几何公理系统与中学几何.ppt

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1、 第一章几何公理系统与中学几何的相关问题1 几何学发展简史2 欧几里得的几何原本3 希尔伯特公理体系4 我国中学几何教材的逻辑结构以 及教材改革的基本精神5中学几何教学的基本要求假如我们要预见数学的未来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状。彭加莱1.1古代几何学简史相传古代的埃及尼罗河经常泛滥,两岸田亩地界尽被淹没,事后必须设法进行测量,以重新确定田亩的地界.在这个实际需要中,测量土地的方法自然应运而生,据说西方的几何学就是起源于这种测地术,“几何”最早是“多少”之意，用（Geometry）表示，Geo代表土地，metry是测量的意思。古埃及巴比伦泥板书最先使用度量制几何侧重计算，几何的性质

2、和公式都是靠观察和总结得出的。中国勾股定理表述为：“勾股各自乘，并之，为弦实。开方除之，即弦。”赵爽周髀算经和秦九韶九章算术证明方法叙述为：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实。”祖冲之圆周率精确到七位小数的第一人墨子平行线（面）、中心、正方形、圆（球）“平，同高也”“中，同长也”“圆，一中，同长也”“方，柱隅四灌也”古希腊泰勒斯爱奥尼亚学派最先开始几何证明毕达哥拉斯毕达哥拉斯定理给出了两直角边和斜边的整数表达式算术和几何紧密联系起来柏拉图几何建立在逻辑的基础上，坚持准确的定义，清楚的假设，和逻辑证明不懂几何学不得入内欧几里得几何原本世界第

3、一次目睹了一个逻辑体系的奇迹，这个逻辑体系如此精密地一步一步推进，以致它的每一个命题都是绝对不容置疑的我这里说的就是欧几里得几何，推理的这种可赞叹的胜利，使人类理智获得了为取得以后的成就所必需的信心。爱因斯坦对于职业数学家，这本书常常有着一种不可逃避的诱惑力，而它的逻辑结构，大概比世界上任何其他著作更大地影响了科学思想。原本仅次于圣经，大约成为西方世界历史中翻版和研究最广的书。T.斯威克第一时期是几何作为数学的萌芽时期，从人类积累生产、生活经验到大约公元前五世纪止。（实验几何的形成和发展）特点：几何主要是经验事实的积累和初步整理，如丈量土地、测量容器，形成了一批粗略的概念，反映了某些经验事实之

4、间的联系，形成了实验几何。我国古代、古埃及、古印度等研究的几何大体就是实验几何学的内容。1.2.几何学发展的几个阶段第二个时期，几何成为数学的独立学科，希腊的几何传遍世界各地，从公元前3世纪到十七世纪以前。（理论几何的形成）特点：公元前3世纪，古希腊的柏拉图学派欧几里得的几何原本的问世，标志着理论几何的形成。从公元6世纪开始，古希腊学者在丰富的经验材料的基础上，比较重视在形式、逻辑体系下去揭示几何事实之间存在的联系，但还没有真正做到公理化，仍需要凭直观和默认。第三个时期是因资本主义的萌芽促成欧洲文艺复兴而引起了几何学的重新繁荣。从十七世纪到十九世纪初。（解析几何的产生和发展）标志：1637年法

5、国数学家笛卡尔引进坐标解决几何问题，产生了解析几何以及后来的微分几何。第四个时期是从罗巴切夫斯基建立了第一种非欧几何开始的。（现代几何的发展）1893年，在喀山大学树立起了世界上第一个为数学家雕塑的塑像。这位数学家就是俄国的伟大学者、非欧几何的重要创始人罗巴切夫期基。罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基（，英文串法Lobachevsky/Lobachevskii）（1792年12月1日1856年2月24日），俄罗斯数学家，非欧几何的早期发现人之一。1826年2月23日，罗巴切夫斯基于喀山大学物理数学系学术会议上，宣读了他的第一篇关于非欧几何的论文：几何学原理及平行线定理严格证明的摘要。这篇首创性论文的问世

6、标志着非欧几何的诞生。历史是最公允的，因为它终将会对各种思想、观点和见解作出正确的评价。1868年，意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文非欧几何解释的尝试，证明非欧几何可以在欧氏空间的曲面上实现。这就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧氏几何命题，如果欧氏几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。几何学变成研究各种不同空间（欧氏空间、罗氏几何学变成研究各种不同空间（欧氏空间、罗氏空间、黎氏空间、仿射空间、射影空间、空间、黎氏空间、仿射空间、射影空间、）以）以及这个别空间图形的数学理论的总体。在认识到及这个别空间图形的数学理论的总体。在认识到空间概念多样化的同时，感到欧几里得建立他的空间概

