第8章梁的弯曲问题.docx

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1、论题29,梁宵曲假述第八章弯曲梁更形之一，同时也是建就结构中量常见、H要的交形.一、弯曲变形是指在杆的横向作用外力（集中力、集中力偶、分布力等），杆的粕战由原来的n战变形为曲线，如图8.1所示。发生的这种变形称为弯曲变形,而发生穹曲变形的杆称为梁。在实际工程结构的码曲问遨中.最根本的、最简昭和最常见的是平面重曲.平面弯曲具有以下特点：梁上所有荷栽在同一平面内：梁变形前的轴线也在该平面内平面内个纵向、如形翻向盼I1仃荷载作H1.在纵向对称H形前后轴线也在该纵向最此时发生的弯曲变形属于平面弯曲.在行业内，如果不加特别说明，通常所说的弯曲变形景认是平面弯曲.二、工程实例纵向对称面弯曲变形是指：研究的

2、构件是杆件或类似FHt：杆件所受外力在杆的横向上：变形特征为杆的岫跳由直规变为曲段.根据上述概念,就发现建筑结构中弯曲变形是极为普遍的.图83（八）所示建筑结构中的梁、板构件.发生了旁曲变形，楼面梁的力学计算荷图如图8.3仍）所示。在此简支外伸总宵物咒单根槎板。梁或年叫，一,洪少儿，乂支座，丹哄II1.i横面粱一、金论题3工程中常常以其支座状4可分为以卜几种形式:M杆【说可”号,印支出8,4所示。;如图8.4仿）由山-由的梁如图热。示,内力.力7力案在外月4（“）以简支梁受集UI,该梁处于平衡状态呢？研究内力仍然用截面法,在分析内力。段，既可以研究左段梁同样也可以研究方?5-之也的啊W彷）心我

3、这种变掰M1.fO/（C）力.并不失-般性地皿示，那么在梁上某，1-，上有哪些内力图8b.用假想的垂直梁轴线的平面将梁被为两体梁平的，左段梁（梁的一局部）也平衡，左段梁受外力不变，而在截面用一切处受到右段对左段的作用力.此即为梁在截面】一用处的内力,从平衡的角度分析，加一，截面上必有骅向方向的内力和内力偶矩如图85e）所示，否那么不能涌足平衡方程的Zy=QzM=O.登向方向的内力称为剪力并表示为心，而内力倒矩称为学炬井衰示为M,这就是梁的内力索.如图心（C）所示右段梁的内力分析.在犯梏力空中If正伊口圳定不是从向上式针IAi，假M弯矩应逆作（）此才能保IIu矩应顺肘针为正：J.飞保证4，勺角度

4、来划U的九-”，乂来戈H通常作员A4用E褶作法是直上(r-KJFQ菖黑,9MMMBMBOWMMMF三负号枷喘也不是从顺时QIr九时梁段B附时针方向方向的考矩而不必事（）斤弯矩的9图8.SI闺“,用示。俗）方向如图8.61.-a正，反式为+5匕|甫|B梁左段时（向下凸）的心假设号处石段梁时弯凸五IJ法依然是口接假设正并且.分析左段与分枷右段的内力其结论是一致的.因为都是指同一截面的内力，只是观察的角质不一样.显然Ujifti.K&面上的内力与右段截面上町纱碑上是作用力与反作用力的关系.二、梁上指定*面的内为讦IYv/U/1一一Tr梁上指定位制蝴WIig1.帧应FwM也设将梁放z3,对班段梁局部进

5、行伸力平衡条件分析.具体应用H.U建立两个平衡方程，一个毡J星Zy=0：另一个是力矩平衡方程,wc=o.默认兑Z在截面的，图8.70)处的内力.qi2I1.t()RAR得：/必=0可得：*W+()图8.8解：先计：%支Znn梁的整体平衡条件可得：R=Rrt=g1.应用截辰秒y,弓单斗,华FF叩如图8.8所而-?如下:)MFC解得：M=替对于有集中荷载的梁,在集中力作用的截而处.剪力是不连续的.不能笼统地计灯集中力作用做面的典力.而必须明确是集中力的左侧或右偏极面.两者的数值不同.产生的原因是假定(近似计算)集中力作用在一个“点”上造成的，实际上，集中力不可能作用在一个“点”上，而总是分布在梁的

