重庆科技学院线性代数考题及答案.doc

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1、试 卷 一一（33%）填空题（表示单位矩阵）：1 设，则 -1 ； ；2 设矩阵，则行列式 -1/70 ；3 若向量组，则当参数 =0 时，线性相关；4 矩阵的伴随矩阵= ；5 设矩阵及均可逆，则 ；6 分块矩阵的逆矩阵为 ；7 设矩阵。若齐次线性方程组的解空间是2维的，则齐次线性方程组的解空间是 3 维的；8 与向量，均正交的一个单位向量为 ；9 已知矩阵，则当数满足条件 k1 时，是正定的；10 若实对称矩阵有两个不同的特征值, 且则当参数满足条件 k-1/2 时，矩阵是正定的。二（12%）求矩阵方程的解，其中，三（12%）设3阶方阵有特征值，是其相应于特征值 的特征向量，是其相应于特征值

2、的特征向量。1. 求。2. 若3阶实对称矩阵的特征值也是，证明：与必定相似。四（12%）设线性方程组1 问：当参数满足什么条件时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？2 当方程组有无穷多解时，求出其通解（写成向量形式）。五（12%）矩阵。1. 求一2. 问：是否存在秩大于2的矩阵使得？为什么？六（12%）设实对称矩阵 1. 求参数；2. 求一正交矩阵七（7%）证明题：1 设 是矩阵的两个互异的特征值，是的属于的线性无关的特征向量，是的属于的特征向量。证明：线性无关。证明：若线性相关，则可由唯一的线性表示，设若，则，由线性表示唯一可知，矛盾。若，则 线性无关，若，矛盾；若，则，矛盾。2 已知阶方阵

3、相似于对角阵，并且，矩阵的特征向量均是矩阵的特征向量（注：，的特征值未必相同）。证明试 卷 二一 （24%）填空题：1 假设矩阵，则。2 假设向量组A：，则当参数满足条件 t= -1 时，向量组A的秩为1； t=2 时A的秩为2； 时A的秩为3。3 若向量是矩阵的特征向量，则。4 设矩阵，且，则参数满足条件 a=b 。5 若矩阵与对角阵相似，则满足条件 x=3 。解：A与对角阵相似，则A有3个线性无关的特征向量。由当时，有。6. 若是正交矩阵，则满足条件a = d = 0, c = 1. 7. 若对满足条件的实对称矩阵， 都是正定矩阵，则实数必定满足条件 a -1.二 （8%）求矩阵的行列式的

4、值。()三 （15%）已知矩阵，向量。1 若是线性方程组的解，试求的值，并求这时的通解；2 若有无穷多组解，但不是的解，求的值。解：1. 若是线性方程组的解，则，。此时，的通解为若有无穷多组解，但不是的解，则四 （15%）解矩阵方程 。其中，。五 （15%）设二次型1 写出二次型的矩阵；2 求正交变换将化成标准形，并写出相应的标准形。六 （12%）设3阶矩阵的特征值是（二重）和，且，是的相应于特征值2的特征向量，是的相应于特征值是4的特征向量。求矩阵及。七 （5%）已知矩阵，。问：当参数满足什么条件时，矩阵方程有解，但无解？八 （6%）证明题：1 已知向量组可以由线性表示。若向量组的秩为2，证

5、明：线性无关。,所以线性无关。2 设2阶方阵，且，。若不全为零，证明：不与任何对角阵相似。若不全为零，则所以A没有两个线性无关的特征向量，不与任何对角阵相似。试 卷 三一 （27%）填空题1 若矩阵,，且，则的值分别为；2 设对任意列向量，则矩阵 ；3 设阶方阵， 。若的行列式 ，则矩阵的行列式 -6 ；4 设为阶可逆方阵，阶矩阵的逆矩阵为 ；5 齐次线性方程组的一个基础解系为 ；6 若二次型是正定的，则参数的取值范围是 ；7 若是正交矩阵, 则参数的值分别为 ；8 假设阶矩阵的特征值为。则行列式的值为 -10 ；9 若实二次型的矩阵分别为，则的正惯性指数相同，负惯性指数也相同的充分必要条件是

