2021年高考数学压轴题100题精选含答案.doc

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1、2021年高考数学压轴题100题精选含答案一、立体几何多选题1如图，在棱长为2的正方体中，为边的中点，下列结论正确的有（ ）A与所成角的余弦值为B过三点、的正方体的截面面积为C四面体的内切球的表面积为D正方体中，点在底面（所在的平面）上运动并且使，那么点的轨迹是椭圆【答案】AB【分析】构建空间直角坐标系，由异面直线方向向量的夹角为与所成角的余弦值判断A的正误；同样设结合向量夹角的坐标表示，且由等角的余弦值相等可得，进而判断P的轨迹知D的正误；由立方体的截面为梯形，分别求，进而得到梯形的高即可求面积，判断B的正误；由四面体的体积与内切球半径及侧面面积的关系求内切球半径r，进而求内切球表面积，判断

2、C的正误.【详解】A：构建如下图所示的空间直角坐标系：则有：，故正确.B：若N为的中点，连接MN，则有，如下图示，梯形AMND为过三点、的正方体的截面，而，可得梯形的高为，梯形的面积为，故正确.C：如下图知：四面体的体积为正方体体积减去四个直棱锥的体积，而四面体的棱长都为，有表面积为，若其内切圆半径为，则有，即，所以内切球的表面积为.故错误.D：正方体中，点在底面（所在的平面）上运动且，即的轨迹为面截以AM、AP为母线，AC为轴的圆锥体侧面所得曲线，如下图曲线，构建如下空间直角坐标系，若，则， ，即，整理得，即轨迹为双曲线的一支，故错误.故选：AB【点睛】关键点点睛：应用向量的坐标表示求异面直

3、线的夹角，并结合等角的余弦值相等及向量数量积的坐标表示求动点的轨迹，综合立方体的性质求截面面积，分割几何体应用等体积法求内切球半径，进而求内切球的表面积.2如图所示，正三角形ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，其中AB8，把ADE沿着DE翻折至ADE位置，使得二面角A-DE-B为60，则下列选项中正确的是（ ）A点A到平面BCED的距离为3B直线AD与直线CE所成的角的余弦值为CADBDD四棱锥A-BCED的外接球半径为【答案】ABD【分析】作AMDE，交DE于M,延长AM交BC于N,连接AM,AN.利用线面垂直的判定定理判定CD平面AMN,利用面面垂直的判定定理与性质定理得到到平面面B

4、CED的高AH,并根据二面角的平面角，在直角三角形中计算求得AH的值，从而判定A;根据异面直线所成角的定义找到ADN就是直线AD与CE所成的角，利用余弦定理计算即可判定B;利用勾股定理检验可以否定C;先证明底面的外接圆的圆心为N,在利用外接球的球心的性质进行得到四棱锥A-BCED的外接球的球心为O,则ON平面BCED,且OA=OC,经过计算求解可得半径从而判定D.【详解】如图所示，作AMDE，交DE于M,延长AM交BC于N,连接AM,AN.则AMDE,MNDE, ,MN=M,CD平面AMN,又CD平面ABDC,平面AMN平面ABDC,在平面AMN中作AHMN,则AH平面BCED,二面角A-DE

5、B为60，AEF=60，正三角形ABC中，AB=8,AN=,AM=2,AH=AMsin60=3，故A正确；连接DN,易得DNEC,DN=EC=4,ADN就是直线AD与CE所成的角，DN=DA=4,AN=AM=2,cosADN=,故B正确；AD=DB=4,AB=,AD与BD不垂直，故C错误易得NB=NC=ND=NG=4，N为底面梯形BCED的外接圆的圆心，设四棱锥A-BCED的外接球的球心为O,则ON平面BCED,且OA=OC,若O在平面BCED上方，入图所示：设ON=x,外接球的半径为R,过O作AH的垂线，垂足为P,则HP=x,易得,解得,舍去；故O在平面BCED下方，如图所示：设ON=x,

6、外接球的半径为R,过O作AH的垂线，垂足为P,则HP=x,易得, 解得,故D正确.故选:ABD.【点睛】本题考查立体几何中的折叠问题，涉及二面角问题，异面直线所成的角，用到线面、面面垂直的判定与性质及外接球的球心的性质和有关计算，余弦定理等，属综合性较强的题目，关键是利用线面垂直，面面垂直的判定和性质进行空间关系和结构的判定，注意球心在四棱锥的底面上方和下方的讨论与验证.3在棱长为1的正方体中，P为底面ABCD内（含边界）一点（ ）A若，则满足条件的P点有且只有一个B若，则点P的轨迹是一段圆弧C若平面，则长的最小值为D若且平面，则平面截正方体外接球所得截面的面积为【答案】ABD【分析】选项A，