7、念多样化的同时，感到欧几里得建立他的几何学的基础远远不够完善，新兴了一门几何分几何学的基础远远不够完善，新兴了一门几何分支即初等几何基础。射影几何、微分几何、几何支即初等几何基础。射影几何、微分几何、几何基础成了十九世纪几何方面大放光芒的三大分支。基础成了十九世纪几何方面大放光芒的三大分支。18991899年希尔伯特发表了集大成的名著年希尔伯特发表了集大成的名著几何基础几何基础，成为欧几里得的完善的公理法结构，成为欧几里得的完善的公理法结构。小 故 事v卡尔.弗里德里希.高斯德国数学家、物理学家和天文学家。“欧洲数学之王”2.1几何原本的内容原本共分十五卷，内容如下：第一卷讨论三角形相等的条件

8、三角形边角关系、垂线、平行线理论、平行四边形、三角形与多边形等积的条件、勾股定理等，共48个命题。第二卷讨论线段计算（包括黄金分割）、面积的变换、用几何法解代数问题，共14个命题。第三卷讨论圆周角、圆心角、圆的切线、割线、圆幂定理等，共37个命题。第四卷讨论圆的内接、外切多边形和正五边形、正六边形、正十五边形的作图，共16个命题。第六卷讨论相似多边形的理论，共33个命题。第十一卷立体几何、直线与平面、平行六面体的体积第十二卷穷竭法、证明圆的面积之比等于其直径的平方比，柱，锥、台、球的体积第十三卷正多面体第十四卷资料（95个问题）第十五卷图形的分割为了了解原本的逻辑结构，下面专门讨论第一卷的结

9、构，它是全书逻辑推理的基础。原本的第一卷给出了23个定义、5个公设和5个公理。定 义 （1）点是没有部分的；（2）线是有长度而没有宽度的；（3）线的界限是点；（4）直线是这样的线，它对于在它上面的所有各个点都有同样的位置；（5）面有长度和宽度；（6）面的界限是线；（7）平面是这样的面，它对于其上的所有直线有同样的位置；（8）平面上的角是在一个平面上的两条相交直线相互的倾斜度；（9）当形成一角的两线是一直线的时候，这个角叫做平角；（10）（22）是关于直角和垂线、钝角和锐角、圆、圆的中心、直线形、三角形、四边形、等边三角形、等腰三角形、不等边三角形、正方形、直角三角形、菱形等的定义；（23）平行

10、直线是在同一平面上而且尽管向两侧延长也决不相交的直线。公设 （1）从每个点到另一点可以引直线；（2）每条直线都可以无限延长；（3）以任意点为中心，可用任意长为半径作一圆；（4）所有直角都相等；（5）同平面内两条直线与第三条直线相交，若其中一侧相交的两个内角之和小于两直角，则该两直线必在这一侧相交。（欧氏第五公设）公设：是一种假设事项，从其结果是否符合实际，检验是否为真，只适用于几何。公理：适用于一切科学的真理，是人们明白无疑的公共观念。公 理（1）等于同一个量的量相等；（2）等量加等量，其和相等；（3）等量减等量，其差相等；（4）能重合的量相等；（5）全体大于部分。从上可以看出原本第一卷就是在

11、23个定义，5个公设，5个公理的基础上，按公理化的手法，以一定的逻辑体系建立起来的，由此，推导出平面几何和立体几何的全部内容。2.2原本的评述（1）首先尝试利用公理化手法建立几何学。（2）关于定义方面，欧几里得试图对一切概念都给与定义，但这是不可能的。如在第一卷里的点、线、面、直线、平面都加以定义，这些定义却用了一些未经定义的概念“部分”、“长度”、“宽度”、“界限”、“同样的位置”等等，意义模糊不清，缺乏逻辑性（3）原本最大的缺点是公理、公设的不完备，缺少“顺序性”公理，如“直线上一点在另外两点之间”、“在直线同侧的两点”、“在三角形内的一点”等，只能凭借直观理解。缺少“运动”公理，如“把一

