激光等离子体基础.doc

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1、激光等离子体基础一.基本参数 21. 激光的基本参量 22. 等离子体的独立参量 23. 朗道长度 24. 粒子平均间距 35. 德拜长度 36. 等离子体特征响应时间及等离子体频率 47. 等离子体的形成及维持 58. 色散关系 59. 临界密度和临界面 610. 折射指标 611. 有质动力 7二 .基本研究方法 9三. Vlasov 方程 10四 .矩方程 10五 . 等离子体的双流体描述 13六等离子体波 14七 . Landau 阻尼 171一.基本参数1激光的基本参量激光的基本参数主要有激光强度|L =El/St、激光功率 P = El/T激光波长九、激光频率3、焦斑大小 W。其中

2、El是入射到靶面的激光能量，S是激光辐照在靶上的面积（焦斑），T是激光的脉冲宽度 （半高全宽FWHM ）。lL也称为激光的辐照度， 或者称为激 光功率密度，单位是 W/cm2。激光功率的单位是 W或者J/s。2. 等离子体的独立参量等离子体的密度n（二ne二Zj n ）和温度是等离子体的 独立变量，他们可以独立改变， 而其他参量可以通过独立变量表现出来。等离子体的一个 基本特点 就是等离子体是准中性的ne = Zm，这里，ne是电子（数）密度，ni是离子（数）密度， 乙离子电荷数，求和符号是对所有粒子种类进行的。正负电荷的任何明显不平衡只有极强的电场才能维持。例如在入=1.053 pm的激光等

3、离子体的临界面处，偏离电中性仅1%而引起的电场强度就达E = 4 nr3 -nc6-e2 = 6 x109r（V/cm）。若取r = 1cm，这个电场强度造成电子的加速度约3106r271025 cms2，所以这种电荷不平衡通过电子的快速传递，很快成为准中性了。与等离子体密度相关的参量还有等离子体靶的密度标长L = （-dn）-1。n dx除了粒子密度以外，另一个参量是温度。在等离子体内部首先是带电粒子分别达到热力 学平衡，这时等离子体的温度有电子温度Te和离子温度T ;只有当等离子体达到整体热力学平衡后，才有统一的等离子体温度T。3. 朗道长度等离子体的朗道长度表示为：= ZaZ讯=1.67

4、X10-5ZaZb（ToK-1）。这里4n如& =107/4 冗c2 =（1/36冗）X10-9C?m是真空介电常数,kB = 1.38X10-23J /K是玻尔兹曼常数，T是温度，乙和Zb是a和B类带电粒子的电荷数，e = 1.6 X10-19C是电子电量。4d是一个a类粒子和一个 B类粒子碰撞时二者的最接近距离；在这个距离下，两个 相碰粒子的库仑相互作用势能 Z aZ 3e 4 n BT等于粒子的热运动特征动能 kBT。根据朗道长度，可以给出 库仑近碰撞（一次碰撞产生的偏转角在 90。以上）截面的一个n A(_d。粗略估计:4. 粒子平均间距设n表示等离子体每单位体积中所含电子的个数，想象

5、把一个单位体积划分成个相等的2 1 3_ 心 _ ZaZe na =d 4 n obTn小立方体，每个小立方体（体积为1n）中认为平均只有一个粒子，得到粒子的平均间距是：d = n-13。为了把朗道长度和粒子平均间距作个比较，引入比值：5313- 1= 1.67X10-5ZaZ(nm ) (TK)，并给出与此相关的 近碰撞的平均自由程：彳1.3辑近二=1.1x109Za2Z,(ToK) (nm 3);在咼温低n近na密度等离子体中，2库，近的值是非常巨大的，因此库仑近碰撞出现的机会就非常稀少。5德拜长度等离子体由 自由”的带电粒子组成，如同金属对静电场的屏蔽一样，对任何试图在等 离子体中建立电