6、一小段长度上。同样地，在集中力偶作用的截面处，有矩也是不连续的，例8.2图89（八）所示愁肉梁,P=30KN,q=2()KNm,=2w,试汁舞梁中点：应用:mPnq处搬行q较徜电T算固剂q的支座(三1.ffjA3%.Zy=O可彳叱一一p=(C)带入数据解支.-5、=50KN图8,9用WN,力与反力m-m截面左恻和右建的内力。Z，W=0可得：-Mn,-(1Jft):-I-一力方浦为一次为，作图的方法:直我由两点E当X=O时.Fq=q(-O)=q-当X=/时，当X=O时.mNf“W、匚1A)V解得：FQ=/_v浮矩方程为二,八八!I?；：；.根据函数1物由三点豳图8.17当X=/时.对于抽沏线顶点

7、得：X=/处NdM令=0.dxM1.=M11=0IMB图8/8与弯矩图.剪力与弯矩图图分别如图8.18（八）、(H所示。例85图8.19所示简支梁在中间截面C受集中力作用.作?解：根据整体平衡条件可得：I,PnPRA=5，RR=Q由于AC与CB的内力方程变化,因此应分段计算。图8.19RHAC段：0x%.该段被面上的剪力记为/一弯矩记为M,如图8.2()所示。Zy=O可初PPZM=O可得：-X=O解得：W1-X剪力方程为常数，图形为水平宜妓：穹矩方程为一次式，图形为帧新宜城。CB段：yx(6=0).关系三：梁上某段受向上的均布荷裁作用,如图8.21(C)所示。此时剪力图、弯矩图与关系二的类似

8、只是方向完全相反.关系四：梁上某处受集中力荷栽作用，如图8.21。)所示.此时.剪力图在集中力作用处发生突变突变数值等于P,弯掂图在集中力作用处发生转折不发生突变.关系，i：梁上某处受集中力偶荷载作用,如图8.21(e)所示.此时.啊力图在集中力催作用处无变化.弯矩图在集中力偶作用处发生突变突变数值等于M,.这五个根本关系中，关系二火.八於M1.kM钦形式外M工CW”M荷段作用，一般在建筑结构无外力段但依然可H向下的均布荷我作用这里不多向上的均布荷或作用三、微分关系法作内力图举例例K6用微分关系法作图8.22(0)所示外伸梁的剪力图与弯矩图.蚱：根据整体平衡条件可得支座反力Yn=20KN.Y

9、i=8KN.内力图形特征判断，根据表8.1可知：AB段：/图为候斜向下宜线：M图为开口向上的抛物线.BC段：心图为水平直线：M图为陋斜门践，CD段：F。图为水平且线：M图为忸斜宜纹.用截面法计算特殊截面上的剪力和驾矩(计算过程省略)。AB段：FQA=0.jV=0.Fqb,i-=-8JtMM*=-SkN-m.表示弯矩图的抛物线其顶点在A装面处，因为该桩面的苗力为0,BCfibFQRG=VIkN.M用：=MH左=-8kNm.Fqc.=1.2kN.Mc,=6kN-mCD段：FQCG=-SkN.MCw=Mcfi=6kNm,FQD=-8kNMD=0.作图。剪力图与穹矩图分别如图8.220)、(C)所示

10、赢不内力图!便，特别适用于实标工程中的穹曲构件.郎加原理的应用范围极广，例如，合力投影定理便是施加原理在力的投影向Sfi上的应用.广义的登加原理可作如下表达：设函数y=(x),当X取为时、函数值乃=/(内)：当X取与时、函数Giy2=/(rj.那么，当X取M+马时、如果函数关系满足等式MK+x,)=y1.+y2=/(ai)+(x,),那一么叠加箴理成立.叠加原理成立的应用条件为：y是X的一次函数关系.在梁的内力何虺上,无论是典力还是弯矩、林是外力的一次函数关系.梁受均布荷教时.考矩图是抛物线，但这只是说明了弯矩电版面位/的二次函数关系，而弯矩与外力的关系仍然是一次函数关系。二、叠加法作内力图