12、个三角形叠合到另一个三角形上去”默认图形经过移动后大小、形状不变。缺少“连续性”公理，默认直线与圆，圆与圆相交一定有两个交点。（4）第五公设表述罗嗦，不够显然。第五公设问题罗氏几何黎曼几何思考题：思考题：l有人说，埃及人研究几何只相当于“一个粗糙的木匠”，而希腊人则是几何学的“建筑大师”。你对这句话如何理解？l非欧几何的产生对你有什么启示？3.1近代公理法的产生19世纪的末期(1899)，希尔伯特，几何基础，希氏的公理系统是其后的一切公理化的楷模，它的出版标志着数学公理化时期的到来。-希氏的公理系统是其后的一切公理化的楷模，它的出版标志着数学公理化时期的到来。3.2希尔伯特公理系统1.希尔伯特

13、与欧几里得在建立几何学基础的不同首先列出不定义的基本概念：点、直线、平面，把这三种对象堪称几何学中的“基本对象”只承认其存在。提出了三个“基本关系”，即规定点、直线、平面相互间存在三种基本关系：结合关系、顺序关系、合同关系。提出的基本对象和基本关系满足五组公理，即结合公理、顺序公理、合同公理、连续公理、平行公理。据这五组公理就可推导出平面几何和立体几何的全部内容。点在直线上点在平面上一点介于两点之间希尔伯特公理系统元词元名元谊点直线平面结合关系合同关系顺序关系线段合同角合同公理 结合公理（8条）顺序公理（4条）合同公理（5条）连续公理（2条）平行公理（1条）认识公理法的思想v公理法：用公理系统

14、定义几何学的基本公理法：用公理系统定义几何学的基本对象及其关系的研究方法称为数学中的对象及其关系的研究方法称为数学中的“公理法公理法”。v实质是实质是，从一些，从一些不定义的术语不定义的术语出发，这出发，这些术语的性质由些术语的性质由公理公理规定；工作的目标规定；工作的目标是导出这些公理的是导出这些公理的推论推论。v作用：运用公理法的思想研究几何，几何空作用：运用公理法的思想研究几何，几何空间就被认为是基本对象所成的集合，对象之间就被认为是基本对象所成的集合，对象之间只须满足公理所规定的关系。间只须满足公理所规定的关系。v一切符合公理系统的对象都能组成几何学，一切符合公理系统的对象都能组成几何

15、学，几何图形只不过是几何学的一种直观形象，几何图形只不过是几何学的一种直观形象，每一个几何学的直观形象不是只有一种，可每一个几何学的直观形象不是只有一种，可能有无穷多个。能有无穷多个。2.希尔伯特公理系统规定：用大写字母A、B、C等表示点，小写a、b、c表示直线，用字母 表示平面。2.1结合公理1 1对于任意两个不同的点，恒有一条直线通过其中的每个点对于任意两个不同的点，恒有一条直线通过其中的每个点2 2对于任意两个不同点，至多有一条直线通过其中的每一个点对于任意两个不同点，至多有一条直线通过其中的每一个点3.13.1每条直线上至少有两个点；每条直线上至少有两个点；3.23.2至少有三个点不在

16、同一直线上至少有三个点不在同一直线上4.14.1对于不共线三点，恒有一个平面通过其中每个点对于不共线三点，恒有一个平面通过其中每个点4.24.2每个平面上至少有一个点每个平面上至少有一个点5 5对于不共线三点，至多有一个平面通过其中每个点对于不共线三点，至多有一个平面通过其中每个点6 6如果直线如果直线a a的两个点在平面的两个点在平面上，则上，则a a的每个点都在的每个点都在上上7 7如果两个平面有一个公共点，则至少还有另一个公共点如果两个平面有一个公共点，则至少还有另一个公共点8 8至少有四个点不在同一个平面上至少有四个点不在同一个平面上v保证了基本概念点、直线、平面的存在。保证了基本概念

17、点、直线、平面的存在。v其中其中3.23.2和和8 8保证了点的存在；保证了点的存在；1 1 和和3.23.2保证了直线的存在；保证了直线的存在；3.2 3.2 和和4.14.1保证保证了平面的存在。了平面的存在。3.1 3.1 4.14.1，4.24.2，7 7等等都是说明在怎样的条件下存在什么，称之都是说明在怎样的条件下存在什么，称之为为“条件存在公理条件存在公理”。v公理公理2 2，5 5，6 6不涉及存在问题。不涉及存在问题。v各条公理的作用：v结合公理刻划了点、直线、平面间的结合结合公理刻划了点、直线、平面间的结合关系。关系。1 1 3 3属于点和直线的结合关系，属于点和直线的结合关

