圆锥曲线基础必备.doc

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1、圆锥曲线必背口诀圆锥曲线必背口诀-椭圆一、椭圆定义口诀：椭圆三定义，简称和比积.注解：1、定义1：(和)到两定点的距离之和为定值的点的轨迹叫做椭圆.定点为焦点，定值为长轴.（定值=焦距）PF1F2如图，设为椭圆上一点，和为两个定点，则： 式就是椭圆和为定值的定义式.2、定义2：(比)到定点和到定直线的距离之比为定值的点的轨迹叫做椭圆.定点为焦点，定直线为准线，定值为离心率.（定值=）PF1F2S如图，设为椭圆上一点，点到定直线(准线)的距离为，点到定点(焦点)的距离为，则： 式就是椭圆比为定值的定义式.3、定义3：(积)到两定点连线的斜率之积为定值的点的轨迹是椭圆.PAB定点为短轴顶点，定值为

2、负值.（定值）如图，设为椭圆上一点(除外)，为椭圆的两个短轴顶点.若直线的斜率为，直线的斜率为，则： 式就是椭圆积为定值的定义式.证明：设，则、于是，直线的斜率为：直线的斜率为：那么： 由椭圆方程：，即：，即：，即： 将代入得：.二、椭圆的性质定理口诀：长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理准线方程准焦距，方、方除以通径等于 ，切线方程用代替焦三角形计面积，半角正切连乘注解：1、长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理长轴，短轴，焦距，则：2、准线方程准焦距，方、方除以准线方程： (方除以)准焦距：(焦准距)焦点到准线的距离： (方除以)3、通径等于2 ，切线方程用代替椭圆的通径：过焦点垂直于长轴的直线与椭圆的

3、两交点之间的距离称为椭圆的通径.（通径）过椭圆上点的切线方程，用等效代替椭圆方程得到. 等效代替后的是切线方程是：4、焦三角形计面积，半角正切连乘焦三角形：以椭圆的两个焦点为顶点，另一个顶点在椭圆上的三角形称为焦三角形.半角是指的一半. 则焦三角形的面积为：证明：设，则.由余弦定理：即：，即：.即：故：又：所以：椭圆的焦点三角形的面积为.三、椭圆的相关公式口诀：切线平分焦周角，称为弦切角定理切点连线求方程，极线定理须牢记弦与中线斜率积，准线去除准焦距细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹注解：1、切线平分焦周角，称为弦切角定理弦切角定理：切线平分椭圆焦周角的外角，平分双曲线的焦周角. 焦周角是焦点三角

4、形中，焦距所对应的角.弦切角是指椭圆的弦与其切线相交于椭圆上时它们的夹角，当弦为焦点弦时（过焦点的弦），那么切线是两个焦点弦的角平分线.F1F2Pq1q2证明：如图所示，红色直线为切线.设点的坐标为，则：切线的方程：切线的斜率：的斜率：，的斜率：则： 而： 由式可得：，即：.即：切线是两个焦点弦的角平分线.2、切点连线求方程，极线定理须牢记若在椭圆外，则过作椭圆的两条切线，切点为，则点和切点弦分别称为椭圆的极点和极线.P0P1P2O切点弦的直线方程即极线方程： (称为极线定理)当极点在椭圆上时，该点的切线就是极线，切线方程就是极线方程.3、弦与中线斜率积，准线去除准焦距弦指椭圆内的一弦.中线指

5、弦的中点与原点的连线，即得中线.这两条直线的斜率的乘积，等于准线距离去除准焦距(焦准距)，其结果是：OMAB证明：如图所示，因为在椭圆上，故：，上面两式相减得：即： 直线的斜率为： 中点的坐标为：则中线的斜率为： 由得： 由得：. 证毕.4、细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹中点弦的方程：在椭圆中，若弦的中点为，弦称为中点弦，则中点弦的方程就是，是直线方程.5、中点弦的方程的证明：A 设椭圆方程为： 中点弦的方程为： 两者相交于和，则的中点坐标满足：， 则：故： B 将代入得：即：即： C 由韦达定理得：故：即： D 将代入式得：即：即：故： E 将代入式得： 将代入式得：即：即：即：. 证毕.弦

