对杨辉三角的研究.doc

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1、对杨辉三角的研究看似数学是无聊的，无非是一列列数字，一个个几何，一道道习题，其实只要善于发现，善于发掘，数学中蕴含了无数优美的规律和神秘的排列，例如“杨辉三角”。什么是杨辉三角杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。杨辉三角的历史北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算。杨辉，字谦光，南宋时期杭州人。在他1261年所著的详解九章算法一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪前半贾宪的释锁算术，并绘画了“古法七乘方图”。故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”。在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡

2、在13岁时发现了“帕斯卡三角”。=1） 初步认识杨辉三角二项式（a+b）n展开式的二项式系数，当n依次取1，2，3时，列出的一张表，叫做二项式系数表，因它形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们又称它为杨辉三角2） 杨辉三角所蕴含的数量关系（用Excel制作的杨辉三角的另一表现形式）=1）二项式定理与杨辉三角与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)2的展开式来探讨。由上式得出：(a+b)2a2+2ab+b2此代数式的系数为：121则(a+b)3的展开式是什么呢？答案为：a3+3a2b+3ab2+b3由此可发现，此代数的

3、系数为：1331但似乎没有什么规律，所以让我们再来看看(a+b)4的展开式。展开式为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4由此又可发现，代数式的系数为：14641 似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列： 1(110)11(111)121(112)1331(11314641(114)15101051(115)1615201561(116)所以，可得出二项式定理的公式为：(a+b)n=C(n,0)an*b0+C(n,1)a(n-1)*b1+.+C(n,r)a(n-r)*br.+C(n,n)a0*bn因此，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学。求二

4、项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”。2）杨辉三角的幂的关系首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下： 1(1)11(1+1=2)121(1+2+1=4)1331(1+3+3+1=8)14641(1+4+6+4+1=16)15101051(1+5+10+10+5+1=32)1615201561(1+6+15+20+15+6+1=64)相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，刚好是2的0，1，2，3，4，5次幂，即杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幂3）杨辉三角中斜行和水平行之间的关系(1)1(2

5、)n=111(3)n=2121(4)n=31331(5)n=414641(6)n=515101051(7)n=6 1615201561(8) n=7把斜行(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6把斜行(2)中第7行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15把斜行(3)中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20把斜行(4)中第7行之前的数字相加得1+4+10=15把斜行(5)中第7行之前的数字相加得1+5=6把斜行(6)中第7行之前的数字相加得1将上面得到的数字与杨辉三角中的第7行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的。11 11211331 1464115101051 1

6、615201561 由上面可得：杨辉三角中n行中的第i个数是i-1中前n-1个数之和，即第n行的数分别为1、(1)中第n行之前的数字之和、(2)中第n行之前的数字之和、(3)中第n行之前的数字之和、(4)中第n行之前的数字之和、(n-3)中第n行之前的数字之和。4）杨辉三角的数字排列1、杨辉三角的第1，3，7，15，行，即第2K-1(k是正整数)行的各个数字有什么特点？分析：观察可知，它们均为奇数第2K行除两端的1之外都是偶数.2、杨辉三角第5行中，除去两端的数字1以外，行数5整除其余所有的数你能再找出具有类似性质的三行吗？这时的行数是什么数？分析：如2，3，7，11等行行数是质数(素数)3、

7、计算杨辉三角中各行数字的和，看有何规律：第1行112第2行121422第3行1331823第4行146411624第5行151010513225第n行 分析：第n行数字的和为2 n前n行(含第0行)所有数的和为2 n 1，它恰好比第n行的和2 n小14、从杨辉三角中一个确定的数的“左（右）肩” 出发， 向右（左）上方作一条和左斜边平行的射线，在这条射线上的各数的和等于这个数例如：101234， 2013610，一般地，在第m条斜线上（从右上到左下）前n个数字的和，等于第m+1条斜线上的第n个数根据这一性质，猜想下列数列的前n项和：111 1 （第1条斜线）123 （第2条斜线）136 （第3条

8、斜线）1410 （第4条斜线）（第r+1条斜线）5、如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？1，1，2，3，5，8，13，21，34，此数列an满足, a1=1,a2=1, 且an=an-1+an-2(3)这就是著名的斐波那契数列中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作算术之法中提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？兔子繁殖问题可以从杨辉三角得到答案：右侧从上而下的一列数1，1，2，3，5，8，13，正好是刚生的兔子，第一个

9、月后的兔子第二个月后的兔子，第三个月后的兔子，n个月后的兔子的对数“兔子繁殖问题”的答案就是第12行右下侧的数（第13个），即233 =1）杨辉三角与弹子游戏（先介绍我国现代数学家华罗庚）华罗庚（1910-1985）是一位具有世界声誉的数学家，我国进入世界著名数学行列最杰出的代表。撰写了不少高质量的10部专著、200篇论文和10余部科普著作。由于他的贡献，有许多定理、引理、不等式与方法等都用他的名字命名为了推广优选法，华罗庚带领小分队去二十七个省市普及应用数学方法达二十年之久，取得了明显的经济效益和社会效益，为我国经济建设作出了重大贡献在他的科普著作从杨辉三角谈起中，对杨辉三角的构成，提出了一

10、种有趣的看法下面介绍弹子游戏问题 如图，在一块倾斜的木板上，钉上一些正六角形小木块，在它们中间留下一些通道，从上部的漏斗直通到下部的长方形框子。把小弹子倒在漏斗里，它首先会通过中间的一个通道落到第二层六角板上面（有几个通道就算第几层），以后，再落到六角板的左边或右边的两个竖直通道里去，以此类推，算一算：个弹子通过n+1层通道，落到各长方形框里的可能情况。分析：弹子从每一通道通过时可能情况是：它选择左右两通道可能性是相等的，而其他任一个通道的可能情形，应等于它左右肩上两个通道的可能情形的和。可以设想，第1层只有条通道，通过的概率是 1第2层有条通道，每条通过的概率依次是 第3层有3个通道，每条通

11、过的概率从左到右依次是 ，第4层各通道通过的概率从左到右依次是 ，照这样计算第n+1层有n+1个通道，弹子通过各通道的概率将是？“概率三角形”杨辉三角的关系：第n行各概率的分子是杨辉三角中的数，分母是2 n。2）杨辉三角与“纵横路线图” “纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题图1是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如果从A处走到B处 (只能由北到南，由西向东)，那么有多少种不同的走法？我们把图顺时针转45度，使A在正上方，B在正下方，然后在交叉点标上相应的杨辉三角 数有趣的是，B处所对应的数70，正好是答案(70)一般地, 每个交点上的杨辉三角数，就是从A到达该点的方法数由此看来，杨辉三角与

12、纵横路线图问题有天然的联系3）杨辉三角与“堆垛术”（三角垛，正方垛， ）将圆弹堆成三角垛：底层是每边n的三角形，向上逐层每边少一个圆弹，顶层是一个圆弹，求总数=总结杨辉三角对于我们好理解的规律，如下七点：1、每个数等于它上方两数之和。2、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。3、第n行的数字有n+1项。4、上面两个数之和就是下面的一行的数5、第n行数字和为2(n-1)。（2的(n-1)次方）6、(a+b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。7、第n行的第m个数和第n-m个数相等，即C(n,m)=C(n,n-m)，这是组合数性质。杨辉三角基本规律公式（1）每个数都是组合数，第n行的第r+1个数是（2） 三角形的两条斜边上都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加，也就是（3）杨辉三角具有对称性（对称美），即 （4）杨辉三角的第n行是二项式（a+b）n展开式的二项式系数，即 参考文献：百度文库360百科维基百科道客巴巴豆丁网