18、系，称为平面结合公理，称为平面结合公理，4 4 8 8称为空间结合称为空间结合公理。公理。v”点和直线相互结合点和直线相互结合“、”点和平面相互点和平面相互结合结合“是基本结合关系，而是基本结合关系，而”直线和平面相直线和平面相互结合互结合“不是基本结合关系。它可以定义为：不是基本结合关系。它可以定义为：如果直线如果直线a a的所有点都在平面的所有点都在平面上，则称直线上，则称直线在平面在平面上。上。v推论：直线推论：直线a a上若有两个点在平面上若有两个点在平面上，则直上，则直线线a a在平面在平面上。上。n n定理1：两条直线至多有一个公共点，两个两条直线至多有一个公共点，两个平面或者没有

19、公共点，或者有一条公共直线，平面或者没有公共点，或者有一条公共直线，其所有的公共点均在这条直线上，一平面和其所有的公共点均在这条直线上，一平面和不在它上面的直线至多有一个公共点。不在它上面的直线至多有一个公共点。n n定理2：通过不共线的三点恒有一个平面；通过不共线的三点恒有一个平面；通过一直线及不在其上的一点，恒有一个通过一直线及不在其上的一点，恒有一个平面；平面；通过有公共点的两条直线恒有一通过有公共点的两条直线恒有一个平面。个平面。n n定理3：每个平面至少有三个不在一条直线每个平面至少有三个不在一条直线上的点。（略）上的点。（略）n n证明：（1）假设两条直线a、b除了一个公共点A以外

20、还有第二个公共点B，则根据1 及2，点A及点B可唯一确定一条直线，与a、b是两条不同的直线矛盾，所以，两条直线至多有一个公共点。n n（2）现设平面及有一个公共点A，根据公理7，还有第二个公共点B。又据1 及2，过点A、B可确定一条直线a。根据推论知a在上，a在上，直线a是平面和的公共直线。现证明平面和平面所有的公共点均在这条直线上。假设假设和和的公共点的公共点C C不在直线不在直线a a上，则上，则A A、B B、C C不共线，据不共线，据5 5，至多有一至多有一个通过个通过A A、B B、C C三个点三个点的平面，所以平面与就成为同一平面，这与题设平面和是不同的平面矛盾，所以两个平面如果

21、有一个公共点，则它们有一条公共直线。（3）假设a与平面有两个公共点，则据6，及a在平面上，与已知矛盾。n n定理2：证明：据4.1证得成立。据3.1知，每条直线上至少有两个点。此三点成为不共线的三点证得。设直线a、b有一个公共点A，则据定理1及3.1，知a上至少有异于A的点B，且B不在b上，据5知，通过b与B有一个平面。结合公理是中学平面几何和立体几何中有关点、直线、平面结合关系的理论基础。*结合公理对于中学几何的作用v 1，2，4.1，5，6都反映在平几、立几的公理系统中，7中关于两平面的结合关系在中学几何中采用“若两平面有一个公共点，则它们有且仅有一条通过此点的公共直线”作为公理，它实际上

22、是希氏下的一条定理，3，4.2，8都是作为直观或默认，允许在平面内、外取点，实际上是默认了这些性质，在希氏体系下作为公理给出，从此可看出在中学几何中默认、直观的性质，在希氏体系下有严格的理论保证，给中学几何中的某些做法提供了理论基础。这一组公理叙述直线上的一个点，可以对这一组公理叙述直线上的一个点，可以对于同一条直线上另外两个点有一种位置关于同一条直线上另外两个点有一种位置关系。基本顺序关系是系。基本顺序关系是“一点一点B B在另两点在另两点A A和和C C之间之间”用用 表示。表示。2.2顺序公理1 1若点若点B B在点在点A A和和C C之间，之间，则则A A、B B、C C三点三点是一直

23、线上的三个不同点，且是一直线上的三个不同点，且B B也在点也在点C C和和A A之间。之间。2 2对于任意的两点对于任意的两点A A及及B B，在直线，在直线ABAB上至上至少存在一点少存在一点C C，使，使B B在点在点A A和和C C之间。之间。3 3在一直线上的三点中，至多有一点在在一直线上的三点中，至多有一点在另外两点之间。另外两点之间。4 4（巴士公理）：设（巴士公理）：设A A、B B、C C是不共线的三点，是不共线的三点，a a是平面是平面ABCABC上一直线，它不通过上一直线，它不通过A A、B B、C C中的中的任何一点，若任何一点，若a a有一点介于有一点介于A A、B B