7、B可利用球的截面小圆的半径来判断；由平面平面，知满足平面的点P在BD上，长的最大值为；结合以上条件点P与B或D重合，利用，求出，进而求出面积.【详解】对A选项，如下图：由，知点P在以为球心，半径为的球上，又因为P在底面ABCD内（含边界），底面截球可得一个小圆，由底面ABCD，知点P的轨迹是在底面上以A为圆心的小圆圆弧，半径为，则只有唯一一点C满足，故A正确；对B选项，同理可得点P在以A为圆心，半径为的小圆圆弧上，在底面ABCD内（含边界）中，可得点P轨迹为四分之一圆弧.故B正确；对C选项，移动点P可得两相交的动直线与平面平行，则点P必在过且与平面平行的平面内，由平面平面，知满足平面的点P在B

8、D上，则长的最大值为，则C不正确；对选项D，由以上推理可知，点P既在以A为圆心，半径为1的小圆圆弧上，又在线段BD上，即与B或D重合，不妨取点B，则平面截正方体外接球所得截面为的外接圆，利用.故D正确.故选：ABD【点睛】（1）平面截球所得截面为圆面，且满足（其中为球半径，为小圆半径，为球心到小圆距离）；（2）过定点A的动直线平行一平面，则这些动直线都在过A且与平行的平面内.4如图，在棱长为2的正方体，中，为棱上的中点，为棱上的点，且满足，点，为过三点，的平面与正方体的棱的交点，则下列说法正确的是（ ）AB三棱锥的体积C直线与平面所成的角为D【答案】ABD【分析】面面平行性质定理可得出A正确；

9、等体积法求得B正确；直线与平面所成的角为，求其正切值不等于1即可得出C错误；利用面面平行性质定理和中位线求出长度即可得出D正确.【详解】解：对于A.在正方体中平面平面，又平面平面，平面平面，有平面与平面平行的性质定理可得，故正确；对于B.因为，所以，又为棱上的中点，所以,所以，故正确；对于C.由题意及图形可判定直线与平面所成的角为，结合B选项可得，故错误；对于D.同A选项证明方法一样可证的，因为为棱上的中点，为棱上的中点，所以所以，所以，故正确.故选：ABD【点睛】求体积的常用方法：（1）直接法：对于规则的几何体，利用相关公式直接计算；（2）等体积法：选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱

10、锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换；（3）割补法：首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算.5已知正方体的棱长为2，点O为的中点，若以O为球心，为半径的球面与正方体的棱有四个交点E，F，G，H，则下列结论正确的是（ ）A平面B平面C与平面所成的角的大小为45D平面将正方体分成两部分的体积的比为【答案】ACD【分析】如图，计算可得分别为所在棱的中点，利用空间中点线面的位置关系的判断方法可判断A、B的正确与否，计算出直线与平面所成的角为后可得C正确，而几何体为三棱柱，利用公

11、式可求其体积，从而可判断D正确与否.【详解】如图，连接，则，故棱与球面没有交点.同理，棱与球面没有交点.因为棱与棱之间的距离为，故棱与球面没有交点.因为正方体的棱长为2，而，球面与正方体的棱有四个交点E，F，G，H，所以棱与球面各有一个交点， 如图各记为.因为为直角三角形，故，故为棱的中点.同理分别为棱的中点.由正方形、为所在棱的中点可得，同理，故，故共面.由正方体可得，故因为平面，平面，故平面，故A正确.因为在直角三角中， ，与不垂直，故与不垂直，故平面不成立，故B错误.由正方体可得平面，而平面，所以，所以在正方形中，因为分别为的中点，故，因为，故平面，所以为直线与平面所成的角，而，故直线与

