正弦定理余弦定理应用举例.ppt

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1、1.2.正余弦定理应用举例正弦定理：正弦定理：正弦定理的一些常见变形：正弦定理的一些常见变形：余弦定理：余弦定理：角化边公式角化边公式斜三角形的解法斜三角形的解法已知条件已知条件定理选用定理选用一般解法一般解法用正弦定理求出另一对角用正弦定理求出另一对角,再由再由A+B+C=180，得出第三角得出第三角,然然后用正弦定理求出第三边。后用正弦定理求出第三边。正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理由由A+B+C=180,求出另一角，再求出另一角，再用正弦定理求出两边。用正弦定理求出两边。用余弦定理求第三边，再用余弦用余弦定理求第三边，再用余弦定理求出一角，再由定理求出一角

2、再由A+B+C=180得出第三角。得出第三角。用余弦定理求出两角，再由用余弦定理求出两角，再由A+B+C=180得出第三角。得出第三角。一边和两角一边和两角(ASA或或AAS)两边和夹角两边和夹角(SAS)三边三边(SSS)两边和其中一两边和其中一边的对角边的对角(SSA)解三角形时常用结论二二.判断三角形形状判断三角形形状1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量测量:距离问题、距离问题、高度问题、高度问题、角度问题、角度问题、计算面积问题、计算面积问题、航海问题、航海问题、物理问题等物理问题等.2.实际问题中的常用角实际问题中的常用角（1）仰角

3、和俯角）仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标 视线的夹角视线的夹角,目标视线在水平视线目标视线在水平视线 叫仰角叫仰角,目标视线在水平视线目标视线在水平视线 叫俯角（如图叫俯角（如图）.上方上方下方下方(2)方位角方位角指从指从 方向顺时针转到目标方向线的水平角，方向顺时针转到目标方向线的水平角，如如B点的方位角为点的方位角为（如图（如图）.正北正北ACB51o55m75o题型一题型一 与距离有关的问题与距离有关的问题 要测量对岸要测量对岸A、B两点之间的距离，选取两点之间的距离，选取 相距相距 km的的C、D两点两点,并测得并测得ACB

4、75,BCD=45,ADC=30,ADB=45,求求 A、B之间的距离之间的距离.分析题意，作出草图，综合运用正、分析题意，作出草图，综合运用正、余弦定理求解余弦定理求解.题型分类题型分类 深度剖析深度剖析解解 如图所示在如图所示在ACD中，中，ACD=120，CAD=ADC=30，AC=CD=km.在在BCD中，中，BCD=45，BDC=75，CBD=60.在在ABC中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得例例2.在在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是俯角分别是30，60,则塔高为则塔高为（）解析解析 作出示意图如图，作出示意图如图，由已知

5、在由已知：在RtOAC中，中，OA=200，OAC=30，则，则OC=OAtanOAC =200tan 30=在在RtABD中，中，AD=，BAD=30，则则BD=ADtanBAD=A题型二题型二 与高度有关的问题与高度有关的问题变式变式2 如图所示，测量河对岸的如图所示，测量河对岸的 塔高塔高AB时，可以选与塔底时，可以选与塔底B在同一水在同一水 平面内的两个测点平面内的两个测点C与与D，现测得，现测得 BCD=，BDC=，CD=x，并，并 在点在点C测得塔顶测得塔顶A的仰角为的仰角为，求塔高，求塔高AB.解解 在在BCD中，中，CBD=-例例3.在海岸在海岸A处处,发现北偏东发现北偏东4

6、5方向方向,距离距离A n mile的的B处有一艘走私船，在处有一艘走私船，在A处北偏西处北偏西75的的 方向方向,距离距离A 2 n mile的的C处的缉私船奉命以处的缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船的速度追截走私船.此时，走私船正以此时，走私船正以 10 n mile/h的速度从的速度从B处向北偏东处向北偏东30方向逃窜方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？分析分析 如图所示，注意到最快追上走如图所示，注意到最快追上走 私船且两船所用时间相等，若在私船且两船所用时间相等，若在D 处相遇，则可先在处相遇，则可先在ABC中求出中求出