24、之间，则之间，则a a必必还有一点介于还有一点介于A A和和C C或或B B和和C C之间。之间。v各条公理的作用：v公理13是直线上点的顺序公理，也称为线性顺序公理，公理4是平面的顺序公理。v公理2保证线段外部有点，公理3保证在共线的三点中至多有一点在另外两点之间，但不保证至少有一点在另外两点之间，公理4是论证线段有内点的理论依据。v公理3不保证存在性。设点A，B，C是同一直线上的三点，在 中，至多有一种情形成立。v四条公理为基础，可以给出线段，内点，三角形，顶点，边，角，射线，内部，外部，异侧，同侧的定义，还可以证明线段上有无穷多点，线段外有无穷多点。定义：无序两点定义：无序两点A A、B

25、 B的集合叫做线段，记的集合叫做线段，记作作ABAB或或BABA。A A，B B之间的点叫做线段之间的点叫做线段ABAB内部内部的点或内点。的点或内点。A A，B B间一切点的集合叫做一开线段，记作间一切点的集合叫做一开线段，记作（ABAB）点）点A A，B B分别叫做线段分别叫做线段ABAB和（和（ABAB）的）的端点。直线端点。直线ABAB上异于上异于A A，B B且不属于（且不属于（ABAB）的点称为线段的点称为线段ABAB或（或（ABAB）的外部的点。）的外部的点。定义：不共线的三点定义：不共线的三点A A，B B，C C的集合叫做三点的集合叫做三点形；这三点形和（形；这三点形和（AB

26、AB），（），（BCBC），（），（CACA）的）的所有点的集合称为一三角形，记作所有点的集合称为一三角形，记作ABCABC。点。点A A，B B，C C各称为这三角形的顶点，开线段各称为这三角形的顶点，开线段（ABAB），（），（BCBC），（），（CACA）各称为这三角形的）各称为这三角形的边。边。巴士公理的另一种表述：与三角形共面且不巴士公理的另一种表述：与三角形共面且不过其顶点的一直线，若与三角形的一边相交，过其顶点的一直线，若与三角形的一边相交，则必与其另一边相交。则必与其另一边相交。2.2.12.2.1公理的推论公理的推论n n定理1.对于任意两点A，C，在直线AC上至少有一点B在

27、A和C之间。n n定理2.在一直线的三点中，必有且仅有一点在其它两点之间。n n定理3.直线a与ABC共面且不过其任一顶点，若a交其一边则必交其另一边，但不再交第三边。(巴士公理的重要补充，在巴士公理的叙述中并没有否定一直线若交一三角形的一边，该直线和三角形的三边都相交，定理3明确了该直线不能和三角形的三边都相交）证明：根据证明：根据证明：根据证明：根据3.23.23.23.2，存在着不在，存在着不在，存在着不在，存在着不在直线直线直线直线ACACACAC上的点上的点上的点上的点E E E E。由。由。由。由1 1 1 1 及及及及2 2 2 2，确定直线确定直线确定直线确定直线AE.AE.A

28、E.AE.根据定理根据定理根据定理根据定理2 2 2 2，A A A A，E E E E，C C C C在同一个平面内，把这个在同一个平面内，把这个在同一个平面内，把这个在同一个平面内，把这个平面记为平面记为平面记为平面记为，由，由，由，由 2 2 2 2，在直线，在直线，在直线，在直线AEAEAEAE上存在点上存在点上存在点上存在点F F F F，使，使，使，使 .由由由由6 6 6 6知，知，知，知，F F F F点也在平面点也在平面点也在平面点也在平面内。内。内。内。同理，在直线同理，在直线同理，在直线同理，在直线FCFCFCFC上存在点上存在点上存在点上存在点G G G G，使，使，使

29、使 ，并且，并且，并且，并且E E E E和和和和G G G G是不同的点。否则，有是不同的点。否则，有是不同的点。否则，有是不同的点。否则，有 和和和和 .由由由由1 1 1 1 及及及及1 1 1 1知，知，知，知，A A A A，E E E E，F F F F，C C C C四点在一条直线上，即四点在一条直线上，即四点在一条直线上，即四点在一条直线上，即E E E E在直线在直线在直线在直线ACACACAC上，这与上，这与上，这与上，这与E E E E的选取矛盾。同理，的选取矛盾。同理，的选取矛盾。同理，的选取矛盾。同理，F F F F点也不在点也不在点也不在点也不在ACACACAC上