6、场的企图，都会受到等离子体的阻止，这就是等离子体的德拜（Debye）屏蔽效应。相应的屏蔽层称为等离子体鞘层。假如在等离子体中插入一带正电的电极，试图在等离子体中建立电场。在这样的电场 下，等离子体中电子将向电极处移动，离子则被排斥。结果由电极所引入的电场仅局限在较小的尺度的鞘层中，若等离子体的温度为零（冷等离子体），则足够多的电子可以接近于电eTe F的位置，电极（设电极表面敷以介质，表面不收集电流，也不产生复合），屏蔽层的厚度将趋于零，电 场则完全被屏蔽。若等离子体的温度不是零，那么屏蔽后在电势满足子可以挣脱此势阱而逃逸出，电势不能完全被屏蔽掉，有Te.：e量级的电势将延伸进入等离子体中，但

7、是屏蔽层的厚度也是有限的。下面简要的分析这种静态的德拜屏蔽过程。静电场满足泊松（Poisson）方程:(1.1)(1.2)=- (ri - re),这里，nj、ne分别为离子和电子的数密度，在热平衡状态下，它们满足玻尔兹曼分布ni = no exp(- e孙T),足=n exp(- e&T。),其中T和Te是离子和电子的温度，n0是远离扰动电场处（电势为零）的等离子体密度（电子与离子密度相等）。将（1.2）式代入（1.1 ）式，可以得到关于电势的方程，这是一个典型 的非线性方程，一般没有解析解。由（1.2）式可以看出，当|eTe1时，nen0，即电子将被捕获而大量积累，离子则被排空，这些电子产

8、生的电场屏蔽了大部分的电势。如果不考虑接近于电极处电势较大的区域，只考察电势满足 eTe 1的空间，则可以将玻尔兹曼56分布作泰勒展开，并取线性项，于是有,? ?2? ?这里定义了离子与电子的德拜长度be、心，等离子体的德拜长度k为bi，e:；=4kBT，e2 cgs,4n)e(1.3)#在一维情况下，上述方程的解为：x） = exp（- X k），即电势将以指数衰减的形式渗透在等离子体中，等离子体屏蔽外电场的空间尺度就是（1.3）式定义的德拜长度，因此也称为德拜屏蔽距离。静态等离子体 的德拜长度，主要取决于低温成分的德拜长度。在较快的过程中，离子不能响应其变化，在鞘层内不能随时达到热平衡的玻

9、尔兹曼分布，只起到常数本底作用， 此时等离子体的德拜长度只由电子成份决定。从物理意义上来说 k是热运动空间尺度，也是碰撞的有效作用范围；他是研究等离子体的空间尺度单位。只有在等离子体长度I k和Nd 1的条件下，对等离子体特性所做4 n 3的描述才有意义；其中 Nd =kno是德拜球内的粒子数，当Nd 1时对应与无碰撞极3限。6. 等离子体特征响应时间及等离子体频率等离子体能够将任何空间的（电）干扰局域在德拜长度量级的鞘层之中。建立这种屏蔽需要一定的时间，我们可以用电子以平均热速度跨越鞘层空间所需要的时间作为建立一个? 孑2稳定鞘层的时间尺度， 这就是等离子体对外加扰动的特征响应时间：Te =

10、 A = ? ?,VTe ?ne ?这里vTe为电子平均热速度。 x, Ex图1-1:等离子体振荡示总图如此估计的等离子体响应时间与等离子体集体运动的特征频率相关。如图1.1所示，若等离子体在某处（x =0），电子相对离子有一个整体的位移（ x 0），则在x = 0处将形成 电场，这个电场使电子受到指向x = 0处的静电力，电子将向 x = 0运动。由于惯性，电子将冲至x106Il ）首先使靶迅速离化，形成keV量级的高温等离子体层一电晕层（conon a）。对于功率密度为1015 W cm2的激光产生的电场 E = L =8.7 X1010（V . m）足以使原子直接剥离电子。实际上由于串级