11、举例例8.7用心加原理作图8.23所示简支索的剪力图与弯矩图。解：该简支梁上同时受集中力图8.23+A.25inrHMMMIWMmr：殿面上既行一4J.其剪力与QqIP总加原理件闺8.25所示;8q士的明力图与徐如图，q卜/2r卜/2上勺-1,n.1.27(71P/J-IOKN、20KNWW)XCJS1.八还IIOKN20KN豆该是的。FQq,鹏力弯曲;.与();匚型M-=梁心正应力7j矩，如图(C)P2M弯曲变形N在实I战即、030AN；殿P/如图8.28*俯矩iff1.8.27斫示小。2R（三）*XKVJ(d)B庠于零，%华中，g?)b段那么发生了明H+.(C)Q.横截面上的1.|金|fy

12、2(MNIJU小r柞用将发生纯+柔的+Tj.不妨采用矩J伙AOkN-niI垂直的横向.f代行实验,实验前，、等，如图8.29(“)所无(/)/,画上一线纵向:的两端对称位徨加上集中荷战尸.来电加,ni?IoAM，邓个现乡i发生对称变开图Q4勺；：一(弯曲变形，如团“M八而式.实验2佻Nm20kNmS)Z=mn(0和分布力作用,可视为集中力与分布力分别作用的在加。在单一的集中力/作用下的内力图如图8.24(/)、(。所示：在均匀分布荷载q力作用下的内力图如图8.24(e)、所示。其叠加过程及结果如卜.；现象：变形的互和平行的纵向直线IPP、SS等）.变形后变为网弧线P、ss,且上部缩短.下部伸长

13、现象：变形的垂直于纵向线的横向线（“Wt.”等）.变形后仍为直线1./rt/n,nn等）,且仍与纵向线（变形后的纵向曲线）正交,只是相对转过一个角度.根据上述实验现象，可作如下分析：第一：在现象中，根据哲学上的“由表及电”的推理，认为：横向线”见、”均代衣变形前其所在的横搬面,横向线，”加、为变形后的直线并代表变形后其所在的横截面.由此得到“梁的横截面变形后仍为一平面，且仍与纵向线（变形后的）正交”,此即为平面假设.第：现象,不妨将梁视为由层层的纵向纤维层组成，结合平面假设可知；梁变形后，同一层的纵向纤维的长度相同.有的纵向纤维层长度绢短（PP所在的纤维层）、有的纵向纤维层长度伸长（ss所在

14、的纤维层）。由于梁的变形连续性,必有一层就不伸长也不缩短，此层即为中性层。中性层与横故面的交线称为中性轴,梁的弯曲变形可视为横截面绕中性轴转了一个角度,如图830所示.2.梁的正应力分布规律定性地，中性层以上各层受压缩短，中性层以下“层受拉伸长,而口高中性层矩离越远、缩短（或越太。根据m知：中性轴SZX1.即中性轴在截面个变形1建立坐,木，向坐标轴、过裁的竖向坐标P伸长）At越大,根据胡克定理，受到的/2力可JUH1.a勺诊心,乡心轴I-.的横4面,兴方广为梁“中性轴.粱横极Im）市由n所规律如图8.31所示.3、梁的正应力iWt定房地,从静十加、几何关系不图8.30中性层中性轴变形后in11

15、y三方面”,E木横豉面上正应力的计算公式参回附录10）。Mxy,、=-(8.3)z:K面对中性轴的惯性炜（参阅附录6）M：横赧面上的弯矩y：欲求应力的点到中性轴的距离计算公式（8.3）中，拉伸的正应力为正、压缩的正应力为负.或同时代入M和3的正负号,计算结果为正那么友示爱拉应力，计算结果为负那么表示受压应力.计号公式的条件是限于纯弯曲,但根据实胎和进,步的理论研究可知，对于横力弯曲也近似成立；而旦计獴公式不仅适于矩形截面，其它形状的衽面也成立（拿回附录9）.例8.8图8.32所示梁受均布荷软作用，其横被面为矩形如图8.32（c）所示，其中/、b、h、q为.试作梁的弯矩图,计算中间C极面上G、C

