正交矩阵的性质及其应用.doc

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1、 学号 20090501050227 密级 兰州城市学院本科毕业论文正交矩阵的性质及应用 学 院 名 称：数学学院 专 业 名 称：数学与应用数学 学 生 姓 名：苏志升 指 导 教 师：宋雪梅 二一三年五月BACHELORS DEGREE THESISOF LANZHOU CITY UNIVERSITYProperties and Applications of Orthogonal MatrixCollege ：Mathematics CollegeSubject ：Mathematics and Applied MathematicsName ： Su Zhisheng Directed

2、 by ：Song Xuemei May 2013郑 重 声 明 本人呈交的学位论文，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，所有数据、资料真实可靠。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含他人享有著作权的内容对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确的方式标明。本学位论文的知识产权归属于培养单位。 本人签名： 日期： 摘 要 本文给出了正交矩阵的性质并列举了正交矩阵的多个性质。研究正交矩阵在空间坐标旋转中的作用。关键词：正交矩阵；性质；标准正交基；特征多项式；应用ABSTRACTOrthogonal matrix is made up

3、of inner product lead. This paper illustrates several properties of orthogonal matrix and to give the proof. Study the role of orthogonal matrix in space coordinate rotation, and the matrix analysis of typical cases, and illustrates the application of matrix.Key words: orthogonal matrix; Rotation ma

4、trix; Orthonormal basis; Characteristic value; The application.目 录第一章 引言1第二章 正交矩阵及其性质2 2.1 正交矩阵的定义2 2.2 正交矩阵的性质2 2.3 正交矩阵的判定8第三章 正交矩阵的应用13结论17参考文献18致谢19第一章 引 言矩阵是数学中的一个重要的基本概念,是代数学的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的,他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语而实际上,矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了从行列式的大量工作中明显的表现出来,为了很多目

5、的,不管行列式的值是否与问题有关,方阵本身都可以研究和使用,矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的在逻辑上,矩阵的概念应先于行列式的概念,然而在历史上次序正好相反凯莱先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来,同研究线性变换下的不变量相结合,首先引进矩阵以简化记号并发表了关于这个题目的一系列文章1858年,他发表了关于这一课题的第一篇论文矩阵论的研究报告,系统地阐述了关于矩阵的理论文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念,指出了矩阵加法的可交换性与可结合性另外,凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果在矩阵论的发展史上,弗

6、罗伯纽斯(GFrobenius,18491917)的贡献是不可磨灭的他讨论了最小多项式问题,引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念,以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论,并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质1854年,约当研究了矩阵化为标准型的问题1892年,梅茨勒(HMetzler)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题,这主要是适用方程发展的需要而开始的在矩阵理论中,经常利用矩阵来描述变换在实空间中正交变换保持度量不变,而正交变换中对应的变换矩阵就是正交矩阵,所以对正交矩阵的

7、研究就显得格外重要矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质,矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展,现在已成为独立的一门数学分支矩阵论而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论矩阵的应用是多方面的,不仅在数学领域里,而且在化学、力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用第二章 正交矩阵及其性质本文中在没有特别说明的情况下,都表示为正交矩阵,记矩阵的秩为,与为矩阵的第列与第列,表示矩阵的第行.表示行列式的值即=2.1 正交矩阵的定义定义2.1.1 设是阶实方阵，如果,则称是正交矩阵 例如 ，都是正交矩阵 根据定义，易见正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵，为正交矩阵当且仅当可逆且,

8、这也等价于 或 2.2 正交矩阵的性质 性质1 设为正交矩阵，则 ； 可逆,且也是正交矩阵；证明 由,可知,则 由可知,可逆且又,故是正交矩阵 对正交矩阵，当时,我们称为第一类正交矩阵；当时,则称为第二类正交矩阵 性质 设都是阶正交矩阵,则 , (为自然数),等都是正交矩阵 也是正交矩阵 准对角矩阵为正交矩阵均为正交阵证明 由可知,所以为正交矩阵从而再由性质1可推知(为自然数),等均为正交矩阵 因为 所以是正交矩阵 准对角矩阵为正交矩阵 均为正交阵性质 设为阶正交矩阵,且,则必不可逆,即；设为奇数阶正交矩阵,且,则必不可逆,即；设是第二类正交矩阵,则必不可逆；设是奇数阶第一类正交矩阵,则必不可