11、cascade）离化，靶在远低于这个电场强度时，而且因为杂质、晶格缺陷等，总有少数自 由胆子急速的Joule加热具有足够高的能量而成为自由电子，结果导致靶的离解。下面举例计算对应的离解强度（即产生和保持等离子体需要的激光强度）。以波长为= 1.053pm的Nd玻璃激光为例，一般电子温度Te为2eV时就充分离化，抵消电子热流（满足 Maxwell分布的电子系统，其物理上允许的最大值为Fe =n crTeve）带走后入射强度的最悲观估计是I = ncrT；ve = 2 XO10（W/cm2）；这里ve为电子热速度，取值为106m/s。8. 色散关系在激光等离子体相互作用研究中，主要涉及三种波；激

12、光（电磁波）、电子等离子体波（Langmuir波）及离子声波，其中后两种都属于等离子体波。这三种波的色散关系是非常容易推得的，也是我们非常熟悉的。电磁波的色散关系 为：3；mw二32e + k；mwc2，其中gmw 为电磁波圆频率，kemw为电磁波波数， 必e=：4 nn0e2 mecgs为电子等离子体频率。 电 子等离子体波的色散关系：3；pw二3：e+3k爲V：其中gpw为电子等离子体波圆频率，kepw 为电子等离子体波波数， Ve为电子热速度。 离子声波的色散关系 为： 4sw = kjswG，其中 g二化/m为声速(Te的单位是能量单位)。9临界密度和临界面频率为3的激光在等离子体中传

13、播时，其波数随电子密度而变化：2 2V 3 - 3ek =。(1.4)c可见，随着电子密度增大，激光波数减小。存在一个电子密度 ncr，使得3e = 3 ,也即k =0。d 3 kc?由(1.4)式，激光在等离子体中传播的群速度为：vg = 。可见k = 0时，群速度dk 3为零，激光能流也为零。也就是说，激光在电子密度等于 ncr处必须反射。ncr称为临界密度， 电子密度等于临界密度的面称为临界面。临界密度与激光波长的关系为：2ncr = Q32m3 e2SI= 3 mecgs = 1.1xi021 2(pm)cm3。当等离子体密度大于临界 4冗e密度ncr时，等离子体对于激光来说是不透明的

14、当然由于相对论效应(相对论透明、成丝等),激光还是可能进入等离子体。对于正入射情况，激光在临界面反射，但斜入射情况有所不同。对于斜入射情况，激光的色散关系可以写成：32 = 3pe + (k2 + kj)c2，这里k和k丄分别是波数在平行等离子体表面方向及垂直等离子体表面方向的投影。k丄与电子密度的依赖关系为：2 2 2 2.： 3 - 3e -k c222k丄=-。注意到k!= k2 sin29 ( B是入射角)，所以k丄=0的条件为c2 222 2222 2 2 3p e= 3 - k c = 3 - k c sin 93 cos 9。也就是说，对于斜入射情况，激光在ne = ncr c

15、os 9处就反射。在激光聚变研究中，经常将电子密度低于临界密度的等离子体称为低密度等离子体(Un derde nse Plasma ),将电子密度高于临界密度的等离子体称为高密度等离子体 (Overdense Plasma)。10.折射指标激光在等离子体中传播满足色散关系3 = 3e + k2c2 ,群速度和相速度分别为：d 3Vg = dkcn = Vp3VP=k=C。折射指标为:。可见折射指标随着电子密度的增加而减小。激光在等离子体中由低折射指标处传播至高折射指标处，即由高电子密度区域向低电子密度区域传 播。11.有质动力讨论非线性等离子体时，有一个物理量是非常重要的，这就是有质动力。光波

16、通过离 子密度涨落与电子等离子体波耦合是一个很基本的现象，电磁波与静电波的耦合是湍流等离子体中的固有（本征）的耦合。如果等离子体中有较高水平的离子涨落存在，显然，这种耦 合是很有意义的。实际上，在激光等离子体相互作用中，可以自洽的产生较强的离子密度涨落。用于激发的等离子体波与光波拍频产生电场压力的变化，这个场压的梯度产生的力就是有质动力（Pondermotive Force）,他的作用是产生粒子密度涨落。E = E(x)sin 3，其中有质动力的推导有多种方法：单粒子理论、流体理论及动力学理论等。下面介绍有质 动力的流体力学推导。考虑均匀等离子体对高频场的相应，高频场的振幅随空间变化,3 3|