12、平面所成的角为，因为，故与平面所成的角的大小为45.故C正确.因为分别为所在棱的中点，故几何体为三棱柱，其体积为，而正方体的体积为8，故平面将正方体分成两部分的体积的比为，故D正确.故选：ACD.【点睛】本题考查空间中线面位置的判断、空间角的计算和体积的计算，注意根据球的半径确定哪些棱与球面有交点，本题属于中档题.6已知正方体棱长为，如图，为上的动点，平面.下面说法正确的是（）A直线与平面所成角的正弦值范围为B点与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大C点为的中点时，若平面经过点，则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形D已知为中点，当的和最小时，为的中点【答案】AC【分析】以点

13、为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断A选项的正误；证明出平面，分别取棱、的中点、，比较和六边形的周长和面积的大小，可判断B选项的正误；利用空间向量法找出平面与棱、的交点、，判断四边形的形状可判断C选项的正误；将矩形与矩形延展为一个平面，利用、三点共线得知最短，利用平行线分线段成比例定理求得，可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，则点、设点，平面，则为平面的一个法向量，且，所以，直线与平面所成角的正弦值范围为，A选项正确；对于B选项，当与重合时，连接、，在正方体中，平面，平面，四边形是正方形，则，平面，

14、平面，同理可证，平面，易知是边长为的等边三角形，其面积为，周长为.设、分别为棱、的中点，易知六边形是边长为的正六边形，且平面平面，正六边形的周长为，面积为，则的面积小于正六边形的面积，它们的周长相等，B选项错误；对于C选项，设平面交棱于点，点，平面，平面，即，得，所以，点为棱的中点，同理可知，点为棱的中点，则，而，且，由空间中两点间的距离公式可得，所以，四边形为等腰梯形，C选项正确；对于D选项，将矩形与矩形延展为一个平面，如下图所示：若最短，则、三点共线，所以，点不是棱的中点，D选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查线面角正弦值的取值范围，同时也考查了平面截正方体的截面问题以及折线段长的最小值

15、问题，考查空间想象能力与计算能力，属于难题.7已知棱长为1的正方体，过对角线作平面交棱于点，交棱于点，以下结论正确的是（ ）A四边形不一定是平行四边形B平面分正方体所得两部分的体积相等C平面与平面不可能垂直D四边形面积的最大值为【答案】BD【分析】由平行平面的性质可判断A错误;利用正方体的对称性可判断B正确;当为棱中点时,通过线面垂直可得面面垂直,可判断C错误;当与重合,与重合时,四边形的面积最大,且最大值为,可判断D正确.【详解】如图所示,对于选项A,因为平面,平面平面,平面平面,所以,同理可证,所以四边形是平行四边形,故A错误;对于选项B,由正方体的对称性可知,平面分正方体所得两部分的体积

16、相等,故B正确;对于选项C,在正方体中,有,又,所以平面,当分别为棱的中点时,有,则平面,又因为平面,所以平面平面,故C错误;对于选项D,四边形在平面内的投影是正方形,当与重合,与重合时,四边形的面积有最大值,此时,故D正确;故选:BD.【点睛】本题考查了正方体的几何性质与应用问题,也考查了点线面的位置关系应用问题,属于中档题.8如图，点是正四面体底面的中心，过点的直线交，于点，是棱上的点，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交于点，则（ ）A若平面，则B存在点S与直线MN，使平面C存在点与直线，使D是常数【答案】ABD【分析】对于选项A，根据线面平行的性质定理，进行推理判断即可；对于选项

17、B，当直线平行于直线， 时，通过线面垂直的判定定理，证明此时平面，即可证明，存在点S与直线MN，使平面；对于选项C，假设存在点与直线，使，利用线面垂直的判定定理可证得平面，此时通过反证法说明矛盾性，即可判断；对于选项D，利用，即可求得是常数.【详解】对于选项A，若平面，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交于点,平面平面，又平面，平面，点在面上，过点的直线交，于点，平面，又平面，平面平面，故A正确；对于选项B，当直线平行于直线，为线段上靠近的三等分点，即，此时平面，以下给出证明：在正四面体中，设各棱长为，均为正三角形，点为的中心，由正三角形中的性质，易得，在中，由余弦定理得，则，同理，又，