6、参数满足 。二（14%）假设阶矩阵满足。1 证明矩阵及均可逆，并分别求及；2 证明：若，矩阵肯定不可逆。三（14%）假设矩阵，。已知线性方程组有无穷多组解。试求参数的值，并求方程组的通解（要求用的一特解及相应的齐次线性方程组的基础解系表示）。四（15%）已知矩阵相似于对角阵。1 求参数的值，并求的特征值及相应的特征向量；2 求一可逆矩阵，使得为对角阵，并写出相应的对角阵；3 问：是否存在正交矩阵，使得为对角阵？试说明你的理由。解：当l= -1时，解，并且由A相似于对角阵知，所以a=3. 取，所以对应于l= -1的特征向量为。当l= 4时，解，取，所以对应于l= 4的特征向量为。(2) (3)

7、不存在正交矩阵，使得为对角阵。因为A不是实对称的，所以不同特征值对应的特征向量只是线性无关的，而不是正交的。五（12%）已知矩阵，矩阵，求矩阵，使得。六（12%）假设3维向量；。已知向量组与向量组等价。1 求的秩及其一个最大线性无关组，并求参数的值；2 令矩阵，求满足的矩阵。解：已知向量组与向量组等价。所以线性无关，所以为的一个极大无关组。七（6%）假设阶矩阵满足。1 证明：关于矩阵的秩有等式，并且相似于对角阵；2 若，试求行列式的值。试 卷 四一 （30%）填空题1. 设, 则 ；2. 若矩阵满足，则的逆矩阵 ；3. 若向量组的秩为2，则参数满足条件 t= -2 ；4. 假设3阶矩阵的特征值

8、为，矩阵，其中，是的伴随矩阵，则的行列式 -165 ；,的特征值为，即-11，-5，-3。5. 相似于对角阵的充要条件是满足条件 ；6. 若与相似，则 ； 7. 设是3阶实对称矩阵的相应于某个非零二重特征值的特征向量。若不可逆，则的另一个特征值为 0 ，相应的一个特征向量为 ；8. 3元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2, 已知是它的3个解向量,其中,则该方程组的通解是 ；的基础解系有1个解向量。且，所以的基础解系为，则该方程组的通解是9. 若4阶矩阵的秩都等于1，则矩阵的行列式 0 。二 （10%）计算下述行列式的值。 ()三 （15%）设线性方程组 。问：当参数取何值时, 线性方程组有唯一

9、解？ ()四 当参数取何值时，线性方程组有无穷多组解？ ()当线性方程组有无穷多组解时，求出其通解（用向量形式表示）。五 （12%）假设矩阵，矩阵满足，其中是的伴随矩阵，求。六 （10%）已知向量组线性无关，问：参数满足什么条件时，向量组线性相关？解：设为列向量组，则。B的列向量组线性相关七 （15%）已知二次型，1. 写出二次型的矩阵； 2. 求一正交变换，将变成其标准形； 3. 求当时的最大值。八 （8%）证明题：1. 设向量组中，线性相关，线性无关，证明：能由线性表示。2. 设是阶正定矩阵,证明：矩阵也是正定矩阵。是阶正定矩阵,则的所有特征值。并且A可逆，所以为的特征值，当时，所以的所有

10、特征值，所以矩阵也是正定矩阵。试 卷 五一(30%)填空题1. 设3阶矩阵，。若的行列式，则的行列式 ；2. 与向量及都正交的单位向量为 ；3. 矩阵的伴随矩阵 ；4. 假设，则= ；= ；5. 若为方阵，则方阵的逆矩阵 ；6. 已知矩阵，若不可逆，则参数满足条件 ，这时，的秩为 ； 7. 假设阶方阵满足，则是可逆的，且 ；8. 假设矩阵相似于对角阵，并且2是的一个二重特征值，则参数的值分别等于 。二（12%）已知矩阵。1. 求的行列式的值；2. 根据的不同的值，求的秩及列向量组的极大线性无关组。三（12%）假设，。求矩阵方程的解。四（14%）假设矩阵，。1. 问：当参数取什么值时，线性方程组

11、有唯一解、有无穷多组解、无解？2. 当线性方程组有无穷多组解时，求出其通解。五（14%）已知三阶方阵与矩阵相似，求参数的值，并求一可逆矩阵，使得。六（12%）设二次型1. 求一可逆线性变换将变成其标准形；2. 根据参数的不同取值，讨论的秩及正、负惯性指数；3. 问：当参数取什么值时，是正定二次型？七（6%）假设是阶正交阵。若是实对称矩阵，证明：的特征值只能是1和，并且，若，则肯定是的特征值。证明：所以的特征值只能是1和。若，且不是的特征值，则可逆，由得此时，矛盾。试 卷 六一、 填空题1. 设3阶方阵A满足AT = -A (其中AT表示A的转置), 则行列式|A| = 0 . 2. 矩阵的伴随

