正余弦定理专题.docx

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1、解斜三角形正余弦定理灵活应用1 .正弦定理：一=上=3=2R关键点“比”sinAsinBsinC利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题.(1)两角和任一边，求其他两边和一角：(2)两边和其中一边的对角，求另一边的对角.(从而进一步求出其他的边和角)2 .余弦定理：a2=b2+c22bccosA;b2=c2+a22cacosB;c2=a2+b22abcosC.在余弦定理中，令C=9(T,这时COSC=0,所以Q=岸+.b2+c2-a2c2+a2-b2a2+b2-c2cosA=；CoSB=；cosC=.2bc2ca2ab利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：(1)三边，求三个角；

2、2)两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来理解”.国面三角形的形状:1 .在AABC中，假设2coSBSin=sinC,那么aABC的形状一定是()答案:A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形2 .以下条件中，ZA3C是锐角三角形的是1)答案：CA.sinA+cosA=-B.BBC0C.tanA+tan+tanOOD.Z=3,c=33,8=305124解析：由SinA+cosA=一得2sinAcosA=-0,得BABCO,得tan(A+)(1tanAtanB)+tanCO.NtanAlanS

3、tanOO,4、B、Ct都为锐角.b esin B sin C得SgVY咤或年3.在 5C 中，SinA=sin B+ sin Ccos B + s C,判断这个三角形的形状.解：=-所以bta2-bi)+c(a2-c2)=bcIHC).所以(b+c)a2=(炉+/)c2+a2-b2a2+b2-c2+,2ca2ab+be(力+c).所以d2=b2bc+c2+bc.J?r以苏二户/所以是直角三角形.解斜三角形求角度和长度4 .(a+b+c)(b+c-a)=3bc,那么NA=.1解析：由得(b+c)2a2=3bc,b2+c2a2=bc.=.ZA=.答案：一2bc2335 .在AABC中，“A30”

4、是“sinA!”的2A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：在aABC中，A300=OVsinAClsinA-;si11A-=30oA3022答案：B6 .在NABC中，角A、B、C所对的边分别是。、b、c,假设三角形的面积5=(岸+一/),那么NC4的度数是.解析：由S=L(a2+b2-c2)得，。加in。=IabcosC.tanC=1.*.C=.答案：4542447 .a48C的三个内角A、B、。的对边分别是a、b、c,如果*=力(+c),求证：A=2B.证明:用正弦定理，a=2RSinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入a2=b(b+

5、c)rl,得SiMA=SinB(sinB+sinC)sin2A-sin2B=sinfisinC=-1s2b=sinBsin(A+B)=-(cos2B-cos2A)=sinsin(A+B)222=sin(+B)sin(A-B)=sinBsinA+B),因为A、B、。为三角形的三内角，所以Sin(A+B)0.所以Sin(48)=SinA所以只能有4-*=8,BPA=2B.该题假设用余弦定理如何解决?I解：利用余弦定理，由a?%(b+c),得COSAJ2+1一/=(户+。2)-力(+Q=i,2hc2bc2bAnC,n.cfa2+c2-b2、.(b+c)2c2,c-bicos2B=2cos2-1=2(

6、)2-1=-1=.2ac2bCb+c)c22bj所以COSA=COS28.因为A、8是AABC的内角，所以A=2B.评述：高考题中，涉及到三角形的题目，重点考查正弦、余弦定理，考查的侧重点还在于三角转换.I这是命题者的初衷.j8 .ABC,a、b、C分别为/4、NB、NC的对边，如果a、b、C成等差数列，NB=30,AfiC的面积为O，那么b等于()笄2窠；BA.ii2B.l+3C.24D.2322311解析：2b=a+c.平方得2ac.又aABC的面积为一，且N8=30,故由Sbc-acsinB=acsin30o222I3a2+c2-b24h2-2-b2b2-4百=-ac=,得ac=6.：.

7、a2+c2=4b2-12.由余弦定理，得COSB=，解得422ac2642力2=4+2.又力为边长，.,.b=1+3.319.锐角AABC1中,sin(A+B)=,sin(A-B)=.55(1)求证：tan=2tanB;(2)设48=3,求48边上的高.31(1)证明：Vsin(A+B)=,sin(A-B)=,55sin AcosB = -5 = =2. /. tanA=2tanB.a . c 1 tan Bcos Asm B =-sinAsB+cosAsinB=5sinAsB-cosAsinB=-5(2)解：A+BC分别是NA、N8、NC的对边长，a、b、C成等比数列，且次2二讹一尻,求NA

8、的大小及如*的值.c剖析：因给出的是a、氏C之间的等量关系，要求/4需找NA与三边的关系，故可用余弦定理.由加=这可变形为=小再用正弦定理可求史出的值.cc解法一：a力、C成等比数列，.62=ac.又解一d=acbc,Ib1+d-d=bc.在AABC中，由余弦定理得CosA=2_LS-=-=,ZA=60o.2bc2hc2在AABC中，由正弦定理得SinB=处H,*b2=acfNA=60,n60=sin60oacac解法二：在448C中，由面积公式得/?csinA=LacsinA22*.*Z2=ac,NA=60，csin=2sin.=sin=-z-.c2评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用

9、余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理.11 .在AABC中，假设NC=60,那么/一+=.h+ca+cA73X1-aha2+ac+b2+bca2+b2+ac+bcb+ca+c(b+c)(a+c)ab+ac+bc+cNC=60,.a2+b2-c2=2aAosC=a力.，*+於=/?+/代入(*)式得答案:ab+ac+be+CZ取值范围题目12 .在aABC中，角4B、C所对的边分别为。、b、c,依次成等比数列，求产上辿生的取sinB+cosB值范围. 0B-, 3=sinB+cos= V sin (+ -) 41+sin2B_(sin+sB)2sinB+cosBSinB+cosBV-B+-

10、2(sin2A-sin2C)=a-b)SinB,外接圆半径为五.(1)求NC；(2)求AABC面积的最大值.解：由2行(sin2A-sin2C)=(一力)SinB得2后()=(a-b).4川4R22R又,.*R=41，*a2-c2=ab-b2.*.a2+b2-c2=ab.*.cosC=-二L又0C3sinsin=2-3sinsin(120oA)=2-y3sin(sin120ocos-cosl20o222SirLA)=3sinAcosA+!?sin2A=-sin2-sin24cos2+-=3sin(2A30o)+.2222当2A=120,即A=60时,SmaX二迪.214.在锐角中，边长=l,b=2,那么边长C的取值范围是.解析：假设c是最大边，那么COSC0.；一+”0.*.cb-a=l,.*.lcV5.rIab思悟小结1 .在A6C中，.A+6+C=,.,.sin+=cos,cos*+=sin22222 .NA、/8、NC成等差数列的充分必要条件是NB=60.3 .在非直角三角形中，tanA+tan8+tanC=tanAtantanC.评述：恒等变形是学好数学的根本功，变形的方向是关键.假设考虑三内角的关系，此题可以从条件推出cosA=0.