数学里的钟表问题钟面角.docx

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1、钟表问题“钟面角”日常生活中，我们几乎每天都要看钟表，然而我们对钟表表面上的时针、分针、秒针之间的夹角（即“钟面角”）问题可能并没有在意.其实钟面角中蕴涵着丰富的数学知识，我 们一起来探究一下“钟面角”问题吧.一、认识“钟面角”要分析钟面角，我们首先要结合其图形特点，寻找并发现它们的变化规律.钟表的表面特点：钟表的表面都是一个圆形，共有 12个大格，每个大格间有 5个小 格.圆形的表面恰好对应着一个周角 360 ,每个大格对应30角，每个小格对应6角.表 面一般有时针、分针、秒针三根指针.钟表时针、分针、秒针的转动情况：时针每小时转1大格，每12分钟转1小格，每12个小时转1个圆周；分针每5分

2、钟转一大格，每1分钟转1小格，每小时转1个圆周； 秒针5秒钟转1大格，每1秒钟转1小格，每1分钟转一个圆周.时针、分针、秒针的转速：有了以上的认识，我们很容易计算出相应指针的转速：钟表的时针转速为：30 /小时或。/分钟；分针的转速为：6 /分钟或。/秒钟；秒针的转速为：6 /秒.有了这些对钟面角的基本认识，我们就可以探究与钟面角有关的问题了.二、解决与钟面角有关的数学问题L计算从某一时刻到另一时刻，时针（分针）转过的角度公式法：时（分）针从某一时刻到另一时刻转过的角度=时（分）针转过的时间X时（分）针的转速（注意统一单位）.观察法：若时（分）针转过了 a大格b小格，则时（分）针从某一时刻到另

3、一时刻转 过的角度为：30a+6b .例1.从3: 15到7: 45,时针转过 度.从1: 45至IJ 2: 05,分针转过 度.分析：从3: 15到7: 45,时针走过的时间为小时（270分钟），时针转过的角度为：X30 =135 (或 270X =135 )4X 30+X 6=135或用观察法：时针共走了 4大格小格，时针转过的角度为:从1: 45到2: 05,分钟走过的时间为 20分钟，分针转过的角度为：20X6 =120 .或用观察法：分针共走了 4个大格（或20小格）分针转过的角度为：4X30 =120 （或：20X6 =120 ）.2 .计算某一时刻时针（分针）与分针（秒针）之间的

4、夹角求差法：以0点（12时）为基准到某一时刻止，时针转过的角度与分针在整点后的 时间转过的角度差，即时针、分针之间的夹角.观察法：某一时刻时针、分针相差a个大格b个小格，时针分针的钟面角=30a+6b例2 .4： 00点整，时针、分针的夹角为 .11: 40,时针、分针的夹角为 .分析：4: 00整，时针、分针相差 4个大格，夹角为：4X30 =120 .作差法：11: 40,以0点（12时）为基准2时针转过的角度为：11? X30 =350分针转过的角度为：40X6 =240，时针、分针的夹角为：350 240 =11022观察法：11: 40分针、时针相隔3G个大格，时针、分针的夹角为：3

5、3 X30 =1103 .求时针、分针成特殊角时对应的时间方程思想：时针、分针成特殊角时对应的时间问题，通常以 0点（12时）为基准将时 针、分针所转过的角度可看成一个追及问题，从而借助方程进行求解.相等关系：整点后分针转过的角度一整点后时针转过的角度=整点时分针、时针的夹角（分针需追赶的角度）+a时x分分针与指针的夹角（分针应多转的角度）或：分针整点后转过的角度一时针从0点基准到现在时刻转过的角度=所成的特殊角例3 .你能用一元一次方程解决下面的问题吗（课本习题P114页第8题）在3时和4时之间的哪个时刻，钟的分针与时针：重合；成平角；成直角.分析：重合：设3时x分时针、分针重合.3时整，时

6、针、分针的夹角为 90 .即在后x分钟，分针要比时针多走 90。，分针才能追及时针重合.从3时整到3时x分，分针走过6x度角，时针走过度角.依题意有6x =90分针与时针成平角：设 3时x分时针、分针成平角，即在后 x分钟,分针先要多走90解得：x = 16追及时针，然后还要比时针多走180。.依题意有6x =90+180解得：x=49分针与时针成直角：应分两种情况讨论.分针在时针的顺时针方向垂直.此时钟面角为90 .即在后x分钟,分针先要多走90追及时针，然后还要比时针多走90 .依题意有6x -=90+90180解得:x= 33分针在时针的逆时针方向垂直.此时钟面角为270 .即在后x分钟

7、分针先要多走90追及时针，然后还要比时针多走270 .依题意有6x -=90+90180解得：x-65 （不合题意，舍去）例4.在一个圆形时钟的表面,4 .钟面角的综合应用OA表示秒钟，OB表示分钟（。为两针的旋转中心）.若现在时间恰好是12点整，问经过多少秒后， OAB的面积第一次达到最大分析：4OA即面积最大，设OA边上的高为h,则h总小于等于 OB,只有当OALOB时, h=OB，此日OAB的面积最大.12点整，分针、秒针重合，设经过 x秒，分针、秒针第一次垂直， OA即面积第一次达到最大.此时秒针走过角度为6x,分针走过的角度为.依题意有156x=90解得x=15-15即经过15 5

8、9秒后， OAB的面积第一次达到最大.钟表夹角问题公式钟面上分12大格60小格。每1大格均为360除以12等于30度。每 过一分钟分针走6度，时针走度，能追度。公式可这样得来：X时时，夹角为30X度。Y分，也就是分针追了时针度。可用：整点时的度数30X减去追了的度数。如果减得的差是负数，则取绝对值，也就是直接把负号去掉， 因为度数为非负数。因为时针与分针一般有两个夹角，一个小于180度，一个大于180度, （180度时只有一个夹角）因此公式可表示为：|或360-|度。|为绝对值符号。如：2: 10,可代入得：60-55=5度。大于180度的角为：355度。如：11: 20, 330-110=2

9、20 度,小于 180 的角:360-220=140 度。:比方说现在是X时Y分（X要小于等于12）,则时针过数字X为Y/60 * 30 = Y/2 度而分针指在Y/5所以时钟和分针的夹角 =（Y/5 - X）*30 - Y/2 = 11Y/2 - 30X 度我们先设求m时n分时指针夹角度数，先求m时n分时针分针相对于 12时转过的相对度数：时针转过的度数为（60+n） ,分针转过的 度数为6n ,再用时针与分针转过的相对度数大值减小值，如果大 于1800 ,再用360减去所求差，求出的为最后结果。这样我们就可以得出公式：| (60+n) 0 -6n | 或360 -| (60+n) -6n |