17、3e3i。将电子作为流体，讨论其对高频场 E的响应。忽略电子压力（冷等离子体），电子的运动方程（动量方程）是?Ue + fie ?fie = - Ez（x）sin 3。（1.5）?tme忽略非线性项，对 E的最低阶，ue = Uh，这里?uh?tE(x)sin 3。 meuh=吐凶cos3。(1.6)(1.7)11me3这些电子一直在局域高频电场中作简单的振荡。力方程（运动方程）对高频振荡作平均，可 以获得电子速度的低频部分me?uS?t(1.8)#这里（）表示对高频振荡的平均，fiS= ue t，ES= E t ，将（1.7）式中的代入（1.8）式可得me1 e224 me3?E2(x)(1

18、9)#由此可见，这些电子经历一种力，推动他们离开高场压区。这个有质动力Fp是比例于电场压力梯度的:Fp2me3?E2(x)（1.10）12#在密度为n的均匀等离子体中，有质动力密度 fp可以表示为 仁=-? （nme：u2 2）。换言之，在电场中运动的时间平均能量密度像普通压力一样起着相同的作用，而它代表无规或热能密度。Laudau禾口 Lifshitz 定义有质动力为：“those force which act on a dielectric in anarbitrary , non uniform electric field 。一般的，人们将慢变等离子体作为“ dielectric。

19、有质动力也就理解为高频波相互作用（高频场）产生的一个低频力。这种力在等离子体现象的解 释中起着重要的作用。例如在实验室中观察到强激光打靶时在临界面附近，一段时间会产生密度凹陷（caviton）,在凹陷中的高频电场增加，可见这一凹陷是由高频场产生的光压排开 无知而形成的，同时高频场被捕获在低密度区。用粒子模拟计算也发现这一现象。其他如激光等离子体中的自聚焦（selffocusing ）和成丝（filamentation ）中的一种机制也是由有质动 力造成的。等离子体中的某些孤立波（solitary wave ）也与有质动力密切相关。从上面的讨论可以看到，光波可以激发一种电子波和离子波同时增长的不

20、稳定性。粒 子密度涨落与光波耦合产生一个电子等离子体波，进而这个电子等离子体波和光波拍频使电场强度产生空间变化，它通过有质动力加强离子密度涨落。因此，形成一个正反馈圈，能够产生不稳定性。下面给出这个不稳定性的图像。首先考虑在一个均匀等离子体中的静离子 涨落，即n = n0 + bcoskx。光波电场仍然近似为 空间均匀场Ed = E0 sin直。和激发等离子体波相联系的静电场E由方程（4.8）给出。如果明显的包含时间依赖和忽略碰撞，那么2(1.11)对于热的%A12 2Eo coskxsin oi ,- ik 让这里i2k = i2e + 3k2v2。因为E和空间相关，电场强度的时间平均具有一

21、种梯度。离子密度涨落的小振幅n的最低阶，我们得到? (E + Ed)2 =-2Jie 如亡2 .22E0 ks inkx,3 - Qk (1.12)#那么有质动力2 22人(1.13)e EoQe阿Fp =-yr 2ksin kx。p 2 2 22mei_ i - ik n-正如图4.3所示，当i Qk时，有质动力作用减少密度涨落。但是当 Q iek时，有质动力将加强密度涨落，即推出更多的等离子体进入较高密度区。因此，一种纯增长（零频率） 离子密度涨落将从噪声水平而自发的增长，当他的振幅增大时，相联系的电子等离子体波也增长，这种不稳定性叫做 振荡双流不稳定性。如果考虑与离子声波相联系的离子密度