9、逆证明 因为 所以得,即不可逆 所以当为奇数时, ,即从而不可逆 由是第二类正交矩阵,所以,即必不可逆 由是第一类正交矩阵,则而所以当是奇数时,有,即必不可逆 正交矩阵的性质主要有以上几点,另外还有以下性质,例如 性质 如果是正交矩阵的特征值,那么也是它的特征值证明 设是的特征值,则由于是正交矩阵,于是但与的特征值全部相同,而是的特征值因此是的特征值 性质 奇数维欧式空间的旋转一定以1作为它的一个特征值 证明 设旋转对应的正交矩阵为,那么由于为奇数,且,于是,故,即1为的一个特征值 性质 设为阶正交矩阵 当时,则是的特征值； 当且为偶数时,则1是的特征值； 当且为奇数时,则1是的特征值 证明

10、只需证 事实上,，其中从而,得证是的特征值 只需证事实上, 故. 当且为偶数时,当且为奇数时,从而得证1是的特征值 性质 设为阶正交矩阵,为的特征多项式,则 当 为偶数时, 其中 为奇数时, 其中 当 为偶数时, 其中 为奇数时, 其中 证明 正交矩阵的特征多项式为其中为的一切阶主子式的和乘以， 令为的阶主子式,为阶主子式的代数余子式,为的余子式 若,则因为的阶主子式,所以为的阶主子式,故的一切阶主子式之和等于的一切阶主子式之和 为偶数时,有奇数项,由且为所有的之和乘以为所有的之和乘以其中故 为奇数时,有偶数项,由且为所有的之和乘以为所有的阶主子式之和乘以其中相差一个符号故所以,若,当为偶数时

11、的特征多项式有奇数项,它以为中间项,左右对称项的系数相同,其中包括首项系数与常数项；当为奇数时,的特征多项式有偶数项,处于对称位置的左右两端系数仅差一个符号,因首项系数为1,且为-1,故也包括在内 若,则故的一切阶主子式之和与的一切阶主子式之和仅差一个符号 为偶数时,有奇数项,由且为所有的之和乘以为所有的之和乘以其中故 为奇数时,有偶数项,由且为所有的阶主子式之和乘以为所有的阶主子式之和乘以其中相差一个符号故 所以若,当为偶数时,的特征多项式有奇数项,它以为中间项,左右两边对称项的系数相差一符号,因首项系数为1,为,故也包括在内；当为奇数时,的特征多项式有偶数项,处于对称位置的左右两端系数相

12、同,其中包括首项系数与常数项均为1,也包括在内 性质 正交矩阵的一切阶主子式之和与一切相应阶主子式之和或相等或仅差一符号 性质 正交矩阵可以对角化,即存在复可逆阵使得,其中为的全部特征值,即 性质 对称正交矩阵的行列式 证明 由对称正交矩阵的特征值只有1或设的个特征值中有个,则剩下的就是个1由故 所以 例如对称正交阵有 性质 当阶正交矩阵为基础循环矩阵时,则它的全部特征值为实根,且为个次单位根 证明 设为基础循环矩阵可知的特征多项式为则其特征根为故为次单位根2.3 正交矩阵的解法 下面介绍矩阵的解法因为正交矩阵是实矩阵，即元素全是实数的矩阵所以以下提到的矩阵，向量及数都是实的 先来看正交矩阵的

13、元素之间有什么关系设 是一个正交矩阵，根据正交矩阵的定义：,推出 （当时），即式中的当时，为；当时，为这组等式表明正交矩阵的行向量之间的重要关系,通常称为正交条件同样地,正交矩阵的列向量也满足正交条件：这组等式可以从得到为了进一步讨论有关正交矩阵的问题，引入下列定义：定义2.3.1 两个维实向量 ，的内积定义为当时，则称与正交由定义可知，零向量与任何向量都是正交的定义2.3.2 如果向量组中任意两个都正交，而且每个都不是零向量，那么这个向量组就称为正交向量组例如，个基本向量就是一个正交向量组如果是一个正交矩阵，那么正交条件 说明了的个行向量是两两正交的又由于可逆，所以它的行向量都不是零向量，这