18、平面，平面，平面，存在点S与直线MN，使平面，故B正确；对于选项C，假设存在点与直线，使，设中点为，则，即，又易知与为相交直线，与均在平面上，平面，即平面，与正四面体相矛盾，所以假设不成立，故C错误；对于选项D，易知点到面，面，面的距离相等，记为，记与平面所处角的平面角为，为常数，则也为常数，则点到的距离为，又 ，又，为常数，故D正确.故选：ABD.【点睛】本题考查了线面平行的性质定理、线面垂直的判定定理，考查了三棱锥体积的计算，考查了向量的运算，考查了转化能力与探究能力，属于较难题.9如图，正三棱柱中，、点为中点，点为四边形内（包含边界）的动点则以下结论正确的是（ ）AB若平面，则动点的轨迹

19、的长度等于C异面直线与，所成角的余弦值为D若点到平面的距离等于，则动点的轨迹为抛物线的一部分【答案】BCD【分析】根据空间向量的加减法运算以及通过建立空间直角坐标系求解，逐项判断，进而可得到本题答案.【详解】解析：对于选项A，选项A错误；对于选项B，过点作的平行线交于点以为坐标原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系设棱柱底面边长为，侧棱长为，则，所以，即，解得因为平面，则动点的轨迹的长度等于选项B正确对于选项C，在选项A的基础上，所以，因为，所以异面直线所成角的余弦值为，选项C正确对于选项D，设点E在底面ABC的射影为，作垂直于，垂足为F，若点E到平面的距离等于，即有，又因为在中，得，其中等

20、于点E到直线的距离，故点E满足抛物线的定义，另外点E为四边形内（包含边界）的动点，所以动点E的轨迹为抛物线的一部分,故D正确. 故选：BCD【点睛】本题主要考查立体几何与空间向量的综合应用问题，其中涉及到抛物线定义的应用.10半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为，则（ ）ABF平面EABB该二十四等边体的体积为C该二十四等边体外接球的表面积为8DPN与平面EBFN所成角的正弦值为【答案】

21、BCD【分析】用反证法判断；先补齐八个角成正方体，再计算体积判断；先找到球心与半径，再计算表面积判断；先找到直线与平面所成角，再求正弦值判断【详解】解：对于，假设对，即平面，于是，但六边形为正六边形，矛盾，所以错；对于，补齐八个角构成棱长为2的正方体，则该二十四等边体的体积为，所以对；对于，取正方形对角线交点，即为该二十四等边体外接球的球心，其半径为，其表面积为，所以对；对于，因为在平面内射影为，所以与平面所成角即为，其正弦值为，所以对故选：【点睛】本题考查了正方体的性质，考查了直线与平面所成角问题，考查了球的体积与表面积计算问题1（本小题满分 14 分）如图，设抛物线C : y = x 2

22、的焦点为 F，动点 P 在直线l : x - y - 2 = 0 上运动，过 P 作抛物线 C 的两条切线 PA、PB，且与抛物线 C 分别相切于 A、B 两点.（1）求APB 的重心 G 的轨迹方程.（2）证明PFA=PFB.解：（1）设切点 A、B 坐标分别为(x, x 2 )和(x , x 2 )(x x ) ，01110切线 AP 的方程为： 2x0 x - y - x = 0;02切线 BP 的方程为： 2x x - y - x 2 = 0;114(2n - 1)31（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点，它们在轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点

23、求这三条曲线的方程；（）已知动直线过点，交抛物线于两点，是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由.解：（）设抛物线方程为，将代入方程得（1分）由题意知椭圆、双曲线的焦点为（2分）对于椭圆，（4分）对于双曲线，（6分）（）设的中点为，的方程为：，以为直径的圆交于两点，中点为令（7分）（12分）2（14分）已知正项数列中，点在抛物线上；数列中，点在过点，以方向向量为的直线上.（）求数列的通项公式；（）若，问是否存在，使成立，若存在，求出值；若不存在，说明理由；（）对任意正整数，不等式成立，求正数的取值范围.解：（）将点代入中得（4分）（）（

24、5分）（8分）（）由（14分）3.（本小题满分12分）将圆O: 上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变), 得到曲线C.(1) 求C的方程;(2) 设O为坐标原点, 过点的直线l与C交于A、B两点, N为线段AB的中点,延长线段ON交C于点E.求证: 的充要条件是.解: (1)设点, 点M的坐标为,由题意可知(2分)又.所以, 点M的轨迹C的方程为.(4分)(2)设点, , 点N的坐标为,当直线l与x轴重合时, 线段AB的中点N就是原点O, 不合题意,舍去; (5分)设直线l: 由消去x, 得(6分),点N的坐标为.(8分)若, 坐标为, 则点E的为, 由点E在曲线C上, 得, 即 舍去)

