弹性力学题杨桂通课后答案汇总.doc

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1、一组：蔡晓光 马彦波 王露萌 韩鑫 史美珺；题目：杨桂通P27,16、P28,1（P27,3未找到）P27,2-1,已知一点处的应力状态为，试求该点处的最大主应力及主方向。解：解三次方程即可得故即该点处的最大主应力为当时即又由可得由得因此该点处的最大主应力为主方向为与*轴的夹角为P27，2-2，试用初等理论求出受均布荷载作用的简支梁（矩形截面）的应力状态，并校核所得结果是否满足平衡方程与边界条件解：由材料力学可知：, 平衡方程： 把上式代入到第一个平衡方程中去，满足； 由第二个方程得 利用边界条件：，得 满足边界条件 由第二式可知，它满足上下两个表面的边界条件： 由左右边界上：利用圣维南原理

2、知其边界条件满足P27，2-3，试证在坐标变换时，为一不变量。P27，2-4，已知下列应力状态，试求八面体正应力与剪应力。解：由可得解三次方程即可得即八面体上的正应力为：八面体上的剪应力为：故八面体上的正应力为剪应力为5，试求出下列情况的边界条件（坐标系如图所示）解，5,（a）1）题中已给出坐标系o*y, 2)求方向余弦，已知边界s与*组成角，故有：3)s边受力为；4）由可得 得边界条件为（b）1)题中已给定坐标系o*y 2）求方向余弦，已知边界s与*轴成0度角，故有 3)边界受力为 4）由可得， 得边界条件为C)1)题中已给定坐标系o*y. 2)求方向余弦，边界S与*轴成角，故有 3）S边界

3、为自由边界，则有： 4）可得 得边界条件为（d）1)题中已给定坐标系o*y, 2)求方向余弦，边界S与*轴成角，故有 3）S边界受力为：， 4）由 得边界条件为（e）1) 题中已给定坐标系 2)求方向余弦，已知边界S与*轴成90度角，故有 3）S边界受力为 4)由可得得边界条件为2-6，设图中短柱体处于平面应力状态，试证在牛腿尖端C处的应力等于零。 由（1）和（2）得：3-1,已知下列位移，试求指定点的应变状态。,在（0，2）点处；，,在（1,3,4）点处;解：（1）应变*量可完全确定一点的应力状态， 在二维情况下， 由题知， 则 在点（0,2）处， 在三维情况下， 由题知， 则 在三维情况下

4、 由题知， 则 在点（1,3,4）处，二组：周东升、武帅萌、宋光仁、曹进海、黄辰 题目：杨桂通书 P38,25；P94,13（P94,2没找到）3-2 试证明在平面问题中下式成立：证明：设*轴和*轴的交角为，则：（在上式以代得到）其中为剪应变。上面俩式相加即得：证毕。3-3 已知应变*量，试求：（a）主应变 （b）主应变方向 （c）八面体剪应变 （d）应变不变量解：（a） 由可得，应变不变量为：解方程 代入解得：（b） 时，有：且有： 可得：可得主应变与轴的夹角为（c）八面体的剪应变为：（d）应变不变量为：3-4 试说明下列应变状态是否可能：（a）（b）解：（a）应变协调方程为 由于 即成立

5、故应变状态存在。 （b）应变协调方程为 (2) (3) (4) (5) (6)对于(1)式， 成立；对于(2)式， 成立；对于(3)式， 成立；对于(4)式， 不成立；对于(5)式， 不成立；对于(6)式， 成立；由于对(4)(5)不成立，故应变状态不可能存在。3-5 试求下列正方形单元在纯剪应变状态时，剪应变与对角线应变之间的关系。解：如图可知：设如图OB变形量为u，则由定义可知：由变形与应变的推导公式：可得：5-1试用逆解法求圆截面柱体扭转问题的解。（提示参考初等问题的解答。如柱体的轴线为轴，则假定） 解：由，则又由于正应力都为0，*,y面的切应力也为0，则，。5-2 设一物体内的位移分