22、涨落，这种涨落不再是静的，而是具有频率kVs （Vs是离子的声速）的，在这种情况下，光波最容易通过共振衰变为一个等离子体波加上一个离子声波。当三波频率完全匹配，即离子声衰变不稳定3 = 3ek+kVs时，这种不稳定性最强。因此，常常吧这种不稳定性称为 性。J 1z图1.2有质动力对密度涨落的作用-.基本研究方法随着功率越来越高的激光器问世，激光等离子体相互作用的研究必须是实验与理论和计算机模拟紧密结合。实验是所有研究的基石，但是实验成本很高，且受到实验仪器和测量手 段的限制。理论研究中解析分析对理解激光等离子体相互作用是非常重要的，但是非线性效应使得解析分析的使用范围非常有限。因此，有必要开展

23、计算机数值模拟研究。根据已有的经典定律和经过验证的基本方程和可靠参数，编制计算机程序，计算出所需要的数据和发展的细致过程。通过计算机模拟来弄清强激光与窄通道相互作用的主要物理现象和物理规律， 从而与实验数据进行比较，更好的指导实验。关于等离子体的性质所发生的物理过程的理论有两种常用的处理方法，即宏观（热力学 的、流体的）描述和微观（统计学的，动理学的）描述。宏观处理方法的基础是把像平均速 度和温度这样一些物理量作为时间和位置函数来进行描述。这些量在等离子体的测量中是特别重要的。微观描述是建立在等离子体组态和速度空间分布，这些粒子之间的相关性质以及这些粒子产生的微观场的基础上。微观量虽难直接测量

24、 但在决定等离子体的宏观性质时起着重要作用。粒子模拟就是从微观的角度对等离子体的性质和所发生的物理过程进行动理学 模拟和完全的数值描述。等离子体动理学模拟一般采用两种不同的方法。一是采用追踪受自洽场和外加场作用的带电粒子的粒子模拟，二是对描述带电粒子速度分布函数的Vlasov方程（考虑碰撞时的 Fokker-Plank方程）直接求解。前者易手数值噪声的影响，后者易受多束 流不稳定性失真的干扰。粒子模拟于60年代后期和70年代初期发展较快。显示点粒子（线、 片）模型，为了降低噪声，逐渐发展为有限大小粒子云模型一一粒子云网格（cloud-in-cell ）模型。我国从1975年开始研制粒子云网格

25、模拟方法。根据于敏教授讲述的“等离子体的粒 子云网格法”，由一个数学组和物理组专门研究和发展粒子云网格（ CIC ）法，先后编制了 一维经典粒子模拟程序、一维半（空间仅一维，速度二维）电磁粒子模拟程序、二维电磁粒 子模拟程序，这些程序还有考虑相对论效应和考虑弱碰撞效应的多种版本。粒子云网格模拟计算的是等离子体的小区域（几个微米）和短时间尺度（几百Wpel ）的物理问题，即从微观角度确定微观物理过程怎样影响局域等离子体的性质。比如惯性约束聚变中，确定反常吸收效率，能量分布，电子、离子分布，超热电子温度和密度，反常电子传热和输运系数。将得到的这些微观参数输入到流体力学程序或者用于理论估计中以决定等

26、离 子体整体性质。通过大量数值模拟计算并进行详细的诊断和分析，常常可以使人们独立的预测重要的非线性效应，弄清激光等离子体相互作用的基本过程和细致的物理图像，也可以用他研究一些基本等离子体现象和其他与等离子体相关的学科，例如磁约束聚变中的一些不稳定性问题、天体等离子体问题、强湍流问题等。因此，进行例子模拟研究也是为了发展一种 新的计算方法。这种方法和磁流体力学计算方法相比具有很多不同的特点。例如粒子云网格法具有多束流失真，这是由于要解Maxwell方程和速度离散所决定的。为了抑制多束流失真，采用相空间周期性光滑化，还有如自力效应的产生及其克服。加初始扰动、初始分布的 形成和静止开始或随机开始技术

27、都有其各自的特点。三.Vlasov 方程为了描述无碰撞等离子体，Vlasov在1938年提出利用具有自洽场而丢掉碰撞项的动理学方程。首先引入相空间分布函数fj（X,V,t），它表示j类粒子在相空间（x,v） 中的位置随时间变化的函数。 假设粒子从相空间一个位置运动到另一个位置, 化和复合），那么必须遵从连续性方程fj） = 0由运动定律，有?v =鱼（占+1 v xB）。 mjc既不产生也不消失（无离（3.1）（3.2a）（3.2b）15#这里qj和mj是j类粒子的电荷和质量，E和B是与集体性质相联系的电场和磁场，X和v是独立变量，将（3.2）式代入（3.1 ）式，可导出 Vlasov方程?