25、 由方程得又.(10分)若, 由得点N的坐标为, 射线ON方程为: ,由 解得 点E的坐标为.综上, 的充要条件是.(12分)4.（本小题满分14分）已知函数.(1) 试证函数的图象关于点对称;(2) 若数列的通项公式为, 求数列的前m项和(3) 设数列满足: , . 设.若(2)中的满足对任意不小于2的正整数n, 恒成立, 试求m的最大值.解: (1)设点是函数的图象上任意一点, 其关于点的对称点为.由 得所以, 点P的坐标为P.(2分)由点在函数的图象上, 得. 点P在函数的图象上.函数的图象关于点对称. (4分)(2)由(1)可知, , 所以,即(6分)由, 得 由, 得(8分)(3)

26、 , 对任意的. 由、, 得即.(10分)数列是单调递增数列.关于n递增. 当, 且时, .(12分)即 m的最大值为6. (14分)5（12分）、是椭圆的左、右焦点，是椭圆的右准线，点，过点的直线交椭圆于、两点.当时，求的面积；当时，求的大小；求的最大值.解：（1）（2）因，则设 ，当时，6（14分）已知数列中，当时，其前项和满足，求的表达式及的值；求数列的通项公式；设，求证：当且时，.解：（1）所以是等差数列.则.（2）当时，综上，.（3）令，当时，有 （1）法1：等价于求证.当时，令，则在递增.又，所以即.法（2） （2） （3）因，所以由（1）（3）（4）知.法3：令，则所以因则，所以

27、 （5）由（1）（2）（5）知7 (本小题满分14分)第21题设双曲线=1( a 0, b 0 )的右顶点为A，P是双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点.(1) 证明：无论P点在什么位置，总有|2 = | ( O为坐标原点)；(2) 若以OP为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围；解：(1) 设OP：y = k x, 又条件可设AR: y = (x a ), 解得：= (,), 同理可得= (,), | =|+| =. 4分 设 = ( m, n ) , 则由双曲线方程与OP方程联立解得:m2 =, n2

28、 = , |2 = :m2 + n2 = + = ,点P在双曲线上，b2 a2k2 0 . 无论P点在什么位置，总有|2 = | . 4分（2）由条件得：= 4ab, 2分即k2 = 0 , 4b a, 得e 2分1. (本小题满分12分)已知常数a 0, n为正整数，f n ( x ) = x n ( x + a)n ( x 0 )是关于x的函数.(1) 判定函数f n ( x )的单调性，并证明你的结论.(2) 对任意n a , 证明f n + 1 ( n + 1 ) 0 , x 0, fn ( x ) a0时, fn ( x ) = xn ( x + a)n是关于x的减函数, 当n a时

29、 有：(n + 1 )n ( n + 1 + a)n n n ( n + a)n. 2分又 f n + 1 (x ) = ( n + 1 ) xn ( x+ a )n ,f n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) (n + 1 )n ( n + 1 + a )n n ,f n + 1 ( n + 1 ) | u v |，所以p( x)不满足题设条件.（2）分三种情况讨论：10. 若u ,v 1，0，则|g(u) g (v)| = |(1+u) (1 + v)|=|u v |，满足题设条件；20. 若u ,v 0，1， 则|g(u) g(v)| = |(1 u) (1 v)|=

30、 |v u|，满足题设条件；30. 若u1，0，v0，1，则： |g (u) g(v)|=|(1 u) (1 + v)| = | u v| = |v + u | | v u| = | u v|，满足题设条件;40 若u0，1，v1，0, 同理可证满足题设条件.综合上述得g(x)满足条件.3. (本小题满分14分)已知点P ( t , y )在函数f ( x ) = (x 1)的图象上，且有t2 c2at + 4c2 = 0 ( c 0 ).(1) 求证：| ac | 4;(2) 求证：在(1，+）上f ( x )单调递增.(3) (仅理科做)求证：f ( | a | ) + f ( | c |

31、 ) 1.证：(1) tR, t 1, = (c2a)2 16c2 = c4a2 16c2 0 ， c 0, c2a2 16 , | ac | 4. (2) 由 f ( x ) = 1 ,法1. 设1 x1 x2, 则f (x2) f ( x1) = 1 1 + = . 1 x1 x2, x1 x2 0, x2 + 1 0 ,f (x2) f ( x1) 0 , 即f (x2) 0 得x 1, x 1时，f ( x )单调递增.（3）（仅理科做）f ( x )在x 1时单调递增，| c | 0 , f (| c | ) f () = = f ( | a | ) + f ( | c | ) =