30、上上上由由由由6 6 6 6知，知，知，知，G G G G在平面在平面在平面在平面内。内。内。内。AFCBEGn n对于对于AFCAFC和直线和直线EGEG，EGEG不过不过A A，F F，C C三三点并且和点并且和AFCAFC共面，已知共面，已知EGEG和（和（AFAF）相交）相交于于E E，根据巴士公理，直线，根据巴士公理，直线EGEG应交（应交（FCFC）或）或（ACAC）。）。现在证明直线现在证明直线EGEG不交（不交（FCFC）。）。假设假设EGEG交（交（FCFC）于点）于点H H，如果，如果H H和和G G不是不是同一点，因为直线同一点，因为直线EGEG和和FCFC有两个交点，则

31、和有两个交点，则和定理定理1 1相矛盾；如果相矛盾；如果H H和和G G是同一点，则有是同一点，则有FGCFGC和和FCGFCG都成立，这与都成立，这与3 3矛盾。所以直线矛盾。所以直线EGEG不交（不交（FCFC）。根据巴士公理，直线）。根据巴士公理，直线EGEG必必交（交（ACAC），交点记作），交点记作B B，即有，即有ABCABC。*顺序公理对中学几何的作用v在中学几何教材中不定义顺序关系，不引入顺序公理，但却渗透着顺序关系，以直观默认的方式处理，v如：线段存在内点、外点、侧、角的内部、外部、多边形等均需直观默认。希尔伯特公理则解释了中学几何教材中有关默认的顺序问题的合理性，并加以证明

32、直线上有无数个点，两点之间有点等），从理论上保证。v中学平面几何中指出：线段AB可以向任意一方延伸。什么叫“任意一方延伸”？为什么可以延伸？公理2则从理论上揭示了“延伸”的意义，保证了延伸的可能性。2.3合同公理合同关系：假设一条线段对另一条线段（或对自己）可以有一种关系，用“合同”表示这种关系，即“一线段 合同于另一线段 ”，记作 =或 ；还可假设一个角 对另一个角 （或对自己）可以有一种“合同”关系，即一角合同于另一角 ，记作合同公理：u1 1 设设A A、B B是直线是直线a a上的两点，上的两点，是同一是同一或另一直线或另一直线 上的一点，则在直线上的一点，则在直线 上点上点 的指定

33、一侧，的指定一侧，存在存在一点一点 ，使得，使得线段线段 合同于线段合同于线段 .记作记作 2 2 若两线段与第三条线段都合同，则这若两线段与第三条线段都合同，则这两线段也合同。即两线段也合同。即 则则 u 3 3 合同关系具有可加性。即若点合同关系具有可加性。即若点B B介于介于点点A A和和C C之间，之间，则则 4 已知平面 上一角 ，平面 上一直线 的一侧以及 上一点 为端点的一射线 ，则在 上恰有一射线 使 ，且 在 的指定的一侧.l5 对于两个三角形 中，若 ，则 v公理1保证线段可迁移，但在所设条件下未保证线段迁移的唯一性。v公理4保证角可以迁移，并且迁移是唯一的。v公理5是证明

34、三角形合同的重要依据*合同公理对中学几何的作用v由可以得出许多推论，如边角边定理，角边角，边边边、外角定理，定义线段、角的大小，三角形合同，并可证明每条线段恒有一个中点，每个角恒有一条角平分线，保证了异面直线的存在等等。公理的推论v定理：线段合同关系满足反身性、对称定理：线段合同关系满足反身性、对称性、传递性性、传递性.v补充公理补充公理1 1，证明线段迁移的唯一性，证明线段迁移的唯一性v定义三角形合同定义三角形合同v定理：三角形合同的边角边定理定理：三角形合同的边角边定理v中学几何教材中不引入“合同关系”及“合同公理”，而是讨论线段和线段，角和角、三角形和三角形、多边形和多边形的“全等”关系

35、我们可以认为“合同的图形”就是“全等的图形”。合同公理规定了两个图形在怎样的条件下叫做合同图形。v在中学几何教材中，阐述全等或相等时均用了运动的概念。如线段 即是把线段 放到 ，使 和 重合，若 和 也重合，则两线段相等。v把一图形叠放在另一图形上，如果对应部分完全重合，此时两图形叫做全等形，这里叠放是什么？线段、角的形状、大小在叠放运动中是否改变，只能凭直观默认，在逻辑上不严谨。而在希氏公理体系中给出了定义，并证明了三角形全等的定理，完全不涉及运动的概念。v在中学几何教材中承认线段有中点，角有角平分线（默认后直接定义）、在希氏公理体系下，可在理论上严格保证。v中学几何教材中关于“直角”的定