6、中点的轨迹方程：在椭圆中，过椭圆内点的弦，其中点的方程就是，仍为椭圆.6、弦中点的轨迹方程的证明:A 设椭圆方程为： 过点的直线方程为：即：，记： 则： B 设中点的坐标为则： 借用上题的结果：将代入上式得：即：即：，故： C 将和代入式得：即：，即：即： 式就是弦中点的轨迹方程. 证毕.中点弦方程和弦中点的轨迹方程，这两个方程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞混了.圆锥曲线必背口诀圆锥曲线必背口诀-双曲线一、双曲线定义口诀：双曲线有四定义，差比交线反比例 注解：PF1F2O1、定义1：(差)平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹称为双曲线. 定点叫双曲线的焦点.即： 就是差为定值

7、的双曲线的定义式.PF1F2OSL2、定义2：(比)平面内，到给定一点及一直线的距离之比为定值的点的轨迹称为双曲线. 定点叫双曲线的焦点.定直线叫双曲线的准线.如图所示， 式就是比为定值的双曲线定义式.3、定义3：(交线)一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线.如图所示，蓝色线为圆锥面，红色线为平面，红色面与蓝色面的交线就是双曲线. 这就是本双曲线的定义.实际上，椭圆和抛物线也有这样的定义，所以将它们统一称为“圆锥曲线”.4、定义4：(反比例)在平面直角坐标系中，反比例函数的图象称为双曲线. 证明：反比例函数图象是双曲线轨迹经过旋转得到. 证

8、明：因为的对称轴是, ，而的对称轴是轴，轴，所以应该旋转. 设旋转的角度为（，顺时针）则有：，取，则：而，所以，即： ()或 ()由此证得，反比例函数其实就是双曲线的一种形式，只不过是双曲线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式.二、双曲线的性质定理口诀：实轴虚轴与焦距，形似勾股弦定理准线方程准焦距，方、方除以通径等于 2 ，切线方程用代替焦三角形计面积，半角余切连乘注解：1、实轴虚轴与焦距：形似勾股弦定理实轴，虚轴，焦距，则：与勾股弦定理形似.2、准线方程准焦距，方、方除以准线方程： （方除以）准焦距(焦准距)：焦点到准线的距离： （方除以）3、通径等于2 ，切线方程用代替双曲线的通径：过焦点垂

9、直于长轴的直线与双曲线的两交点之间的距离称为双曲线的通径.（通径）过双曲线上点的切线方程，用等效代替双曲线方程得到，等效代替后的是切线方程是：4、焦三角形计面积，半角余切连乘焦三角形：以双曲线的两个焦点为顶点，另一个顶点在椭圆上的三角形称为焦三角形.半角是指的一半. 双曲线的左右焦点分别为，点为双曲线上异于顶点任意一点，则双曲线的焦点三角形满足：其面积为；.证明：设，则在中，由余弦定理得：即：即：即：即：即：那么，焦点三角形的面积为： 故：同时：，故： 双曲线的焦点三角形的面积为：.三、双曲线的相关公式口诀：切线平分焦周角，称为弦切角定理切点连线求方程，极线定理须牢记弦与中线斜率积，准线去除准

10、焦距细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹注解：1、切线平分焦周角，称为弦切角定理弦切角定理：切线平分椭圆焦周角的外角，平分双曲线的焦周角. 焦周角是焦点三角形中，焦距所对应的角.弦切角是指双曲线的弦与其切线相交于双曲线上时它们的夹角，当弦为焦点弦时（过焦点的弦），则：切线是两个焦点弦的角平分线.如图，是焦点三角形，为焦周角，为双曲线的切线. 则平分.证明：设在双曲线上，则：即： 点的切线方程为：切线的斜率为： 的斜率为： 的斜率为： 设直线与的夹角为，直线与的夹角为则： 将代入得：将式和代入上式得： 而： 将代入式得：将式和代入上式得： 由和式得：由于，故：即：切线是两个焦点弦的角平分线. 证毕.2