32、 +=1. 即f ( | a | ) + f ( | c | ) 1.4（本小题满分15分）设定义在R上的函数（其中R，i=0,1,2,3,4），当x= 1时，f (x)取得极大值，并且函数y=f (x+1)的图象关于点（1，0）对称求f (x)的表达式；试在函数f (x)的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间上；若，求证：解：（1）5分 （2）或10分 （3）用导数求最值，可证得15分5（本小题满分13分）设M是椭圆上的一点，P、Q、T分别为M关于y轴、原点、x轴的对称点，N为椭圆C上异于M的另一点，且MNMQ，QN与PT的交点为E，当M沿椭圆C运动时，求动点

33、E的轨迹方程解：设点的坐标则1分 3分 由（1）（2）可得6分 又MNMQ，所以 直线QN的方程为，又直线PT的方程为10分 从而得所以 代入（1）可得此即为所求的轨迹方程.13分6（本小题满分12分）过抛物线上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点，（1）求点P的轨迹方程；（2）已知点F（0，1），是否存在实数使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.解法（一）：（1）设由得：3分直线PA的方程是：即 同理，直线PB的方程是： 由得：点P的轨迹方程是6分（2）由（1）得： 10分所以故存在=1使得12分解法（二）：（1）直线PA、PB与抛物线相切，且直线PA、PB的斜率均存在且不为0

34、且设PA的直线方程是由得：即3分即直线PA的方程是：同理可得直线PB的方程是：由得：故点P的轨迹方程是6分（2）由（1）得：10分故存在=1使得12分7（本小题满分14分）设函数在上是增函数.求正实数的取值范围；设，求证：解：（1）对恒成立，对恒成立又 为所求.4分（2）取，一方面，由（1）知在上是增函数，即8分另一方面，设函数在上是增函数且在处连续，又当时， 即综上所述，14分8(本小题满分12分)如图，直角坐标系中，一直角三角形，、在轴上且关于原点对称，在边上，的周长为12若一双曲线以、为焦点，且经过、两点(1) 求双曲线的方程；(2) 若一过点（为非零常数）的直线与双曲线相交于不同于双

35、曲线顶点的两点、，且，问在轴上是否存在定点，使？若存在，求出所有这样定点的坐标；若不存在，请说明理由解：(1) 设双曲线的方程为，则由，得，即（3分）解之得，双曲线的方程为（5分）(2) 设在轴上存在定点，使设直线的方程为，由，得即（6分），即（8分）把代入，得（9分）把代入并整理得其中且，即且 （10分）代入，得 ，化简得 当时，上式恒成立因此，在轴上存在定点，使（12分）9(本小题满分14分)已知数列各项均不为0，其前项和为，且对任意都有（为大于1的常数），记(1) 求；(2) 试比较与的大小（）；(3) 求证：，（）解：(1) ，得，即（3分）在中令，可得是首项为，公比为的等比数列，（4

36、分）(2) 由(1)可得，（5分）而，且，（）（8分）(3) 由(2)知 ，（）当时，（10分）（当且仅当时取等号）另一方面，当，时，（当且仅当时取等号）（13分）（当且仅当时取等号）综上所述，（）（14分）1（本小题满分14分）已知椭圆的左、右焦点分别是F1（c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足 （）设为点P的横坐标，证明； （）求点T的轨迹C的方程； （）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M， 使F1MF2的面积S=若存在，求F1MF2 的正切值；若不存在，请说明理由.本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程

37、和有关性质，轨迹的求法和应用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分.（）证法一：设点P的坐标为由P在椭圆上，得由，所以 3分证法二：设点P的坐标为记则由证法三：设点P的坐标为椭圆的左准线方程为 由椭圆第二定义得，即由，所以3分（）解法一：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（，0）在轨迹上.当|时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点.在QF1F2中，所以有综上所述，点T的轨迹C的方程是7分解法二：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（，0）在轨迹上.当|时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点. 设点Q的坐标为（），则因此 由得 将代入，可得综上所述，点T的轨迹C的方程是7分 （）解法一：C上存在点M（）使S=的充要条件是