36、义及“凡直角都相等”定理的证明都涉及数量，如如“9090的角都是直角的角都是直角”.由于所有直角都是由于所有直角都是9090，因此相等，因此相等.在希氏下证明不涉及度量关在希氏下证明不涉及度量关系。系。2.4连续公理1（阿基米德公理）设任意两线段AB，CD，则在直线AB上存在有限个点A1An，使这些点排成顺序 且有 若给出倍的定义 则 上述公理还可以直观描述为：对于两线段 和 ，则一定存在以自然数 ，使得l2（康托公理）：设在直线 上给了线段的无穷序列 其中每一条后面的线段及端点完全落在前一条线段内部。设对于任意给定的线段 ，总可以找到一个自然数 ，使得 那么在直线 上存在着一个点 ，落在所有

37、的线段 的内部。*连续公理对中学几何的作用v（1）公理1-2通常称为测量公理，是任意线段可测得长度的理论基础，由此可证，两圆相交一定有交点，直线与圆若通过圆内部一点，则交于两点，线段有唯一长度，角有唯一的角度。v（2）连续公理是建立线段和角等图形度量的基础。中学几何中对于线段和角为什么可以测量？什么叫线段的长度、角度都未明确定义而直接承认。v（3）连续公理是中学几何作图理论的基础。中学几何中，尺规作图常常归结为求交点，但直线与圆、圆与圆是否存在交点？是由连续公理保证。v（4）连续公理是建立坐标系的理论基础。2.5平行公理 对于任何直线 及其外一点 ，通过 点至多有一直线与直线 共面不交。u在一

38、个几何公理系统中是否次采用平行公理，是区别这种几何学是否为欧氏几何的重要标志。定义：共面不相交的两直线 和 叫做平行线，记作由此可得到平行线的许多性质（内错角相等），并且得到和平行公理等价的若干命题（第五公设、三角形的三条高共点、过不共线的三点恒有一圆、任何三角形的内角和等于 、勾股定理等等）v问题：为什么希氏公理系统要有问题：为什么希氏公理系统要有5 5组组2020条公理，加上或者减去一条怎样？条公理，加上或者减去一条怎样？v主要讨论：v（1）公理系统的和谐性。v（2）公理系统的独立性v（3）公理系统的完备性v对任何一个公理系统，一般要求必须和谐，最好独立，是否完备要视具体需要而定。4.1中

39、学几何教材的公理结构根据2001年7月颁布的全日制义务教育数学课程标准（实验稿），北师大出版的数学教科书。此教材选用的公理为：1.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。2.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。3.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。5.三边对应相等的两个三角形全等。6.全等三角形的对应边相等、对应角相等。根据2003年颁布的普通高中数学课程标准 人民教育出版社必修课本选用的公理：公理1.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理2.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理3.如果两

40、个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理4.平行于同一条直线的两条直线互相平行.（空间平行线的传递性）中学几何中虽未明确提出哪些是基本概念，但却用直观的方法引进“点、线、面、体”。通过观察具体的事例来说明，不考虑它们的其它性质（颜色、质量、材料等），只注意它们的形状（如方、圆）、大小（长度、面积）、位置（在内外、相交、不相交等）。并得到面与面相交形成线，线与线相交形成点。另外，对于线段、射线（将线段向一个方向无限延长）、直线、角（由两条具有公共端点的射线组成）的定义采用直观默认。（事实上，（事实上，点、线、面、体点、线、面、体、直线、直线、平面、无限延伸、部分等起

41、着基本概念的作用，平面、无限延伸、部分等起着基本概念的作用，即中学几何公理体系中不提基本概念，但却因入即中学几何公理体系中不提基本概念，但却因入未加严格定义的概念，起着基本概念的作用）未加严格定义的概念，起着基本概念的作用）义务教育课程标准试验教科书的编写体例（北师大版）特点：1 每章中配有丰富的图形，在做一做、试一试、想一想、议一议中，学生自己在做数学的过程中学习数学知识（数学事实和数学经验）。2 书中习题分为三类：随堂练习、习题、复习题。随堂练习以复习相应小节的教学内容为主，供课堂用；习题和复习题都分为：知识技能、数学理解、问题解决、联系拓广四部分，满足不同层次学生的需要。3 每章安排回顾