11、切点连线求方程，极线定理须牢记若在双曲线外，以包含焦点的区域为内，不包含焦点的区域为外，则过作双曲选的两条切线，切点为、，则点和切点弦分别称为双曲线的极点和极线，切点弦的直线方程即极线方程是：（称为极线定理）3、弦与中线斜率积，准线去除准焦距弦指双曲线内的一弦.中线指弦的中点与原点的连线，即得中线.这两条直线的斜率的乘积，等于准线距离去除准焦距(焦准距)其结果是：证明：如图所示，因为在双曲线上，故：，上面两式相减得：即： 直线的斜率为： 中点的坐标为：则中线的斜率为： 由得： 由得：. 证毕.4、细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹中点弦的方程：在双曲线中，若弦的中点为，称弦为中点弦，则中点弦的方

12、程就是：，它是直线方程.弦中点的轨迹方程：在双曲线中，过双曲线外一点的弦，其中点的方程就是：，仍为双曲线.这两个方程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞混了.5、中点弦的方程的证明：OMABA 设双曲线方程为： 中点弦的方程为： 两者相交于和则的中点坐标满足：， 则：，故： B 将代入得：即：即： C 由韦达定理得：故：即： D 将代入式得：即：即：故： E 将代入式得： 将代入式得：即：即：即：. 证毕.6、弦中点的轨迹方程的证明:A 设双曲线方程为： 过点的直线方程为：即：记： 则： B 设中点的坐标为则： 借用上题的结果：将代入上式得：即：即：故： C 将和代入式得：即：即：即： 式就是弦中

13、点的轨迹方程. 证毕.圆锥曲线必背口诀圆锥曲线必背口诀-抛物线一、抛物线定义口诀：抛物线，有定义，定点定线等距离注解：1、到一个定点和一条定直线距离相等得点的轨迹称为抛物线.定点为抛物线的焦点，定直线为抛物线的准线.2、二次函数的图象是抛物线.3、平面与圆锥相截，除了圆、椭圆、双曲线外，还有抛物线.二、抛物线性质口诀：焦点准线极点线，两臂点乘积不变焦弦切线成直角，切点就是两端点端点投影在准线，连结焦点垂直线焦弦垂直极焦线，切线是角平分线直角梯形对角线，交点就是本原点焦弦三角计面积，半个方除正弦注解：1、焦点准线极点线 抛物线的焦点和准线是一对极点和极线.抛物线方程：，焦点，准线抛物线的顶点到定

14、点和定直线距离相等.ABF所以，称为焦准距，是焦点到准线的距离.焦弦：过焦点的直线与抛物线相交于两点和，则称为焦弦.弦中点，焦弦方程：，为斜率.2、两臂点乘积不变焦点三角形两边和的点乘积为定值，且夹角是钝角.OABF证明：A 焦弦满足的条件抛物线方程： 因为焦弦过焦点，故其方程： 由消去得：即： B 方程由韦达定理得：则：则： 且，即： 且：.故：焦点三角形两边之点乘积为定值.3、焦弦切线成直角，切点就是两端点即：焦弦两端点的切线互相垂直.证明：如图，由抛物线方程：求导数：，即：故斜率：，于是：由上题式代入上式得：即：故：在焦弦端点的切线互相垂直.4、端点投影在准线，连结焦点垂直线即：焦弦端点

15、在准线的投影点与焦点构成直角三角形.证明：准线方程故坐标,因为焦点故：，于是：将上题式代入上式得：故：即：焦弦端点在准线的投影点，则.即：焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直角三角形.5、焦弦垂直极焦线，切线是角平分线若焦弦对应的极点，则为极焦线，于是：.证明：A 因为极线过焦点，焦点与准线是一对极点和极线，而点是的极点，所以由自极三点形可知：点在准线上.切线的斜率为： 焦弦的斜率为： 由可知，平分，即： 故：切线是角平分线B 由抛物线定义知： 故： 同理： 则：为的中点， 故： C 设抛物线方程：，直线方程：则：故点满足的方程为：即：由韦达定理得： 由于，所以，而故：故：焦弦垂直极焦线. 证毕