7、BC，再在再在BCD中求中求BCD.题型三题型三 与角度有关的问题与角度有关的问题则有则有CD=10 t，BD=10t.在在ABC中，中，AB=-1，AC=2，BAC=120,由余弦定理，由余弦定理，得得BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC=（-1）2+22-2（-1）2cos 120=6,BC=，即即CBD=90+30=120，在在BCD中，由正弦定理，得中，由正弦定理，得BCD=30.即缉私船北偏东即缉私船北偏东60方向能最快追上走私方向能最快追上走私船船.解解:设缉私船用设缉私船用t h在在D处追上走私船，处追上走私船，1 1.如图，一货轮航行到如图，一货轮航行到M M处，测得

8、灯塔处，测得灯塔S S在在货轮的北偏东货轮的北偏东1515，与灯塔相距，与灯塔相距2020海里，海里，随后货轮按北偏西随后货轮按北偏西3030的方向航行的方向航行3030分钟分钟后，又测得它在货轮的东北方向，则货轮后，又测得它在货轮的东北方向，则货轮的速度为（的速度为（）（A A）海里海里/小时小时（B B）海里海里/小时小时（C C）海里海里/小时小时（D D）海里海里/小时小时练习【解析解析】选选B.B.由题意知由题意知NMS=15NMS=15+30+30=45=45，MNS=60MNS=60+45+45=105=105，由正弦定理得由正弦定理得4.4.（20102010泰州模拟）如图，在

9、泰州模拟）如图，在某点某点B B处测得建筑物处测得建筑物AEAE的顶端的顶端A A的的仰角为仰角为,沿沿BEBE方向前进方向前进3030米至米至C C处测得顶端处测得顶端A A的仰角为的仰角为2,2,再继续再继续前进前进 米至米至D D处，测得顶端处，测得顶端A A的仰角为的仰角为4,4,则则的值的值为（为（）（A A）1515 （B B）1010 （C C）5 5 （D D）2020 【解题提示解题提示】解答本题的关键是将解答本题的关键是将放在某一三角形中，借放在某一三角形中，借助正、余弦定理确定助正、余弦定理确定的值，就本题而言，在的值，就本题而言，在ACDACD中，三边可中，三边可求，利

10、用正弦定理可求出求，利用正弦定理可求出cos2cos2的值，进而确定的值，进而确定的值的值.【解析解析】选选A.A.由条件知由条件知ADCADC中，中，ACD=2ACD=2，ADC=180ADC=180-4,AC=BC=30,AD=CD=,-4,AC=BC=30,AD=CD=,二、填空题（每小题二、填空题（每小题3 3分，共分，共9 9分）分）6.6.（20102010珠海模拟）如图，海平面上珠海模拟）如图，海平面上的甲船位于中心的甲船位于中心O O的南偏西的南偏西3030，与，与O O相相距距1010海里的海里的C C处，现甲船以处，现甲船以3030海里海里/小时小时的速度沿直线的速度沿直线

11、CBCB去营救位于中心去营救位于中心O O正东正东方向方向2020海里的海里的B B处的乙船，甲船需要处的乙船，甲船需要_小时到达小时到达B B处处.【解析解析】由题意，对于由题意，对于CBCB的长度，的长度，由余弦定理由余弦定理，得，得CBCB2 2=CO=CO2 2+OB+OB2 2-2CO-2COOBcos120OBcos120=100+400+200=700.=100+400+200=700.CB=,CB=,甲船所需时间为甲船所需时间为 小时小时.答案：答案：例例4 如图所示，已知半圆的直径如图所示，已知半圆的直径AB=2，点点C在在AB的延长线上，的延长线上，BC=1，点，点P为半圆

12、上的为半圆上的 一个动点，以一个动点，以DC为边作等边为边作等边PCD，且点，且点D与与 圆心圆心O分别在分别在PC的两侧，求四边形的两侧，求四边形OPDC面积的面积的 最大值最大值.题型四题型四 正、余弦定理在平面几何中的综合应用正、余弦定理在平面几何中的综合应用解解 设设POB=，四边形面积为，四边形面积为y，则在则在POC中，由余弦定理得中，由余弦定理得PC2=OP2+OC2-2OPOCcos=5-4cos.1.合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念 建立三角函数模型建立三角函数模型.2.把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个 平面上利用三角函数求值平面上利用三角函数求值.3.合理运用换元法、代入法解决实际问题合理运用换元法、代入法解决实际问题.思想方法思想方法 感悟提高感悟提高