42、与思考，供学习完本章节后知识的整理和回忆。4 每节有“读一读”栏目，扩大学生的知识面，主要是数学的应用、数学史、计算机及软件的应用（Z+Z）智能教育平台。5 每一册都有课题学习（制作一个尽可能大的无盖的长方体盒子）中学几何教材内容及其分布：七年级（上）：第一章：丰富的图形世界1.生活中的立体图形。（认识圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球）2.展开与折叠（引入棱、侧棱等定义）3.截一个几何体（截面）4.从不同方向看（上、下、左、右、前、后等）5.生活中的平面图形（三角形、四边形、五边形、六边形、圆、弧、扇形等）第四章：平面图形及其位置关系1.线段、射线、直线（经过两点有且只有一条直线）2.比较

43、线段的长短（两点之间的所有连线中，线段最短；两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离；线段中点）3.角的度量与表示（角的定义）4.角的比较（角平分线）5.平行（平行的定义、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。）6.垂直（平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；）7.有趣的七巧板（活动的目的：动手制作一副七桥板，并用它拼出不同的图案）七年级（下）第二章 平行线与相交线1.台球桌面上的角（余角、补角、同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等；对顶角、对顶角相等；）2.探索

44、直线平行的条件（同位角、同位角相等，两直线平行；内错角、同旁内角、内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；）3.平行线的特征（两直线平行，同位角相等；内错角相等；同旁内角互补）4.用尺规作线段和角。第五章 三角形1.认识三角形（三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边；三角形三个内角的和等于180。；直角三角形的两个锐角互余；三角形的角平分线、中线、三角形的三条角平分线交于一点，三条中线交于一点；三角形的高、三角形的三条高所在的直线交于一点；）2.图形的全等（全等图形：两个能够重合的图形；全等图形的形

45、状和大小都相同；）3.图案设计（设计美丽的图案并能叙述他们绘制的过程）4.全等三角形（全等三角形的对应边相等，对应角相等；）5.探索三角形全等的条件（边边边、角边角、角角边、边角边、）6.作三角形7.利用三角形全等测距离（实际应用）8.探索直角三角形全等的条件（“斜边、直角边”）第七章生活中的轴对称1.轴对称现象（如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形。）2.简单的轴对称图形（角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴；角平分线上的点到这个角两边的距离相等。线段是轴对称图形，它的一条对称轴垂直于这条线段并且平分它，这样的直线叫做这条线段的垂直平

46、分线；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴；等腰三角形的两个底角相等;如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等。）3探索轴对称的性质（对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等）4 利用轴对称设计图案5 镜子改变了什么6 镶边与剪纸八年级（上册）第一章 勾股定理1 探索勾股定理（如果直角三角形两直角边分别为 ，斜边为 ，那么 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）2 能得到直角三角形吗（如果三角形的三边长 满足 那么

47、这个三角形是直角三角形。）3 蚂蚁怎样走最近课题学习：拼图与勾股定理第三章图形的平移与旋转1 生活中的平移（在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小。经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。）2 简单的平移作图3 生活中的旋转（在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角，旋转不改变图形的大小和形状。经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等

48、4 简单的旋转作图5 它们是怎样变过来的6 简单的图案设计第四章 四边形性质探索1 平行四边形的性质（两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分；平行线之间的距离）2 平行四边形的判别（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；两组对边分别平行的四边形是平行四边形）3 菱形（一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；菱形的四条边相等，两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边都相等的四

49、边形是菱形。）4 矩形、正方形（有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形的对角线相等，四个角都是直角；对角线相等的平行四边形是矩形。一组邻边相等的矩形叫做正方形，正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。）5 梯形（一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形；等腰梯形、直角梯形的定义；等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等；判定：同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形）6 探索多边形的内角和与外角和（在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形；n边形的内角和等于 多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角；多边形的外角和都等

50、于 ）7 平面图形的密铺（平面图形的镶嵌）8 中心对称图形（在平面内，一个图形绕某个点旋转 ，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形八年级（下册）第四章相似图形1 线段的比（如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m,n，那么就说这两条线段的比 ；如果 ，那么 ；如果 （都不等于0），那么 ；如果 ，那么如果 ，那么2 黄金分割（点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果 ，那么称线段AB被C黄金分割；）3 形状相同的图形4 相似多边形（各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形）5 相似三角形（三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角