14、说明正交矩阵的行向量组成一个正交向量组同样地，正交条件说明了的列向量也组成一个正交向量组为了刻划条件；.引入以下定义：定义2.3.3 设是一个维实向量，令 称为的长度如果=1，则称为单位向量因为是实向量，所以= 总是有意义的从定义可知：的充分必要条件是；是单位向量的充分必要条件是例如基本向量以及正交矩阵的行向量与列向量都是单位向量因此，级矩阵是正交矩阵的充分必要条件是：它的行（列）向量组是正交的单位向量组从而只要找出个正交的维单位向量，以它们为行（或列）作成的矩阵一定是正交矩阵下面介绍一种找正交向量组的方法正交化方法在介绍这个方法以前，先对向量的内积进行一些讨论向量的内积具有下列性质：1. ；

15、2. ；3. （是任意实数）这些性质都可以直接从内积的定义推得同时从这三个性质又可以推出: ； 下面证明关于正交向量组的一个重要性质 定理2.3.4 正交向量组一定是线性无关的 证明: 设是一个正交向量组如果，那么展开得 因为与都正交，所以又因，所以由此得这就证明了是线性无关的定理2.3.5 设是一组线性无关的向量那么可以找到一组正交的向量，使得与等价证明：令再令来决定，使得，所以取即可再令因为;所以取，既有 这样，就找到了两两正交的向量使得与；与；与等价把这个步骤继续进行下去，一般地，如果已经找到了个两两正交的向量，使得与等价 那么令取，就得一个正交向量组，使得与等价最后，当时，就得到了所求

16、的向量组这个定理的证明给出了一个具体求与已知线性无关的向量组等价的正交向量組的方法，一般称为正交化方法如果再将定理中所得的向量单位化，令 ，那么就是一组正交的单位向量，使得与等价例1 已知，求，使得是正交单位向量组解：首先，由于是线性无关的，所以可以取两个向量，使线性无关将正交化，得一个正交向量组：，再将这组向量单位化，既得到一个正交单位向量组：，其中向量即为所求 从这个例题可以看出：正交单位向量与在正交化及单位化的过程中都不会改变这说明：任意个维正交的单位向量都可以作为某个级正交矩阵的个行（或列）这是一个很重要的事实 第三章 正交矩阵的应用正交矩阵具有诸多特殊的性质，本文主要研究其在空间坐标

17、变换中的应用我们知道，若是行列式为的正交矩阵，则变换代表空间的一个旋转变换利用矩阵乘积分解的方法，这种变换的转轴、转角可以用矩阵的特征参数量化的表示出来1 任意旋转变换的矩阵表示形式 引理 设空间任意一个非零向量为，则以单位向量为旋转轴方向向量，旋转角度为的旋转变换矩阵为 （*） 证明: 设为过原点的任意旋转轴方向的单位向量（图1），,，方向余弦表示为下面将旋转过程分解为四步来讨论 (1) 将向量连同向量绕轴顺时针旋转一个角度，使向量转至平面上位置，则有若记旋转变换的变换矩阵为，向量经此变换后的向量记为，有，其中 (2) 将向量连同绕轴顺时针旋转一个角度，使与轴重合到位置，则有，若记旋转变换的

18、变换矩阵为,向量经此变换后的向量记为，则有，其中 (3) 将向量绕即轴旋转角，旋转后的向量，其中变换矩阵为(4) 类似地，将向量连同再绕轴顺时针旋转角，绕轴逆时针旋转角，使其连同回复到原来的位置，旋转后的向量，其中变换矩阵 ，因此，整个旋转变换过程等价于上述旋转变换的合成，其旋转矩阵可表示为向量经此旋转变换后即为至此，我们证明了空间任意的旋转变换可以用旋转的单位方向向量和旋转角唯一表示特别地，当时，为单位矩阵，此时任意方向单位向量均可作为此旋转变换的转轴2 旋转角、旋转轴与矩阵特征属性之间的关系下面的定理阐述了空间中任意旋转变换的旋转轴，旋转角与变换矩阵的特征值之间的关系定理1 若为行列式等于