12、矩阵= . 3. 向量组, , , 的秩为 2 , 它的一个最大线性无关组是 , , 。4. 设A为可逆矩阵, 则矩阵方程2XA + 3B = C的解X = . 5. 设矩阵A = 是正交矩阵, 则x, y的值分别为 . 6. 二次型f(x1, x2, x3) = 2+- 3+ 4x1x2 - 6x2x3的矩阵是 .二、 选择题1. 设A是4阶方阵, 则下列条件中 D 与“秩(A) = 3”等价. (A) A的列向量组线性无关, （与“秩(A) = 4”等价.）(B) 行列式|A| = 0, (C) A的3阶子式都不为零, (D) 齐次线性方程组Ax = 0的基础解系中仅含有1个解向量. 2.

13、 设A, B都是23的矩阵, 它们的转置分别记为AT 和 BT, 则下列等式中恒成立的是 B . (A) (ATB)T = ABT, (B) 行列式| ATB | = 0, （必有非零解，则必有非零解，则| ATB | = 0） (C) 秩(A+B) = 秩(A) +秩(B), (D) . 3. 下列矩阵中不能相似对角化的是 A . (A) , (B) , (C) , (D) .4. 下列陈述中正确的是 B . (A) 若两个矩阵等价, 则它们的行列式相等, （行列式差一个倍数） (B) 若两个矩阵等价, 则它们的秩相等, (C) 若两个矩阵相似, 则它们有相同的特征向量, （有相同的特征值）

14、 (D) 若两个矩阵合同, 则它们有相同的特征值. 三、 计算题1. 计算行列式的值.2. 求矩阵A = 的逆矩阵. 3. 对于方程组 来说, (1) 当参数a与b满足什么条件时无解?(2) 当参数a与b满足什么条件时有唯一解? (3) 当参数a与b满足什么条件时有无穷多解?并在此条件下求出其通解.4. 设a1=, a2.=, 用Schimidt正交化方法求一个与向量组a1, a2等价的正交向量组x1, x2. 并用x1, x2把a2线性表示出来.解：5. 设矩阵A = , (1) 求A的特征多项式和特征值. (2) 求正交矩阵P使P -1AP为对角矩阵. (3) 矩阵A的正惯性指数是多少?

15、矩阵A是否为正定矩阵? 四、 证明题设n阶方阵A满足A2 = A, E为n阶单位矩阵. 证明:(1) A + E和A - 2E都可逆, (2) A的特征值只能为0或1, (3) A相似于一个对角矩阵. 2006-2007学年第3学期(上)线性代数试卷一. (18%)填空题(E表示单位矩阵). 1. 假设a = (1, 3), b = (1, -1), 则(aTb)100 = _. 解: aTb =(1, -1) =, baT = (1, -1)= -2, (aTb)100 = (aTb)(aTb)(aTb).(aTb)(aTb) = aT(baT)(baT). (baT)b = aT(-2)9

16、9b = -299aTb 99个baT100个aTb=. 2. 矩阵A =的逆矩阵A-1 = _. 解: (法一) |A| = 14 - 23 = 4 - 6 = -2. A* =, A-1 =A* =. (法二) (A, E) = . 由此可得A-1 =. 3. 若33矩阵A = (a, b, g)的行列式等于2, 矩阵B = (b, g, a), 则矩阵A + B的行列式|A+B| = _. (-1)(-1)解: |A+B| = |(a +b, b +g, g +a)| = |(a, b +g, g +a)| + |(b, b +g, g +a)| (-1)(-1)= |(a, b +g,

17、 g)| + |(b, g, g +a)| = |(a, b, g)| + |(b, g, a)| = |A| - |(b, a, g)| = |A| + |(a, b, g)| = |A| + |A| = 2 + 2 = 4. 4. 齐次线性方程组3x + 2y - 5z = 0的一个基础解系是_. 解: 依次取=, 得=, , 于是该方程组的一个基础解系为:x1 = (-2/3, 1, 0)T, x2 = (5/3, 0, 1)T.注: 本题答案不唯一, 比如还可以取x1 = (-2, 3, 0)T, x2 = (5, 0, 3)T. 5. 向量组a1 = (1, 2, 3, 4)T, a

18、2 = (2, -1, 1, 0)T, a3 = (1, -3, -2, -4)T, a4 = (3, 1, 4, 1)T的一个极大线性无关组是_. 解: (a1, a2, a3, a4) =. 由此可见该向量组的一个极大线性无关组是a1, a2, a4. 注: 本题答案不唯一, 比如还可以取a1, a3, a4; 也可以取a2, a3, a4. 但a1, a2, a3线性相关取, 因此a1, a2, a3不是该向量组的极大线性无关组. 6. 若矩阵, 合同, 则参数a, b满足条件_. 解: 记A =, B =. 若A与B合同, 则存在可逆矩阵P使得PTBP = A, 又因为BT = B,