16、6、直角梯形对角线，交点就是本原点即：直角梯形对角线相交于原点即：三点共线；三点共线.用向量法证明：，证明：向量法，如图由坐标，向量：，各分量之比：，由两臂点乘积不变得：代入上式得：故：，即：则：三点共线.同理：.三点共线.故：直角梯形对角线相交于原点.8、焦弦三角计面积，半个方除正弦即：焦弦三角形的面积为： (为焦弦的倾角)证明：如图 FMEGO如下图：焦准距则：于是，代入得：因为为底边与的夹角，故面积故：即：焦弦三角计面积，半个方除正弦圆锥曲线必背口诀附：圆锥曲线必背-极坐标一、极坐标通式圆锥曲线的极坐标以焦准距和离心率来表示常量，以极径和极角来表示变量. ，以焦点为极点(原点)，以椭圆

17、长轴、抛物线对称轴、双曲线实轴为极轴的建立极坐标系. 故准线是到极点距离为焦准距、且垂直于极轴的直线.极坐标系与直角坐标系的换算关系是：，或者：，特别注意：极坐标系中，以焦点为极点(原点)，而直角坐标系中以对称点为原点得到标准方程.如图，为极点，为准线，则依据定义，到定点(极点)和到定直线(准线)的距离之比为定值(定值)的点的轨迹为圆锥曲线.所以，对极坐标系，请记住：极坐标系的极点是椭圆的左焦点、抛物线的焦点、双曲线的右焦点；曲线上的点到焦点的距离是，到准线的距离是，根据定义：，即：，即：即： 这就是极坐标下，圆锥曲线的通式.对应不同的，呈现不同的曲线. 对双曲线，只是右边的一支；对抛物线，开

18、口向右.二、极轴旋转将极轴旋转，将极角加到角上，代入式得： 此时的极坐标系下，此时有：极坐标系的极点是椭圆的右焦点、抛物线的焦点、双曲线的左焦点；对应不同的，呈现不同的曲线. 对双曲线，只是左边的一支；对抛物线，开口向左.三、极轴旋转将极轴顺时针旋转，将极角加到角上，则情况如图.圆锥曲线的方程为： 此时的极坐标系下：对应于直角坐标系下，焦点在轴的情况，且极点对应于椭圆下方的焦点，双曲线上方的焦点，抛物线的焦点. 对双曲线，只是轴上边的一支；对抛物线，开口向上.如果将极轴逆时针旋转，将加到极角上代入式，则情况如图.圆锥曲线的方程为： 此时的极坐标系下：对应于直角坐标系下，焦点在轴的情况，且对应于

19、椭圆上方的焦点，双曲线下方的焦点，抛物线的焦点.对双曲线，只是轴下边的一支；对抛物线，开口向下.所记要点：极轴右转，极角相加；极轴右转，极角相加.右转即是顺时针旋转.四、坐标变换在极坐标系中，圆锥曲线的通式为： 即：，即：即： 将，代入式得：即： 当时：有：即：即： 当时：令，则：而：代入式得： 这是标准的椭圆方程.当时：令，则：而：代入式得： 这是标准的双曲线方程.当时：由式得：即：即： 这是标准的抛物线方程.五、直线在极坐标中的方程设在直角坐标系中的直线方程为： 先将原点平移到焦点上，对于椭圆左移，对于双曲线右移，对于抛物线右移，则平移后的直线方程为：(椭圆)；(双曲线)；(抛物线)然后将

20、代入得到极坐标的直线方程.这里特别注意的是：在极坐标中，对于直线，最重要的数据是极点到直线的距离，对于直线，可采用公式计算.圆锥曲线必背口诀附：圆锥曲线必背参数法圆锥曲线的参数法一般要求是：将参数代入圆锥曲线方程后得到一个含参恒等式，一般是一个三角恒等式. 所以对三角恒等式必须熟悉.如果采用消参法，消参后得到一个圆锥曲线方程.一、椭圆椭圆的标准方程是：采用的参数方程一般是：，这样代入上式得：这是一个恒等式，相当于，即将椭圆的轴缩放成都是，椭圆缩放成圆.对于圆的方程：采用的参数方程一般是：，与椭圆参数方程相似.二、双曲线双曲的标准方程是：由得：即：采用的参数方程一般是：，这样代入上式得：也是一个恒等式.三、抛物线抛物线的标准方程是：若经过变换后的抛物线方程为：则由于有故可以采用参数方程为：，这样代入上式得：这个也是一个恒等式.一般很少采用抛物线的参数方程，大多采用消参的抛物线方程，就是消参后得到一个抛物线方程.