28、fj+v?fj+j（EE+-v xB）?j=O。（3.3）?t ?X mjc ?v这个方程直接表明 fj（X（t）,v（t）,t）是一个常数，就是说明相空间密度在动力学轨道上是守恒的。这样的方程可以用于等离子体中的每一类电荷。（3.3 ）式中的自洽电场和磁场，应当由Maxwell方程组确定。因此， 无碰撞等离子体的性质可以由 Vlasov方程和Maxwell方程完 全描述。实际上需要一个更容易操作的描述，这可以通过对各个粒子速度的平均来得到，通过取Vlasov方程的不同速度矩，我们可以导出每一类粒子的密度，平均速度和压力的时、 空演化方程。如果把一个矩代进相邻的较高阶矩中，可产生无穷多组矩方程

29、那就必须引入关于热流的假设来截断这组方程。nj，平均速度Uj和压力张量四.矩方程通过对相空间分布函数的各种矩对速度的平均来确定密度n = /j(x,v,t)dv, 口出=jlfj(X,v,t)dv ,P = mj 0- Uj）（v - Uj） fj（x,v,t）dv。在导出这些矩方程时，将下标j省略，这些方程适用于各类电荷。(4.1)（4.2）（4.3）Vlasov方程对速度平均阀?H?x+m(坯v 呛?vO一一?1744万程（4.3）的头两项给出(4.5)(4.6)给出第一个矩方程17#通过分步积分可以看出， 方程（4.4）的第三项为零，注意：|V f 时，f f 0。因此Vlasov方程

30、的第一个矩给出粒子密度的连续性方程(4.7)?n ? , r、c+ 丁（nU） = 0,?t ?xVlasov方程的第二个矩方程是+?xb/Vq -XV+? 0?.1784#方程（4.8）的第一项是显而易见的，?f ?(4.9)_t=_（nU）,第二项给出严吩吒肿=筈吨。(4.10)通过重写这个积分,F面的结果不难得到#(4.11)(4.12)pV(V- U+ U)(V- U+U)f = + nffij， m因为 尸-U）d V = 0 ,计算方程（4.8 ）的最后一项得到Fm（E+lV 站）碼=-黑E+2U 湎。进行分布积分，综合上述各项，可以得到带电 流体的运动方程?(ni5) + - (

31、nffij)=凹(E +1 u xB)-?t ?x m c ?x m为了方便，利用 连续性方程 重新写出（4.13）式的前两项，并且假设压力是各向同性的，即P=P ，这里I是张量单位，那么nn?t帶谓（ET湎-1 ?P m ?x(4.14)18观察上述方程可见，每个矩产生下一个更高阶的矩。密度连续性方程包含平均速度；速 度的力方程产生压力 （能量密度）方程，其中包含热流。继续下去，将得到无穷组耦合方程, 这当然是不实际的描述。幸好可以对热流进行各种假设来截断这组方程，这就是所谓的状态方程。最简单的假设是：热流如此之快，以至于带电流体的温度是一个常数。在这种情况下，具有一个等温状态方程：p=nT

32、这里温度T是一个常数。状态方程加上流体连续性方程、力方程以及Maxwell 方程，就构成一组完全封闭的描述。当g kvt时，可作等温状态方程近似，这里 3和k是所考虑的物理过程的特征频率和特征波数，vt是粒子的热速度。在相反的极限情况下，即g k vt时，可以直接忽略热流。这种假设导致 绝热状态方程。下面推到这个方程。为了得到压力的方程，将 Vlasov方程乘以动能并对速度平均，有17#为了简单起见，这里以 一维特殊情况进行代数运算，第一项我们可以写成(4.16)m ?2 11 ? /2、f（v-u + u）dv= （p + nmu）,2 ?t J 2?t第二项写成J(v-u + u)3dv

