3.1.1数系的扩充和复数的概念公开课.ppt

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1、Z自然数（正整数与零）自然数（正整数与零）x+3=1整数整数3 x=5x2=2实数实数可以发现数系的每一次扩充，解决了在原有数集中某种运算不能实施的矛盾，且原数集中的运算规则在新数集中得到了保留。NQR引入负整数引入分数引入无理数 一元二次方程，有没有实数根？类比每一次数系的扩充过程，我们能否引进一个新数，将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到解决呢？问 题1：2025/7/8学习目标学习目标：1.了解数系的扩充过程；了解数系的扩充过程；2.理解复数的有关概念以及符号表示；理解复数的有关概念以及符号表示；3.掌握复数的代数表示形式及其有关概念掌握复数的代数表示形式及其有关概念学习重点

2、学习重点：理解虚数单位理解虚数单位i引进的必要性及复数的引进的必要性及复数的有关概念有关概念学习难点：学习难点：复数的有关概念及应用复数的有关概念及应用15451545年意大利有名的数学年意大利有名的数学“怪杰怪杰”卡尔丹卡尔丹 第一次开第一次开始讨论始讨论负数开平方的问题负数开平方的问题，当时，当时这种数被他称作这种数被他称作“诡辩量诡辩量”.”.几乎过了几乎过了100100年，年，法国数学家法国数学家笛卡尔笛卡尔才给这种才给这种“虚幻之数虚幻之数”取取了一个名字了一个名字虚数虚数17771777年年 瑞士数学家瑞士数学家欧拉欧拉还是说这种数只是存在于还是说这种数只是存在于“幻想之中幻想之中

3、并用并用i i（imaginaryimaginary，即虚幻的缩写）来表，即虚幻的缩写）来表示它的单位示它的单位.直到直到18011801年，德国数学家年，德国数学家高斯高斯系统地使用了系统地使用了i i这个符号，于是使之通行于这个符号，于是使之通行于 世世 。2025/7/8 为了解决负数开平方问题，为了解决负数开平方问题，数学家引入数学家引入一个一个新数新数 i，把，把 i 叫做虚数单位，并且满叫做虚数单位，并且满足：足：(1)i21；(2)实数可以与实数可以与i 进行四则运算进行四则运算,在进行四在进行四则运算时则运算时,原有的加法与乘法的运算律仍原有的加法与乘法的运算律仍然成立然成

4、立.问题解决问题解决:2025/7/8问 题 2：把实数和新引进的数i i 像实数那样进行运算，你得到什么样的数？2025/7/8由于加法和乘法的运算律仍然成立，从而这些运由于加法和乘法的运算律仍然成立，从而这些运算的结果都可以写成算的结果都可以写成 的形式，的形式，把实数把实数a与新引入的数与新引入的数i相加，结果记作相加，结果记作a+i；把；把实数实数b与与i相乘，结果记作相乘，结果记作bi；把实数把实数a与与bi相加，相加，结果记作结果记作a+bi,等等等等.所以实数系经过扩充后得到的新数集应该是所以实数系经过扩充后得到的新数集应该是复数的概念复数的概念形如形如a+bi(a+bi(a,b

5、a,b R R)的数叫做的数叫做复数复数,实实实实部部部部虚虚虚虚部部部部复数的代数形式：复数的代数形式：全体复数所成的集合叫做全体复数所成的集合叫做复数集复数集，通常用字通常用字母母z z表示表示.一般用字母一般用字母C C表示表示.新新知知2025/7/8说出下列复数的实部和虚部？小小试牛刀牛刀虚数实数复数复数z=a+bi(a R、b R)能表示实数和虚数能表示实数和虚数2025/7/8对于复数a+bi(a,bR),当且仅当时,它是实数;当且仅当时,它是实数0;当时,叫做虚数;当时,叫做纯虚数;自主学习b=0a=0且b=0b0a=0且b02025/7/8复数复数z=a+bi(a R、b R

6、)能表示实数和能表示实数和虚数虚数问问 题题 3 3：如何对复数如何对复数a+ba+bi(a,bR)(a,bR)进行分类进行分类?2025/7/8 你们可以用韦恩图把复数集与实数集、虚你们可以用韦恩图把复数集与实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系表示出来吗？数集、纯虚数集之间的关系表示出来吗？问问 题题 4 4：2025/7/8虚数虚数练习练习:完成下列表格（分类一栏填完成下列表格（分类一栏填实数、虚数实数、虚数或纯虚数或纯虚数）2-3虚数虚数00实数实数06纯虚纯虚数数-10实数实数2025/7/8 a,b,c,d应满足什么条件呢？应满足什么条件呢？问问 题题 5 5：若复数若复数2025/7

7、/8如果两个复数的如果两个复数的实部实部和和虚部虚部分别相等，那分别相等，那么我们就说这么我们就说这两个复数相等两个复数相等.即即思考思考新新知知 若若问题解决问题解决:2025/7/8口口 答答1.若若2-3i=a-3i，求求实实数数a的的值值；2.若若8+5i=8+bi，求求实实数数b的的值值；3.若若4+bi=a-2i，求求实实数数a,b的的值值。2025/7/8预习自测答案：预习自测答案：1.2.3.实数实数m取什么值时，复数取什么值时，复数 是是（1）实数？）实数？（2）虚数？）虚数？（3）纯虚数？）纯虚数？解解：（：（1）当当 ，即，即 时，复数时，复数z 是实数是实数（2）当当

8、即，即 时，复数时，复数z 是虚数是虚数（3）当当 ，且，且 ，即，即 时，复时，复 数数 z 是纯虚数是纯虚数例1：2025/7/8变式变式1：（1）实数）实数 （2）虚数）虚数 （3）纯虚数）纯虚数 （4）零）零解解：例例2:已知已知 其中其中 求求解：根据复数相等的定义，得方程组解：根据复数相等的定义，得方程组得得2025/7/8变式变式2：解解：数系的扩充数系的扩充复复 数数 z=a+bi(a,b R)复数的分类复数的分类当当b=0时时z为实数为实数;当当b 0时时z为虚数为虚数(此时此时,当当a=0时时z为纯虚数为纯虚数).复数的相等复数的相等a+bi=c+di(a,b,c,d R)a=cb=d2025/7/8一、教材第一、教材第106106页，页，A A组组1 1、2 2