19、故AT = (PTBP)T = PTBT(PT)T = PTBP = A, 可见A是对称矩阵, 故a = 2. 再由A与B合同可知A与B有相同的秩和正惯性指数, 而B的秩和正惯性指数分别为2和1, 因此A的秩和正惯性指数也分别为2和1, 于是A的两个特征值l1和l2一个是正的一个是负的, 从而|A| = l1l2 0. 由于a = 2, 所以|A| = = b - 4. 因而b 4. 二. (12%)选择题. 1. 假设A, B是同阶方阵, 数k 0, 则正确的命题是( ). (A) |A + B| = |A| + |B|; (B) |kA| = k|A|;(C) r(A + B) = r(A

20、) + r(B); (D) r(kA) = r(A). 解: 取A =, B =, 则|A| = 1, |B| = 0, |A + B| = 2, 而|A| + |B| = 1; 取A =, k = 2, 则|A| = 1, |kA| = 4, 而k|A| = 2; 取A =, B =, 则r(A) = 2, r(B) = 1, r(A+B) = 2, 而r(A) + r(B) = 3; 设r(A) = r, 即A的最高阶非零子式的阶数为r, 取其中的一个r阶非零子式记为D =, 则kA中有一个与之对应的r阶子式= krD 0, 可见r(kA) r = r(A). 类似地, 可以证明r(A)

21、r(kA). 因此r(A) = r(kA). (换一个角度) k 0 kA是由A经过各行乘以非零的数k得到的 kA与A等价 r(kA) = r(A). (再换一个角度) k 0 kE可逆 r(kA) = r(kE)A) = r(A). 故选D.2. 假设矩阵A =, 则不与A相似的矩阵为( ). (A) ; (B) ; (C) ; (D) .解: , 以及都是2阶方阵而且都有两个不同的特征值1和2, 可见它们都与相似, 因此, , 都与A相似. 又因为相似的矩阵具有相同的行列式, |A| = 2, 而= -3, 可见不与A相似. (换一个角度) 因为相似的矩阵具有相同的迹, tr(A) = 1

22、2 = 3, tr= 0+2 = 2, 可见不与A相似. (再换一个角度) 因为相似的矩阵具有相同的特征值, A的两个特征值分别为1和2, 而的两个特征值分别为-1和3, 可见不与A相似. 故选D. 3. 假设A, B都是非零矩阵且AB = O, 则正确的命题是( ). (A) A的行向量组线性相关; (B) B的行向量组线性相关; (C) A, B的行向量组都线性相关; (D) A, B的列向量组都线性相关. 解: 取A =, B =, 则A, B都是非零矩阵且AB = O, 但A的行向量组线性无关; 取A = (0, 0, 1), B =, 则A, B都是非零矩阵且AB = O, 但B的

23、列向量组线性无关; 设A为lm矩阵, B为mn矩阵, B的行向量依次记为b1, b2, , bm, 由于A都是非零矩阵, 故可取A的一个非零行(ai1, ai2, , aim). 由AB = O可知 ai1b1 + ai2b2 + + aimbm = 0,这就是说, 存在一组不全为零的数ai1, ai2, , aim使得ai1b1 + ai2b2 + + aimbm = 0, 可见b1, b2, , bm线性相关. (换一个角度) AB = O BTAT = (AB)T = OT = O BTx = 0有非零解 r(BT) 0. 若a, b都不为零向量, 则由a, b线性相关可知, 存在(非零

24、的)t使得b = ta. 于是A = aTb = taTa. 一方面, r(A) r(b) = 1, 另一方面由a不为零可知存在某个ai 0, 于是A = taTa中有一个元素tai2 0, 可见r(A) 1.综合上述两个方面可知r(A) = 1. 且由AaT = taTaaT= (taaT)aT可见l = taaT = t(a12 + . + an2) 是A的唯一的非零的特征值, 于是存在正交矩阵Q使得QTAQ = Q-1AQ =,从而QT(kE + A)Q = kQTEQ + QTAQ = kE + QTAQ =.因此kE + A是正定矩阵 k + t(a12 + a22 + . + an2) 0且k 0. 当t 0时, kE + A是正定矩阵 k 0; 当t -t(a12 + a22 + . + an2).