33、 =?Q?x3 ?+ 2?x(up) +m上2 ?x(nu3),(4.17)这里 Q = y J- u)3 fdv。（4.15 ）式的最后一项是#(4.18)Q 2 ?fv E dv = - nuE。2 J ?v把这些项集中起来可以得到122?t(p + nmu2)+3?(up)+U(nmu3)+四2?x2?x?x=QnuE ,(4.19)#利用较低阶的矩方程可将结果大为简化，尤其(4.20)? znmu2、 mu2 ?n ?u()=+ nmu,?t 22 ?t?t再将（4.7）和（4.14）式代入（4.19）式，消去一项后可得到19(4.21 )?P +u?B+ 3p?U + 2Q = 0。

34、 ?t ?x ?x ?x为了得到绝热方程，忽略热流，也就是假设?Q ?p莎 -?t，这就给出wp kQ ,很明显,?Q远小于（4.21）式中的其他项。例如，要求QQmax nTvt。因此，忽略热流的充分条件20(4.21 )#(4.21 )就是假设w kvt。基于这个假设，方程（4.21）简化为(4.22)?p + u?p + 3p?u =0?t ?x ?x连续性方程允许把?u一表示为?x?u?=-(+ u )ln n ,?x?t?x将方程(4.23)代入(4.22)可得(4.23)或者?3+ u )mp- (+ u )ln n = 0,?t?x?t?x(4.24)? + u?)弓=0。?t

35、x n3(4.25)这个方程表明，沿着只有一个自由度运动的等离子体流,pF n3 =常数，这就是一维运动等离子体的绝热状态方程，这个状态方程容易推广为卫Y =常数，n(4.26)这里丫 =（2+N）N , N是自由度数目。五.等离子体的双流体描述研究等离子体的运动可采用各种不同的近似方法和描述方法。对于等离子体中的大尺度低频运动而言，单流体的磁流体力学描述是相当好的近似。然而在等离子体波的运动中，有些效应他不能包括，例如，色散，即相速度与频率的关系，就是这类效应之一。为了确定声 波的色散特性，应当利用双流体描述代替较为粗糙的单流体近似。下面首先总结上节中由方程对速度取矩导出来的流体方程。头两

36、个方程是粒子密度的连续性方程和粒子平均速度的 力方程（或者称为运动方程）组 + ;?皿)=0,?t ?x(5.1)n加鲁營冲祸丄 mj ?x(5.2)#(4.21 )#(4.21 )粒子的电荷和质量分别为 qj和mj，每种带电流体的压力是和他的密度相关的，由状态方程#表示出来，他依赖于所考虑的过程的特征频率3和波数k :当 k Vt时，等温状态方程?B = o,1 ?B c ?T(5.7)?x B = -J+丄畦c c ?t(5.8)Pj=njTj（ 5.3）成立。这里温度Tj是一个常数，热速度Vj =、. Tj mj o当3 kvt时，得到绝热状态方程Pj.njY =常数（5.4）这里丫 =

37、2+N）N , N是自由度个数；当3,k %时，电荷的速度分布的细节是很重要的,流体描述不再合适，必须利用Vlasov方程由电子和一类离子组成的等离子体， 即j等于e （表电子）和i （表离子），那么方程（5.1） （5.4）构成大家熟知的 双流体模型加上Maxwell方程组就构成完备的描述 。在cgs单位 制下，Maxwell方程组是(5.5)? ?E = 4 n p(5.6)21表示出来，他依赖于所考虑的过程的特征频率3和波数k :当 k Vt时，等温状态方程#表示出来，他依赖于所考虑的过程的特征频率3和波数k :当 k Vt时，等温状态方程这里电荷密度p = 口jqj,电流密度J =

