&DBMADCM1即可得DM=DM1.易证得NCDN=KMDN=60二则可证得MDNM1DN.然后由全等三角形的性质,即可得结论仍In成立：(3)首先在CN上鼓取CMI=8M.连接DM1.可证dOBMgADCM1.即可得OM=DM1.然后证得乙8N=乙MDN=G0：,易证得AMDNeM1DN,则可得NC-BM=MN解答解(DK1.BM.NC.MN之间的散

37、关系BM*NC=MN.此时Q1.=23.(2分).理由：DM=DN.ZMDN=60.-MDN是等边三角影.ABC是等边三角形.ZA三60.VBD=CD.ZBDC=120,/.Z.BDC=DC8=3(r.4MBO=ZNCD=904.VDM=DN,BO=CD.Rt8DMRtCDN.乙BDM=乙CDN=3G3.BM=CN.aDM-2BM.DN=2CN,MN=2BM=2CN=BM+CN:.,AM=AN.AAMN是等边三角形.VAB=AM*8M./.AM:AB=2：3.Q1.=23；（2）猜想结论仍旧成立.（3分）.证明在CN的延长线上放取CM1.=BM.连接DM1.（4分）VZ.MBD=ZMICD=9

38、0*.BD=CD.MDBMUdDCM1.DM=DM1.rMBD=M1.CD1M1.C=BM.vZ.MDN=6（r,/BcC二1200./.Z.M1.DN=Z1.MDN=W/.MDN三2M1DN.MN=M1.N=M1.JNC:BMiNC.,.AMN的国长为AM+MN+AN=A4+BM+CN+AN=AB+AC.Q1.=23；（3）证明：在CN上低取CM1.=BM1连接DM1.（4分可证ADBMwA.DCM1.DM=DM1.（5分）可证Z.CDN=4MDN;&T.MDNM1DN,MN=M1.N.（7分）NC-BM=MN.（8分）.点评：此趟考查了等边三角影.直角三角形.等度三角影的性质以及全等三角形

39、的判定及性质等学问此遨综合性很理.难度较大,解SE的关键是留意数形结合思想的应用及济助姣的作法.例8.（2005年马尾）用两个全等的等边三角形4A?中1A43并成菱形4初。把一个含60角的三角尺及这个麦形秘合，使三角尺的60。角的顶点及重合.两边分别及48.4C合将尺绕点力按逆时计方向旋转.（1）当三角尺的两边分别及的两边8CCO相交干点用1.图131）,通过视察或测量的长度,你能得出什么结论？并证的结论；（2）当三角尺的两边分别及菱形的两边8C8的延长线相交于点两（如图13-2）,你在（1）中得到的结论还成立%?简要说明理由.考点:菱形的性质；三角形的面积；全等三角形的判定及性质，旋转的性质

40、分析：（1）利用全等三角形的判定得出4ABEZACF即可得出答案；（2）依据已知可以得出ABAE=4CAF.进而求出AABE妥AACF即可；（3）利用四边形AECF的面积S=Saaec+saacf=Szxaec+saabe=SAABC求出即可解答解：（1）得出结论是BE=CF.证明：.乙RAC=KEAF=60,二NBAC-NEAC=ZEAF-ZEAC.即：/.BAE=Z.CAF,XvAB=AC.Z.ABE=Z.ACF=60.Z.Bae=Z1.CAFAB=ACZ_ABE=4ACF.-ABEACF(ASA)1.-BE=CF.(2)还成立.证明：BAC=KEAF=60,二4BAC+ZEAC=ZEAF

41、ZEAC.即4BAE=ZCAF.X-AB=AC.Z1.ABE=ACF=60o.即Z.BAE=Z1.CAfAB=ACZ.ABE=ACF.-ABEACF(ASA)1.-BE=CF,（3）证酎：VAEACF.SABE=SACF.四边形AECF的面积S=SZSAEC+SAACF=S4AEC+SAABE=SAABC；而SABC=12S菱形ABCD,-S=I2S菱形ABCD.点评：此遨主要考套了全等三角形的判定以及四边形面积，娴熟利用全等三角形判定求出是解题关键.解：BE=CF.证明：在力比和户中，V1.BAEZ.EAC=ZCAFZE4C60o.1.BAE=1.CAF.-AB=AC.乙尻乙力氏60.1.ABP1.ACF（ASA）.：.Be=CF.（2）伯疗仍旧成立.依据三角形全等的判定公理，同样可以证明力画必4T旋转型以CG为一