概率论复习题.docx

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1、1.设两厂产品次品率分别为1%和2%,假设两厂产品分别占总数的60%和40%,现从中任取一件,发现是次品，求此次品是A厂生产的概率.解：记A=此产品是次品，B二此产品是A厂生产，C=此产品是B厂生产P（八）=P(B)P(AB)+P(C)P(AC)=0.6*0.01+0.4*0.02=0.014P(BA)=P(B)P(AB)P（八）=0.6*0.010.014=37(贝叶斯公式P21)2.设随机变量X在区间2,5上服从均匀分布，求对X进行三次独立观测中，至少两次的观测值大于3的概率.解：X在区间2,5上服从均匀分布，即X的密度函数为F(x)=1/3,2x5；0,其他所以P(3x5)=fl3dx=

2、23记A二至少两次的观测值大于3X Y01/31-101/121/301/60025/1200那么 P(A)=2027(均匀分布P41)3. (XI)的联合分布列解：(1) kX = l*512+0*l6+2*512=512(2) EY=0*7 12+1/3*1/12+1*1/3=13/36求(1) EX； (2)DY； (3) EXY.E(Y2)=0*7/12+1/9*1/12+1*1/3=37/108DY=E(Y2)-(EY)2=37108-(1336)2=2751296(3)EXY=-13/36(方差P83)4 .(此题10分)将4个球随机地放在5个盒子里，求以下事件的概率(1) 4个球

3、全在一个盒子里；(2)恰有一个盒子有2个球.解：(1)记A=4个球全在一个盒子里那么P（八）=C(4,4)*554=1*554=125(2)记B=恰有一个盒子有2个球那么P（八）=C(4,2)*5*4*354=6*5*4*354=721255 .(此题10分)设随机变量4的分布密度为(1)求常数A;(2)求尸(3)求4的数学期望.解：(1)因为f(x)是一密度函数，所以AJl(l+x)dx=l解得A=l(21n2)(2)P(OVI)=P(OVo1)+PeVO)=J*l21n2(l+x)dx+0=l2(3)哙)l21n2(l+x)xdx=3(21n2)-l(连续型随机变量P40,数学期望P80)

4、6.(此题10分)设二维随机变量&)的联合分布是=1片2=4=54=00.050.120.150.07f=0.030.100.080.11E=20.070.010.110.10(1) J与是否相互独立？(2)求久的分布及仇小)；解：(1)4与不相互独立证明：12454012P0.150.230.340.28P0.390.320.29由于PII=O.05,而p0.=0.39,p.l=0.15,易见PIlWp.*p.1由此，由定义知4与不相互独立(2) 01245810P0.390.030.170.090.110.110.10所以，E(HI6(边缘分布P54随机变量的独立性P59)7 .(此题10

5、分)有10盒种子，其中1盒发芽率为90%,其他9盒为20%.随机选取其中1盒，从中取出1粒种子，该种子能发芽的概率为多少？假设该种子能发芽，那么它来自发芽率高的1盒的概率是多少？解：记A二该种子能发芽，B=该种子来自来自发芽率高的1盒，C=该种子来自来自发芽率低的1盒那么有分解A=BAUCA依假设，P(B)=0.1,P(C)=O.9,P(AlB)=0.9,P(Ale)=0.2所以，P（八）=O.1*0,9+0.9*0.2=0.27(全概率公式P20)P(BIA)=P(B)P(AIB)ZP（八）=O.1*0.9/0.27=1/3(贝叶斯公式P21)8 .(此题12分)某射手参加一种游戏，他有4次

6、时机射击一个目标.每射击一次须付费10元假设他射中目标，那么得奖金100元，且游戏停止.假设4次都未射中目标，那么游戏停止且他要付罚款100元.假设他每次击中目标的概率为0.3,求他在此游戏中的收益的期望.解：记X为他在游戏中的收益，那么X的分布律为X90807060-140P0.30.210.1470.10290.2401EX=90*0.3+80*0.21+70*0.147+60*0.1029+(-140)*0.2401=26.659 .(此题12分)某工厂生产的零件废品率为5%,某人要采购一批零件，他希望以95%的概率保证其中有2000个合格品.问他至少应购置多少零件？(注：(1.28)=