38、njqjUj , c是光速。Maxwell方程组把等离子体 jj的电荷密度和 电流密度 与电磁场关联起来。六等离子体波我们利用双流体模型（电子作为一种流体，离子作为另一种），可以研究等离子体的各种性质。等离子体的典型特点是他能够支持波或者说相互作用的集体模。在最简单的情况下，这些波相应于由电子和 （或）离子确定的特征频率的电荷密度涨落。在没有大的外加磁场的等离子体中，存在两类等离子体波，一种是高频的电子等离子体波或者叫Langmuir波，另一种是低频的离子声波。首先介绍和电子运动相联系的 高频电荷密度涨落。因为这是高频振荡，所以可以把很重 的离子作为密度为 阳的不动的、均匀的电中性背景来处理。

39、因为这个波是静电波，相关的电子的运动是沿着波矢（取作x方向）进行的， 一维处理就足够了。密度为 ne，平均速度为Ue ,压力为pe的电子流体方程 是?ne?t计Ue)=0,(6.1)#(6.2)?t(neUe)+?X(neU；) =-?t?xme丄?Peme ?x在波的相速度 w-k远大于电子热速度 ve的假设下，这里使用 绝热状态 方程。下面推演电子密度涨落方程。首先对方程（6.1）取时间导数，对方程（6.2 ）取空间导?2数，消去（neUe）项，可得?t?x牛+ 厶（neU；）-2 （neE）-丄攀=0。（ 6.4）?t2 ?x2me?xme ?x2然后利用Poisson方程?E=-4 n

40、e - Zni ） ,（ 6.5 ）?x把电场与密度联系起来，这里Z是离子的电荷数。其次，考虑一个密度、速度和电场的小振幅扰动，并将方程线性化，即忽略扰动的乘积。我们让 ne= n0 +n,ue =u,pe=n0Te +p和 E = E 由方程（6.3）（6.5）给出p=3meV； n?E?x2 2 /? n ne ?E? p _ 0- - 2 = 0。 ?tme ?x ?x将（6.6）和（6.7）代入方程（6.8）,可得到描述电子密度小振幅扰动的波动方程3Ve2 +e ?x2Wpe) n = 0 .(6.6)(6.7)(6.8)(6.9)22(6.2)#(6.2)这里g = 4 nne2 m

41、e ,是心=Zni的等离子体的电子等离子体频率，如果电子密度单位以cm-3表示，其数值为5.65 X10n。如果要寻求一个行波解 n exp（ikx- iwt），由（6.9）式容易得到 色散关系(6.10)=w2e+3k2vf。注意，对于一种小的对波数以来的热修正，这些波的频率实质上就是等离子体频率ge。如果考虑动理学效应，就会在速度接近波的相速度处产生对电子分布函数细节依赖的小的阻尼23或增长率。这种阻尼将在下一节讨论。等离子体也支持由离子惯性确定的很低频率的电荷密度振荡 。为了研究这个问题，需要考虑电子流体也需要考虑粒子流体的运动。因为这些振荡的频率远小于电子响应的特征频率e，我们可以忽略

42、电子的惯性，即忽略电子的质量。 如果只考虑沿传播方向 （取为X方向） 的运动，将（6.4）式乘以me,忽略包括 me的项，那么电子流体的运动方程简化为neE 二-绝。（6.11）?x因为kve,电子用等温状态方程pe= neTe描述，将pe代入（6.11）式，让re= n0+n/,E = E,可以得到 线性化方程neeE = - Ten（6.12）?x这里是未扰动的均匀的电子密度。离子密度为ni，平均速度为ui，压力为口的等离子体方程为?n ?(6.13)(6.14)(6.15)十冷）=， ；?()+；?(*)=召E-丄乎?t?xmi m ?x弓=常数。n这里Z和mi分别是离子的电荷数和质量。在ve的假设下，使用绝热状态方程。为了导出离子密度的演化方程，和前面一样处理，对（6.13）式取时间导数，对（6.14）式取空间导数，然后两式相减，得到(6.16)?t2和+治)-空?x(niE)-丄学=0。?xm ?x m ?x现在取让ni =-n + n,ZPi = P0 + Pi 和 E = E 表示小扰动量），并且24pi =3Tn