19、的阶正交矩阵，则变换旋转角的大小等于矩阵的一对共轭复特征值的辐角证明: 由引理1知，可设任意旋转变换的变换矩阵为若设其三个特征值分别为和，则有 ， 因为是正交矩阵，所以则必有,即必有特征值，不妨设，这样解得所以的两个共轭复数特征值的辐角即为旋转变换的旋转角定理2 对空间中的旋转变换(*),旋转轴的方向向量是变换矩阵的特征值对应的特征向量证明 当，因为的特征值的几何重数大于其代数重数，所以的线性无关的特征向量只要个，记为，满足，也就是说向量在绕转轴转了后保持不变，所以与重合，为转轴定理3 变换所得新向量的终点都落在以为圆心，为半径的球面上，且任取球面上的一点，存在正交矩阵，使得向量与该点重合事实

20、上，任取与都可以确定一个平面，平面法向量可以表示如为：，与夹角的余弦 取，,根据公式（*）就可以确定一个正交矩阵,由的几何意义知，左乘的作用相当于让以为轴时针转过角，得到的新向量的终点就是点3 行列式为的正交变换取因为是奇数阶的，所以 所以，记向量对应的点为，则所对应的点为，则当为偶数时，与重合；当为奇数时，与关于原点对称由几何性质可知，分布在一个纬圆上，设为易知，也应分布在纬圆上，而分布在另一个纬圆上，设为，且满足如下条件：1）半径与相同；2）是关于原点对称得到的；3) ；4) 两圆圆心连线过原点，且这条连线即为旋转变换的转轴所在直线通过以上的讨论，我们得出了正交矩阵所对应的空间旋转变换与矩

21、阵自身性质的关系这个空间旋转变换的转轴与转角将由矩阵的特征值和特征向量唯一确定这些结论将为我们以后进一步研究正交矩阵的其他性质提供帮助 矩阵是线性代数中的核心内容，而正交矩阵是一种常用的矩阵，它在正交变换理论中起着十分重要的作用，正交矩阵不仅在线性代数中，而且在理工各学科领域的数学方法中，如优化理论、计算方法、信息分析中都有着举足轻重的位置本文对正交矩阵进行了较为深入的研究，得到了正交矩阵的一系列常用性质，相关性质的概括、改进和推广，对矩阵的理论研究有重要意义参考文献1 王萼芳,石生明高等代数M第三版北京：高等教育出社,2007:162-3922 蒋大为空间解析几何及其应用M北京：科学出版社，

22、2004:195-1963 魏站线线性代数与空间解析几何M北京：高等教育出版社，2004:196-1974 刘钊南正交矩阵的作用J湘潭师范学院学报,198711165 程云鹏矩阵论M第二版西北工业大学出版社,1999：9499,196-215致 谢毕业论文暂告收尾，这也意味着我在兰州城市学院大学的四年的学习生活即将结束。回首既往，自己一生最宝贵的时光能于这样的校园之中，能在众多学富五车、才华横溢的老师们的熏陶之下度过，实是荣幸之极。在这四年的时间里，我在学习上和思想上都受益匪浅。这除了自身努力外，与各位老师、同学和朋友的关心、支持和鼓励是分不开的。“饮其流时思其源，成吾学时念吾师。”至此论文完

23、成之际，谨向我尊敬的导师宋雪梅老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意。非常幸运能够成为您的学生，在这短短的两年里，聆听着您孜孜不倦的教诲，感受着您严谨进取的治学精神和乐观向上的生活态度，我不仅体会到知识与研究的魅力，也学会了许多做人的道理。感谢您从本研究开始一路指导至论文的完成，正是因为您思路清晰、反应敏捷，学术态度清新而开放，才使我的毕业论文有了极大的写作空间。您的悉心点拨,耐心引导,常让我有“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村。”的感觉。毕业在即，在此谨向您表示我最衷心的感谢，同时，祝您工作顺利，合家欢乐，身体健康，一切安好！同时也感谢我的同学们，正是和他们两年的朝夕相处，一起上课一起讨论问题，让我逐渐有了对问题的思考意识，从而更好地规划自己的学业。 再次衷心感谢我最敬爱的父母!他们在我的成长过程中付出了太多的心血，使我能够健康的成长并顺利完成学业。四年的时间对于整个人生而言，也许是短暂而微不足道的。但即将过去的这四年对我而言，却是人生一个重要的里程碑，深刻而难忘。感谢所有关心帮助过我的人! 最后，衷心的感谢在百忙之中抽出时间审阅论文的专家教授老师。 苏志升 2013年5月于兰州城市学院 17