定积分的计算和应用.doc

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1、定积分的计算与应用见涛（阜阳师范学院附属中学，514063917） 摘 要： 定积分是微积分学中从实际问题中抽象出来的一个重要的基本概念，也是积分学的基本运算之一.本文主要讨论定积分的计算及其应用，对一些常用的方法和技巧进行了归纳和总结，并较为深入地探讨了定积分在几何，物理，经济等领域都有着非常广泛的应用.关键词： 定积分； 计算； 应用众所周知，微积分的两大部分是微分与积分微分实际上是求一函数的导数，而积分是已知一函数的导数，求这一函数.所以，微分与积分互为逆运算.实际上，积分还可以分为两部分.第一种是单纯的积分，也就是已知导数求原函数，而若的导数是，那么(是常量)的导数也是，也就是说，把积

2、分不一定能得到，因为的导数也是，是无穷无尽的常数，所以积分的结果有无数个，是不确定的我们一律用代替，这就称为不定积分.而相对于不定积分，就是定积分.所谓定积分，就是以平面图形的面积问题引出的.为定义在上的函数，为求由所围图形的面积，采用古希腊人的穷举法，先在小范围内以直代曲，求出的近似值，再取极限得到所求面积，为此，先将分成等份：，取，记，则为的近似值，当+时， 的极限应可作为面积.把这一类问题的思想方法抽象出来，便得定积分的概念 定义：对于定义在上的函数，作分划， 若存在一个与分划及的取法都无关的常数，使得 (1) 则称为在上的定积分，记作，称为积分区间， 称为被积函数，分别称为积分的下限和

3、上限.当的原函数存在时，定积分的计算可转化为求的不定积分.其实定积分也叫黎曼积分.我们还可以看到，定积分的本质是把图像无限细分，再累加起来，而积分的本质是求一个函数的原函数.它们看起来没有任何的联系，那么，为什么定积分写成积分的形式呢？定积分和积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要理论的支撑，使得它们有了本质的密切联系.把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分.这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿莱布尼兹公式定理（牛顿莱布尼兹公式）设函数在闭区间上连续，且是它在该区间上的一个原函数，则 = 也常写成 = (2)此公式用文字表述就是说一个定积分式的值

4、就等于上限在原函数的值与下限在原函数的值的差，且这个差值是确定的，是一个数，而不是一个函数.正因为这个理论揭示了积分与定积分本质的联系，可见定积分在积分学以至更高等的数学上或其它领域的重要地位.因此，牛顿莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理.一、定积分的计算方法（一）几种基本的定积分计算方法由牛顿莱布尼兹公式知，计算连续函数的定积分，关键是求的原函数，也就是求的不定积分，那么由不定积分的换元积分法和分部积分法，自然推出定积分的换元积分法和分部积分法. 用定义计算例1 计算定积分解 设,用分点把区间分割为个小区间,记,在上任取一点,有,作积分和 = =,则 .因此 . 利用牛顿-莱布尼兹公式计算

5、例2 求解 . 换元法 例3 计算解 =(凑微元法)例4 求解 设，从而，当时,; 当时，=.则 = 注意：用把原来的变量换成新变量时，积分限也要换为相应新变量的积分限.即对应的为下限，对应的为上限；公式中的谁大谁小不受限制. 分部积分法例5 求解 设，于是 .则.注意：在利用分部积分公式计算定积分时，不必等到原函数求出以后才将上下限代入，可以算一步就代一步.（二）几种简化的定积分计算方法 关于原点对称区间上函数的定积分例6 计算解 由于为偶函数，为奇函数，所以 = =.2 .周期函数的定积分例7 设是周期为的周期函数，且连续，则 （是任意常数） 证明：由于 又 所以 3.递推公式例8 计算解

6、 = =.4.恒等变形例9 计算解 =,由于 ，所以 原式=.二、定积分的应用定积分的概念是从许多实际问题中抽象出来的，所以它的应用是多方面的几何上的应用包括求体积，弧长，面积；物理上的应用将包括计算力所做的功，静压力，引力等等；及其在经济上的一些应用.（一）定积分在几何中的应用 平面图形的面积 解这类问题一般应用微元法例10 计算椭圆所围成的平面图形的面积解 由于椭圆关于轴与轴对称，所以只需计算位于第一象限部分的面积,然后乘以4就得到所求平面图形的面积.由，现选择为积分变量（也可选择为积分变量，难易程度相当）它的变化区间为，于是 ，令,则，当时，；.所以 =，特别地 当时，得圆的面积为.注：

7、求解这类简单曲线时，首先应求出曲线的交点；画出经过交点的曲线；选择适当的积分变量可使运算简便. 旋转体的体积例11 计算椭圆围成的平面图形绕轴旋转而成的旋转椭球体的体积.解 ,如果，就得到半径为的球的体积为.例12 求由抛物线，直线及轴所围成的平面图形分别绕轴，轴旋转所成的旋转体的体积 解 设绕，轴旋转的体积分别为，则 , 参考文献：1 Robert Ellis Denny Gulick.微积分(上)M.江苏:科学技术出版社,1987年6月. 388.2 谢盛刚.微积分(上)M.北京:科学出版社,2004年7月. 134.3 谢盛刚.微积分(上)M.北京:科学出版社,2004年7月. 136.4 钱吉林.数学分析题解精粹M.武汉:崇文书局,2003年10月. 266.5 苏德矿.吴明华 微积分(上)M.北京:高等教育出版社,海德堡:施普林格出版社,2000年7月. 209.姓名：见涛单位：阜阳师范学院附属中学地址：阜阳师范学院附属中学邮编：236041手机号：139655801977