6、量为。试求位移函数。解：（1）由几何方程求解应变分量：（2）由物理方程求解应力分量：（3）利用平衡微分方程求解：前两个方程满足，由第三个方程有：对该式积分得：不考虑刚体位移，则：5-3 试求解例5-2中的梁在中点受集中力作用时的弹塑性弯曲问题。三组：马志旺 王浩 杨恒杰 *哲 耿玲题目：杨桂通书P130,176-1 求下图中给出的圆弧曲梁内的应力分布。提示：（1）选用极坐标；（2）应力函数取解：边界条件：次要边界条件：66-2 试分析下列应力函数可解什么样的平面应力问题。解：首先将函数代入双调和方程即知，满足故该函数可作为应力函数，求得应力分量为：显然，上述应力分量在ad边界及bc边界上对应的

7、面力分量均为零。而在ab边界上，切向面力分量呈对称于原点O的抛物线型分布，指向都向下。法向面力为均匀分布的荷载q显然，法向均布荷载q在ab面上可合成为一轴向拉力p，且p=2cq；而切向面力分量在ab面上可合成为一切向集中力。而cd边界则为位移边界条件要求：U=0,v=0,w=0 以及转角条件用以上分析可知，该应力函数对于一端固定的直杆（坐标系如图所示）可解决在自由端受轴向拉伸（拉力为p=2cq）和竖向集中力作用下的弯曲问题。6-3 悬臂梁（）沿下边受均匀剪力，而上边和*=l的一端不受荷载时，可用应力函数得出解答，并说明此解答有哪些方面是不完善的。解：首先将函数代入双调和方程满足。故该函数可作为

8、应力函数。求得应力分量为：在ab边界上：*=l,-cyc则在ad边界上：y=-c,0*l则在bc边界上：y=c,0*l则即悬臂梁下墙受均布剪力大小为s。在cd边界上为位移边界条件，u=0,v=0,w=0及转角条件。6-4 已求得三角形坝体的应力场为其中为坝体材料比重，为水的比重；试根据边界条件求a,b,c,d的值。解：据图示列出水坝OA边界和OB边界上的应力边界条件。OB边：由得即OA边：由得而代入上式，两边同时消掉y，得解得:常数：6-5 试以简支梁受均布荷载为例，求当泊松比=0.3时，用初等理论给出的结果的误差不超过2.5%时的跨长与梁高h之比。解：初等理论：弹力解：时6-6 图中的悬臂梁

9、受均布荷载q=100kN/m作用，试求其最大应力（a)应力函数（b)用初等理论求，并比较以上结果解：（a)将式代入双调和方程式知，满足。故可作为应力函数，相应的应力分量为：（b)时不定。不考虑。6-7 试确定应力函数 中的常数c值使满足图中条件 在面上 在面上 并证明楔顶没有集中力或力偶作用。解：考虑边界条件所以同样地取微元，设半径为所以无力偶所以*方向无外力所以y方向无外力：综上所诉，楔形体顶点无集中力或力偶作用四组：王蓓 弥玉娟 姜欧 夏强 杨超越题目：杨桂通书P130,810、P207,14 （P130,10未找到）P132,6-8，试求内外径之比为1/2的后壁筒在受内外相等压力（即）时

10、的极限载荷。并讨论之。答：平面应力问题：，由于圆筒内外压力相等，各点为均匀受压状态性状态转变为塑性状态，不出现弹塑性状态。平面应变问题：由于为三向等挤压状态，不出现塑性极限状态P132,6-9，试求只有外压作用的厚壁筒的应力分布及塑性区应力公式。答：当厚壁筒受到均匀内外压作用时其弹性解为如果筒体只受外压作用，此时，筒体内各点处的应力分布，应力分量 和都是压应力，处于三向受压应力状态。三个主应力分别为，最大压应力发生在筒内侧 （b）P132,6-10，试求悬臂梁受均布荷载作用时的弹塑性分界层的曲线形式。答: 取坐标轴*沿梁的轴线方向,设梁的挠曲线方程为W=W(*).在此基础上，给梁一个可能的微小

11、位移 ，它应该满足 固定端处的边界条件 在给定的外力的边界 ST上， T i =q 不计梁的自重，即体应力为零，因此等式右面的外力总可能功记为 梁内总可能应变能可能由 所引起，根据材料力学分析可知由位移W所引起根据可能位移原理表达式（6-24），再利用（b）（i）和（g），得由于SIV为任意的微小可疑位移。若使式（h）成立，必定要求式（i）就是梁的挠曲线微分方程式，他本质是一个用位移（挠度）表示的平衡方程。此外，考虑到悬臂梁在端点*=l处还是自由的，这意味着对该处的挠度和转角没有任何的约束限制。也就是说，可能挠度等于0，可能转角 =0，因此由式（j）和（h）得式子（l）和（m）实际上表示了自由