16、2.G点的正应力.解;梁的弯矩图如图8.321（,示，梁中间C极面上的有羯为:根二我根黑糜盛感辞玳艰瘫僵息算出点的止I-7I(-0.57?Mevci3q1.同理=节q=册（受揄-7中的例7BC1-M(受4而1论XB3院行正IS力(C)(h叠度计算的关，却襄求量大正应力不超过材料的许用应力.一、梁内的最大正应力计算对梁的某确定截面而才.其最大正应力发生在距中性轴最远的位置.其值为:绊三(8.4)但强度计尊应是针对全梁的正应力的,仅仅针对梁的某一极面是不全面的.因此,对全梁（等就面梁）而吉，最大正应力发生在弯矩般大的敲面内、同时又是该板面内距中性轴最远的位置.最大正应力的数做为IImaxM1.xN

17、max(8.5)令WZ=/一（8.6）1.VhX称为抗弯截面系数（或抗弯越面模信）1.1.M那么1.x=F三（8.7）*反映豉面形状和尺寸时弯曲正应力强度的影响，IVz超大、IHmin越小,对泻曲正应力强度越有利.不同形状的横板面,Hz取值不同对拉形械面对圆形截面1%(8.9)对各类型钢核面，1%可通过杳型钢表得到（参间附录16型钢表），时其它异型嵌面，w可通过其定义计算得到。二、集的正应力强度计算梁的正应力强度条件为：t11uSb（8.10）卜称为弯曲时材料的许用应力，其位的材料的不同而不同，通过材料的力学实验得到，应用时可在有关标准中花到.梁的正应力强度条件可细分为三类问跑,并统一于公式（

18、8/0）.I、强度校核：应用于梁搬面、梁所用材料及梁上荷找.要求效核梁是否满足强度条件.以下关系是否成立IMr1（8.11）2、豉面设工：梁所用材料及梁上背或，要求根据强度条件，计舞出所需的抗弯铁面系数,从而确定截面尺寸。M%3、许可荷敦：梁搬面尺寸、梁所用材料，要求根据强度条件,计算梁所能承受的最大弯矩，从而确定梁能承受的最大荷我.IM1.IWWZb（8.13）例8.9悬臂木梁受集中荷我作用如图8.33（八）所示，木梁的横能面为即形祓面如图8.33（/，）所示，梁的长度/=2/“,在自由端受集中荷妖b=IOKV网截面直径4=3（XvW弯曲时木材的许用应力=IoMPa,作梁的弯拉图并校核梁的正

19、应力强度.好：梁的非矩图如图833（F,梁上G大叫矩抗弯被面系螃G=石王对于正应力强I泉核，/乘上丑彳正应力显然,正应力强傻平安例8.10筒支梁的，（“）用集中力如图8.34（八）所示热扎普jM盥网J许用应力上=I70.MR/,试选择工弓gXfF矩七|一工公目，梁的长度/=4.2，小要求采用即是：WZN望%卑rortt图8.33=0.2230r=246an20号工字钢的20号工字钢,因为在型钢衣中，可查：的型号。其中，20号工字钢的W,:WZ=250CM.理论（）：选208号工字钢.在实际工程中铐请2J%O1x公式18.21)中的挠曲规近似彳r与程，如:可别高变麻的二阶段八入堂，直接用积分法可

20、解出.对于等做面梁.刚度，z为常盘M工式枳分一欠得转角方程”Ezvyf-W(x)(Zr+C(8.23)或HZJ(X)=J-M(.C(8.24)M再积分次得挠度方程KzMx)=U-W(X)而+G+。(8.25)在公式(8.25).C,D为积分常数，其数值UJ由梁的变形正调条件确定.计算做面的挠度与转角的根本步骤如下：1、求出梁的弯矩方程,H=M(x)2.建立挠曲线近似微分方程7Z/（八）=-Af(.r)3、应用积分法解挠曲线近似微分方程，得到转角方程与挠废方程.4、根据梁的实际变形协调条件，确定枳分常数C、D,5、根据转角方程与挠度方程，可计停出任意故面的转角与挠度。三、积分法计算梁的位移举例例8.12图8.47(4)所示一等豉面悬辟梁长度为/,受均布荷我q作用，梁的弯曲刚度为E1.Z，试求：梁的传角方程和挠度方程自由端搬面的转角0和挠僮,y,ft?：M涧印伴山心：I祓乃4左厂可选取右田局部计处一工g皿，)所示。13三g三pa.I1.UHb劭-Md卫F(I1.A1.-xF1.x梁的弯矩方根,Q根据公式叫下挠曲线/微分方程为:积分一次得打川万程：,、/、再积分一次得挠度方程()(引在