2022年新教材高一人教版数学暑假衔接课全套讲义学案学生版解析版.docx
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1、目录Hi-i1第二章一一衔接补充22.1 数与式22.1.1 乘法公式22.1.2 因式分解72.2 方程与方程组以及不等式152.2.1 韦达定理152.2.2 分式方程与无理方程以及二元方程组192.2.3 不等式23第三章一一学习新知263.1 集合263.1.1 ,乙、263.1.2 集合的基本性质263.1.3 集合的表示方法273.1.4 集合间的基本关系293.1.5 集合间的基本运算313.2 常用逻辑用语383.2.1 充分条件、必要条件、充要条件383.2.2 全称量词与存在量词403.3 函数的概念与性质433.3.1 函数的概念433.3.3 分段函数453.3.4 函
2、数的图象473.3.5 函数的定义类问题493.3.6 函数值域的求法503.3.7 恒成立问题52第一章前B首先,恭喜同学们进入高中数学殿堂的学习,同时也祝贺大家在数学的学习上进入一个更高的层次。当然,随之而来的是学习内容的增多,学习方法的巨变,学习技巧的提高,高中数学对同学们的学习提出了更高的要求,主要体现在高中数学学习时,知识体系更严谨”、“考查方式更灵活”、“数学思想更重要高中数学的知识会让同学们觉得更复杂、关联性更强,这就要求我们需要有“举一反三”、“化繁为简”、“知识迁移”的学习技巧。在后续的衔接课程中,我们将通过具体的例子去体会上述所讲的各类名词的具体含义。下面简要列出高中阶段最
3、重要的几类数学思想,请同学们在学习时,多加思考,每次学习时、每次做题时,都使用到了什么数学思想。“数形结合思想分类与整合思想”、“特殊与一般思想”、“函数与方程思想”接下来,我们通过几类可以利用初中知识解决的题目来具体体会一下高中数学学习的魅力。引例1:y=+b是什么?y三是什么?卜=。1?+法+b,证明:yja2+c2-ylai+b2Ja2+b2寸-4本题与引例2有什么不同?做一做并体会其中奥妙。第二章衔接补充2.1 数与式2.1.1 乘法公式一、【归纳初中知识】在初中,我们学习了多项式的运算,知道乘法公式可以让多项式的运算变得简单方便,初中我们主要学习了两个基本乘法公式:平方差公式:(“+
4、b)ab)=(T-b2完全平方公式:(。土入尸=/2+/在初中阶段我们常要求掌握上述2个公式,但从今往后我们更多要求的是对公式的推广、对定理的多重认知,比如我们可以利用引例2的思想来研究上述公式的几何维度解析。你能说出上述图形验证了哪一个式子吗?例1:利用几何图形证明当/?0时,(a+6)2=/+2ab+/?由完全平方公式我们还可以得到两个重要式子:a+b=(a+b)2+2ab,我们常常把这种式子之间的变换方式称作恒等变换,恒等变换h)2=(a+h)24ah在高中数学当中是一个非常重要的工具。二、【衔接高中知识】高中代数部分是以函数为主线展开学习的,为研究函数的性质,需要同学们具有很强的代数恒
5、等变换能力,在此,我们对乘法公式进行一些拓展,请大家进行部分自主提炼:完全立方和公式:S+b)3=完全立方差公式:(a-b)3=公式、我们统称为完全立方公式,我们能否由完全立方和与完全立方差的公式得到立方和与立方差的公式呢?立方和公式:/+/=立方差公式:a3-b3=最后,我们再填补三数平方和的公式:三数平方和:(a+b+c)2=三、【例题精讲】例1:观察下列算式:32-12=852-32=1672-52=2492-72=32(1)按照上述规律续写2个式子;(2)用文字反应出上述式子的规律;(3)证明你所发现规律的正确性;例2:观察下列算式:23-13=733-23=19型-33=3753-4
6、3=61(1)按照上述规律续写两个式子;(2)20203-20193-20183+20173例3:若a+O+c=O,ab+ac+/?0,x与y的大小关系为()nnA.xyB.xyD.x)2-4x-4j+4=0,则(x+y)io=x2-y2=(x-j)(x+y)4、已知:x3-y3=(x-y)(x-xy-y2),则x一y”=x4-y4=(x-)U3+x1y+xy2+y3)5、当x=J:3时,计算(2x+L)(4f2+_)一一=xx2V6、I9922-1991x1993=7、已知。+58y=x,求+48)(,+68)=8、已知。=201%+2018,。=201%+2019,c=2019f+2020
7、则a2+b2+c2-ah-ac-be=9、已知x+y=10且f+=280,则代数式d+J二2y+3无+110、函数y=在x0时的最小值为3211、已知孙均为正数,且勿2+=1,则_+的最小值为mnX4-1*12、函数y=z-一-(x0)的最大值为2x2+4.r+W2.1.2因式分解一、【归纳初中知识】把一个多项式化为几个整式乘积的形式,叫做因式分解。初中阶段我们常用的两种因式分解方法有:方式:提取公因式法am+bin=m(a+b)cf土2ah+厅=(土hy方式:公式法/一/=(4+与(。一方)卜土b=(a土b)(a2+ab+b2)二、【衔接高中知识】下面我们介绍几种常用的高中因式分解的方法:
8、方式:分组分解法xm+ytn+xn+yn=(x+y)m+(x4-y)n=(x+y)(m+)方式:十字相乘法nmC+(mb+nd)x+ah=(mx+a)(nx+h)我们知道形如x2+(p+q)x+pq这样的二次三项式可以分解为(x+p)(x+q),它的特点是二次项系数为1.常数pq与一次项系数p+q可以通过“十字相乘,乘积相加”的方式建立联系,得至ijx2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。这种方法能推广到更深层次吗?下面来看二次三项式mnx2+(mb+nd)x+ab,将二次项系数与常数项ab建立十字形式:我们发现“十字相乘,乘积相加”刚好得到一次项系数mh+na,从而我们有*方式:大除
9、法我们引入这样一个问题:求方程一2?+3-2=0的解显然,由观察得出是方程的一个根,那么该方程左边的多项式必定可以写成下面形式:x3-2x2+3x-2=(x-1)(),那么我们如何确定空缺部分呢?下面我们介绍大除法:三、【例题精讲】例1:分解因式(1) 2x2+x-3(2) 4x+4x3例2:分解因式(1) (x2-x)2-(x2-x)-2(2) X2-2xy-8y2(3) x2+2xy-3x-6y(4) +3x-4例3:已知是正整数,且4-161+100是质数,求的值课后习题1、若f+依+b=(x+2)(x-4)贝!J=,b-o2、x41x(x+3)()3、若+nix-10=(x+a)(x+
10、力),且,。均为整数,贝!1。+。=4、下列各式中,不是4/-17f+4因式的是()1A、B、x+2Cx2D、x-425、分解因式冗4一丁+4工一4二6、若多项式/+(4-1)必+9/能用完全平方公式进行分解,则攵=7、分解因式:ab(c2-d2)+cd(a2-b2)=8、分解因式:/_3#+4=9、设z=,试用风旌表示(d+)/),*10、多项式x2+芈y+h)”5x+y+6的一个因式是工+y-2,计算2.1.3分式与根式一、【归纳初中知识】A1.在初中阶段我们把形如展的式子叫做分式,并且常常用到以下性质:DjAxMA-MABxM=BM=B1 .在初中阶段我们把形如JZ(aNO)的式子叫做二
11、次根式,表示的是非负数。的算数平方根,并且常用到以下性质:二、【衔接高中知识】2 .进入高中之后,我们对分式部分知识点的要求就变得逐渐高起来,具体体现在要求同学们需要有更强的运算能力以及恒等变形能力。3 .进入高中之后,我们对根式部分的掌握要求就不再是二次根式,而是更高的三次根式,四次根式,次根式等等三、【例题精讲】例1:若_1一_=4,求2析一3%-2的值mntn-2mn-n例2:.5-4.=A+B,求的值x(x+2)xx+2例3:设左=,L=g=_C_,求左的值b+c+ca+b例4:设a+b+c=0,求&l_I+也(Lt*I+上(Lh)+3bcacab例5:已知c=l,证明一a一+b+c一
12、ab+a+lbc+b+ac+c+l例6:阅读材料,回答下列问题:2211L2-3二6i_l_13-4二12我们发现1一_:_=inn+1n(n+1)(i)计算j_+l+,+L+:2612202019x2020,、4丁111111(2)求证_+ 设=J-4+d4-+2设/机一 2,多7nm11、化简:(1) 12);(2) -力)+4(a+b)(ab1,几N*)12、证明:1一.!.1+1-11x2x32x3x4+3x4x5(+1)(+2)42.2方程与方程组以及不等式2.2.1 韦达定理一、【归纳初中知识】1、一元二次方程的解法在初中时我们已学习过配方法、公式法、因式分解法等主要解法。2、对于
13、任意的一元二次方程ax2+bx+c=0(aH。),通过判别式A=从4ac能够判断其方程解的个数。二、【衔接高中知识】我们已经知道0?+版+6=0(。0)如果有两个解,则其分别为;-b+b-4ac-b-b-4ac9Xj=112a-2a,bX4-X=-则我们可以得到,2aXX=c12a上面揭示了二次方程的根与系数a,4c之间关系的等式我们叫做韦达定理,韦达定理在未来高中三年的学习中占据着非常重要的地位。fbX+X=一|I2-反之若为,满甲,则我们可以说再,%2定是a/+x+c=()xx=cP2a的两个解,这叫做韦达定理的逆定理。三、【例题精讲】例1:若大1,是2丈+一1=。的两个根,求:22113
14、3(1)X+x2 0)2(5-x)2+(l-y)2=r2例9:解方程组:0)没有实数根y=y +Ax+c(ci0)的根实根j. .Jax1 +4u +0)的解集全体实收4-/tr 4-rC0(0)的耕集无解无解规律总结:一般地,解不等式先使不等式右边为.一般地,对于一元二次不等式af+ + oOyO),先化二次项系数为,然后 找出方程ar2+bx + c = 0的两根不,最后根据不等号:小于取,大于取。三、【例题精讲】例1:因式分解法解不等式:x2+x-6-3例3:图像法解不等式-Z+x+l0的解集为x3,求2?+hx+ax+1x+3例6:解不等式:(x+2)(fx12)。课后习题1、不等式6
15、X-210的解集为2、不等式x2-2|x|-30的解集为3、已知不等式d一依+0的解集为2cx3,则不等式ax?-bx+120的解为24、不等式-;1的解集为X5、不等式a+1)(x-2)(x+3)0的解集为x2-47、不等式-x2的解集为x+28、解不等式(x+2)(6+x-f)N0x+2x39、解不等式:50/+尤+6第三章一一学习新知3.1 集合3.1.1 集合的基本概念在小学和初中,我们已经接触过一些集合。例如,自然数的集合,有理数的集合,不等式x-73的解的集合(常称为解集),到一个定点距离等于定长的点的集合即,到一条线段两个端点距离相等的点的集合即。我们再来看下面的一些例子:(1
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