12、端*=l处，弯矩和剪力等于零的力边界条件9-1试证：答9-2试证明虚位移与虚应力是下列高斯散度定理的特殊情况：解：取是虚位移，原式成为 （1） 对其真实应力和位移原式变为： （2）两式相减得即虚功原理或虚位移原理取为虚应力，原式成为 （3）（3）-（2）得即余虚功原理或虚应力原理。9-3试证明图示悬臂梁的应变能公式及并说明其附加条件。答：得则在梁*=0端：故，前式前二部分为零，等式成立在梁*=l端：由于的任意性，且存在剪力F,弯矩M,故9-4：试绘出图示结构的余能表达式习题（9-4）答：五组：*九阳 贾建武 寻阳 景恒子 王从宝 *霖题目：杨桂通书P207,59、P248,12（9-6、9-9

13、10-2未找到）9.5 试用卡式第二定理求图示三杆桁架中A点的位移。解：已知向下的力为P，斜杆的位移为，竖杆位移为，cos=,结构应变能力为：=由 P= ， 得 9.6 试给出平面应力状态极坐标的应变表达式。9-7 设有图示悬臂梁右端受p作用，如取挠曲线为试求a，b的值。解：设梁的挠度曲线为 显然，此级数能满足 (固定端的边界条件)。 我们可以用最小势能原理来确定系数a2，a3，a4。 梁的应变能为 而外力的功为 梁的总势能为 应用最小势能原理，可得积分上式可得下列联立方程式由此可解得9.8求下图中超静定梁极限荷载的上、下限。*zqlBA解：(1)静力法先将超静定梁化为靜定梁（）、（），分别

14、做弯矩图，叠加得该超静定梁的弯矩图设点为坐标原点，此时弯矩方程为：在极限状态时，有令得 (1)而 (2) (3)联立解（1）、（2）、（3）得解得取较大的值，可得在以上值作用下，梁已形成破坏结构，故其解为完全解。(2)机动法 如图（g）设在A、C两点形成塑性铰内力功为外力功为由虚功原理得：该解与完全解的误差为9.9 设有正方形断面的棱柱体，其一端固定，一端则以角速度绕Z轴转动，如不计断面的翘曲，试求极限扭曲的上限和下限。10.1写出应力，表示板的平衡方程。 解：由于板的弯曲问题不考虑面向（纵向）荷载：*=Y=010.2 证明在极坐标系内，下式成立六组：贾增辉 郭子義 *守庆 李宜江题目：杨桂通

15、P248，38 薛守义P193,3杨桂通P248,4、6、7及8题第二问未找到14.3 设长为a，宽为b的矩形薄板两对边简支，梁对百年固支，受均布横向荷载作用。取挠度函数如下，并用Ritz法求解。解：本题的位移边界条件为：，。其内力边界条件为：，。按Ritz法求解，先求薄板弯曲时的总应变能，考虑到薄板为周边上w=0的矩形板，于是总应变能可简化为：根据Ritz法，可得：从而，可得：故挠度的近似解为：第五题：详细推导板的总势能Et的公式。解：弹性体的总应变能：若板厚为1，则板的应变能为：此处A为板中面面积。如只考虑板受横向( 即垂直于板面)的外载荷q 作用, 则外力的势能为：于是板的总势能为:：其

16、中, , , 分别为边界上的横向剪力, 弯矩和扭矩, 下标n, s 分别为边界处的法线与切线方向。w 及w. s显然是相应的广义位移。10-8,试求：(1) 矩形板的畸变形屈服条件；(2) 简支矩形受均布荷载作用的极限荷载的上限。提示：用下列应力场作为静力许可应力场。解：（1）板单位面积的应变能：考虑到w = w( *, y) 与z 无关, 可得在小变形条件下, 显然上式括弧中的量为板弯曲后中面的曲率和扭率， ， 于是有如采用无量纲的量, ,，其中 为塑性极限弯矩则得：这样一来, 板的屈服条件可用广义力表示为在平面应力状态下, 畸变能条件已知为对应于上式, 可知板的屈服条件为 （2）10.3 有一四边简支矩形板，板面荷载如题图10-3所示，求该薄板的挠度。解：采用纳维解法，挠度表达式为荷载表达式为由式求出。式中，m=1,3,5，n=1,3,5，. z.