7、0.90,(1.65)=0.95)解：不考10 .袋中有大小、重量等完全相同的四个球，分别标有数学1,2,2,3,现从袋中任取一球，取后不放回，再取第二次。分别以X、Y记第一次和第二次取得球上标有的数字。求：(1)(X,Y)的联合概率分布；(2)X,Y的边缘分布；(3)判断X与Y是否独立。解：XW123101/61/1221/61/61/631/121/60(2)X123Y123P1/41/21/4P1/41/21/4(3)由于p21=l6,而p2.=l2,p.l=l4,易见p21p2.*p.1由此，由定义知X与Y不相互独立9rO尤11 .设连续型随机变量X的概率密度函数为：/(X)=甘O其它

8、求X的分布函数F(X);(2)求概率尸0.3X2解：(1)当xl时,F(x)=1(-,x)Odx+f(0,1)2xdx+f(1,x)Odx=I0,xl(2)P(0.3X2)=J(0.3,1)2xdx+f(1,2)Odx=O.91(P4715P40例12)12.(15分)对某一目标依次进行了三次独立的射击，设第一，二，三次射击命中目标的概率分别为0.4,0.5,07试求：(1)三次射击中恰好有一次命中的概率(8分)；(2)三次射击中至少有一次命中的概率(7分)。解：0.4*0.5*0.3+0.6*0.5*0.3+0.6*0.5*0.7=0.36(2)1-0.6*0.5*0.3=0.91Ax,0x

9、l13,设随机变量X的密度函数F(X)=,B-X,lx2连续，试求:0,其它(1)常数A,B；(2) X的分布函数F(x);(3)求V=I-VT的密度函数。(每小问各5分)解：(1)B=2,A=1(3)14. (10分)设一盒内有2件次品，3件正品，进行无放回的抽取，每次取一件产品，用X记第一次抽取所取得次品的个数，Y记第二次抽取所取得次品的个数，试求(X,Y)的联合分布律。不做，差不多的题，哈哈15. (20分)设二维随机变量(,n)的联合密度函数为：/(x,y)=Z,试求：(1)常数C；(4分)(2)E(),E(),D(),D()o(16分)16. (10分)一个袋中装有10个球，其中3个

10、白球，7个红球，现采用不放回方式从中摸球两次，每次一个，求：(1)第2次才取到白球的概率；(2)第2次取到白球的概率。(每问各5分)解：(1)记A=第2次才取到白球/K么P（八）=7*3/(10*9)=7/30(2)记B=第2次取到白球那么P(B)=7*3(10*9)+3*2(l0*9)=3l017. 设随机变量X的密度函数为/(x)=CeTM,(1)试确定常数c；(5分)(2)求X的分布函数F(x);(7分)(3)求PX2;(5分)(4)求y=+2的密度函数。(8分)18.(10分)设二维随机变量(,)的联合分布律为:1234110002880030416.L16J-16(1)求,n的边缘分

11、布律；(6分)(2)求+的分布律。(4分)19：某产品的质量指标XN(160,2),假设要求P(120Xv200)0.8,问允许最多为多少？(附：(1.3)=0.90;(0.85)=0.8)20：对球的直径作测量，设其值于(。,加上均匀分布，求体积的分布密度？21：设(X,Y)服从区域G上的均匀分布，其中G=(x,y):OVXVI,0VyVX,求(X,Y)的联合分布密度与边缘分布密度？22：国际市场每年对我国某出口商品的需求量X是一个随机变量，它在2000,8000（单位：吨）上服从均匀分布，假设每售出一吨，可得外汇3万美元，如售不出而积压，那么每吨需要保养费1万美元，问应组织多少货源，才能使平均收益最大？